Probabilités

FORMULAIRE FINAL — PROBABILITÉS

Dénombrement et probabilités

$$n^p \qquad A_n^p = \frac{n!}{(n - p)!} \qquad C_n^p = \frac{n!}{p!\,(n - p)!} \qquad (a + b)^n = \sum_k C_n^k a^k b^{n-k}$$

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \qquad P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad P(A) = \sum P(B_i)\,P(A \mid B_i) \qquad P(B_j \mid A) = \frac{P(B_j)\,P(A \mid B_j)}{P(A)}$$

Lois usuelles

Loi	$P(X = k)$ ou densité	$E(X)$	$V(X)$
Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$	$C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}$	$np$	$np(1 - p)$
Hypergéométrique $\mathcal{H}(N, n, p)$	$C_{Np}^k C_{N - Np}^{n - k} / C_N^n$	$np$	$np(1 - p)\frac{N - n}{N - 1}$
Géométrique $\mathcal{G}(p)$	$(1 - p)^{k - 1} p$	$1/p$	$(1 - p)/p^2$
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$	$e^{-\lambda}\lambda^k / k!$	$\lambda$	$\lambda$
Uniforme $\mathcal{U}[a ; b]$	$1/(b - a)$	$(a + b)/2$	$(b - a)^2/12$
Exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$	$\lambda e^{-\lambda x}$	$1/\lambda$	$1/\lambda^2$
Normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$	$Z = (X - \mu)/\sigma$	$\mu$	$\sigma^2$

Couples et théorèmes limites

$$cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) \qquad V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y) + 2ab\,cov(X, Y) \qquad P(|X - \mu| \ge t) \le \frac{\sigma^2}{t^2}$$

$$\bar{X}_n \approx \mathcal{N}\left(\mu ; \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \qquad \mathcal{B}(n, p) \approx \mathcal{N}\left(np ; \sqrt{np(1 - p)}\right) \qquad P(X \le k) \approx P(Y < k + 0{,}5)$$

CONSEILS POUR L'EXAMEN

1. Nommez les événements avec des lettres et traduisez chaque donnée de l'énoncé en probabilité simple ou conditionnelle.
2. Dénombrement : posez-vous toujours les deux questions « l'ordre compte-t-il ? » et « y a-t-il répétition ? ».
3. Arbre pondéré dès qu'il y a des probabilités conditionnelles ; « au moins un » se calcule par le contraire.
4. Identifiez la loi et justifiez-la (épreuves indépendantes, tirage sans remise, événement rare…) avant de calculer.
5. Loi normale : centrez-réduisez et faites un petit schéma de la cloche pour savoir s'il faut $\Phi(z)$ ou $1 - \Phi(z)$.
6. Approximations : écrivez les conditions vérifiées et appliquez la correction de continuité.

Aux concours de master (finance, audit, actuariat, économétrie, marketing), les exercices de probabilités portent surtout sur la formule de Bayes, la loi binomiale et son approximation normale. Les intervalles de confiance et les tests sur une moyenne ou une proportion sont traités dans le cours Échantillonnage et estimation (S4). Les bases descriptives (moyenne, variance, corrélation, régression) sont dans le cours de Statistique descriptive (S2).