Chapitre 2 · Semestre 3

Les fondements du calcul des probabilités

Probabilités

Cours Exercices Résumé QCM

🎯 Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

décrire une expérience aléatoire, son univers et ses événements ;

calculer une probabilité par dénombrement et utiliser les lois de De Morgan et la formule de Poincaré ;

appliquer les axiomes et les règles de calcul des probabilités ;

calculer une probabilité conditionnelle et tester l'indépendance ;

utiliser la formule des probabilités totales et la formule de Bayes.

2.1 Expérience aléatoire, univers et événements

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans pouvoir prévoir lequel se réalisera : lancer un dé, tirer une carte, interroger un client au hasard, observer si un emprunteur rembourse son crédit.

Notion	Définition	Exemple (lancer d'un dé)
Univers $\Omega$	Ensemble des résultats possibles	$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
Événement	Partie de l'univers	$A$ = « obtenir un nombre pair » $= \{2, 4, 6\}$
Événement élémentaire	Un seul résultat	$\{5\}$
Événement contraire $\bar{A}$	Se réalise quand $A$ ne se réalise pas	$\{1, 3, 5\}$
$A \cup B$ (« A ou B »)	Au moins l'un des deux se réalise
$A \cap B$ (« A et B »)	Les deux se réalisent
Événements incompatibles	$A \cap B = \emptyset$	« obtenir 1 » et « obtenir 6 »

Un système complet d'événements est une famille d'événements deux à deux incompatibles dont la réunion est $\Omega$ (par exemple : client « jeune », « adulte », « senior »).

2.2 Dénombrer pour calculer une probabilité

Dans une situation d'équiprobabilité (tous les résultats élémentaires ont la même chance), calculer une probabilité revient à compter des cas, avec les outils du chapitre 1 sur l'analyse combinatoire. La seule règle impérative est de compter cas favorables et cas possibles avec le même modèle : si l'on tient compte de l'ordre au dénominateur, il faut en tenir compte au numérateur.

Modèle du tirage	Univers $\Omega$	$\lvert \Omega \rvert$
Successif avec remise	Suites de $p$ éléments, répétitions permises	$n^p$
Successif sans remise	Suites de $p$ éléments distincts	$A_n^p$
Simultané	Parties de $p$ éléments	$C_n^p$

Exemple : un lot de 10 pièces sorties d'une usine de Kénitra contient 3 pièces défectueuses ; on en prélève 2.

Prélèvement simultané : $P(\text{2 défectueuses}) = C_3^2 / C_{10}^2 = 3/45 \approx 0{,}067$.
Prélèvement successif sans remise : $A_3^2 / A_{10}^2 = 6/90 \approx 0{,}067$. Le résultat est le même : pour un événement qui ne dépend pas de l'ordre, les deux modèles sont équivalents, à condition de rester cohérent.
Prélèvement avec remise : $(3/10)^2 = 0{,}09$. La probabilité est plus forte, car la même pièce défectueuse peut être tirée deux fois.

Hors équiprobabilité (un dé truqué, des clients de profils différents), on ne compte plus : on additionne les probabilités des résultats élémentaires qui composent l'événement, $P(A) = \sum_{\omega \in A} P(\{\omega\})$.

2.3 La probabilité et ses règles de calcul

Définition classique (équiprobabilité) : $P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.

Approche fréquentiste : la probabilité est la limite de la fréquence observée quand l'expérience est répétée un grand nombre de fois (c'est ainsi qu'un assureur estime un risque d'accident).

Axiomes de Kolmogorov : $P(A) \ge 0$ ; $P(\Omega) = 1$ ; si $A$ et $B$ sont incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. On en déduit :

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad P(\emptyset) = 0 \qquad \boxed{P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$$

Exemple : dans une promotion, 60 % des étudiants suivent l'option finance, 30 % l'option marketing et 10 % suivent les deux. La probabilité qu'un étudiant suive au moins une des deux options est $0{,}6 + 0{,}3 - 0{,}1 = 0{,}8$.

Lois de De Morgan : le contraire de « A ou B » est « ni A ni B », et le contraire de « A et B » est « non A ou non B » :

$$\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \qquad \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$$

Formule de Poincaré pour trois événements :

$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$

Exemple : parmi les clients d'une agence bancaire de Meknès, 60 % ont une carte ($A$), 30 % un crédit ($B$) et 40 % un compte d'épargne ($C$) ; 20 % ont carte et crédit, 25 % carte et épargne, 10 % crédit et épargne, 5 % les trois. La probabilité qu'un client détienne au moins un de ces produits est $0{,}6 + 0{,}3 + 0{,}4 - 0{,}2 - 0{,}25 - 0{,}1 + 0{,}05 = 0{,}8$ ; par De Morgan, 20 % des clients n'en détiennent aucun.

2.4 La probabilité conditionnelle et l'indépendance

La probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé ($P(B) > 0$) est :

$$\boxed{P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}} \qquad \text{d'où} \qquad P(A \cap B) = P(B) \times P(A \mid B)$$

Deux événements sont indépendants si la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre :

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \iff P(A \mid B) = P(A)$$

Il ne faut pas confondre indépendants et incompatibles : deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont au contraire très dépendants (si l'un se réalise, l'autre ne peut pas se réaliser).

L'arbre pondéré est l'outil le plus sûr : sur chaque branche, on inscrit une probabilité conditionnelle ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches ; la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1.

2.5 Les probabilités totales et la formule de Bayes

Si $B_1, \dots, B_k$ forment un système complet d'événements :

$$\boxed{P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(B_i) \times P(A \mid B_i)} \qquad \boxed{P(B_j \mid A) = \frac{P(B_j) \times P(A \mid B_j)}{P(A)}}$$

La formule de Bayes permet de « remonter » de l'effet à la cause : connaissant la probabilité d'un défaut selon la machine, on calcule la probabilité qu'une pièce défectueuse provienne d'une machine donnée.

Exemple : une usine produit 60 % de ses pièces sur la machine $M_1$ (2 % de défauts) et 40 % sur $M_2$ (5 % de défauts).

$$P(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032 \qquad P(M_2 \mid D) = \frac{0{,}020}{0{,}032} = 0{,}625$$

Bien que $M_2$ ne produise que 40 % des pièces, elle est à l'origine de 62,5 % des pièces défectueuses.

2.6 Méthode : résoudre un problème de probabilités

Définir clairement les événements avec des lettres et traduire les données de l'énoncé en probabilités (simples ou conditionnelles).
En cas d'équiprobabilité, dénombrer : l'ordre compte-t-il ? y a-t-il répétition ?
Construire un arbre pondéré dès qu'il y a des probabilités conditionnelles.
Appliquer la bonne formule : contraire (« au moins un »), réunion, probabilités totales, Bayes.
Vérifier que le résultat est compris entre 0 et 1 et l'interpréter.

⚠️ Les pièges à éviter

Confondre $P(A \mid B)$ et $P(B \mid A)$ (la probabilité d'être malade sachant que le test est positif n'est pas celle d'avoir un test positif sachant qu'on est malade).
Confondre événements indépendants et incompatibles.
Oublier de retrancher $P(A \cap B)$ dans la probabilité d'une réunion.
Utiliser des arrangements quand l'ordre ne compte pas (ou l'inverse).
Calculer « au moins un » directement au lieu de passer par l'événement contraire.

Exercice 1 — Recrutement et risque de crédit

Partie A — Dénombrement. Une agence bancaire de Rabat compte 12 employés : 7 femmes et 5 hommes. On forme au hasard une commission de 4 personnes.

Combien de commissions différentes peut-on former ?
Quelle est la probabilité que la commission comprenne exactement 2 femmes ?
Quelle est la probabilité qu'elle comprenne au moins un homme ?
Si l'on désigne en plus un président, un rapporteur et deux membres, combien de commissions différentes obtient-on ?

Partie B — Probabilités conditionnelles. Dans le portefeuille de l'agence, 30 % des emprunteurs sont classés « à risque ». La probabilité de défaut de remboursement est de 20 % pour un emprunteur à risque et de 5 % pour un emprunteur non classé à risque. 5. Construisez l'arbre pondéré et calculez la probabilité qu'un emprunteur pris au hasard fasse défaut. 6. Un emprunteur fait défaut. Quelle est la probabilité qu'il ait été classé « à risque » ? 7. Les événements « à risque » et « défaut » sont-ils indépendants ?

Voir le corrigé

1) L'ordre ne compte pas, pas de répétition : $C_{12}^4 = \dfrac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4!} = \mathbf{495}$ commissions.

2) On choisit 2 femmes parmi 7 et 2 hommes parmi 5 :

$$P = \frac{C_7^2 \times C_5^2}{C_{12}^4} = \frac{21 \times 10}{495} = \frac{210}{495} \approx \mathbf{0{,}424}$$

3) Événement contraire : « aucun homme », c'est-à-dire 4 femmes : $C_7^4 = 35$.

$$P(\text{au moins un homme}) = 1 - \frac{35}{495} \approx \mathbf{0{,}929}$$

4) On choisit les 4 personnes (495 façons), puis le président (4 choix) et le rapporteur (3 choix) ; les deux membres restants n'ont pas de rôle distinct : $495 \times 4 \times 3 = \mathbf{5\,940}$ (ou $A_{12}^2 \times C_{10}^2 = 132 \times 45 = 5\,940$ ✔).

5) Notons $R$ « à risque » et $D$ « défaut ». Arbre : $P(R) = 0{,}3$ avec $P(D \mid R) = 0{,}2$ ; $P(\bar{R}) = 0{,}7$ avec $P(D \mid \bar{R}) = 0{,}05$.

$$P(D) = 0{,}3 \times 0{,}2 + 0{,}7 \times 0{,}05 = 0{,}06 + 0{,}035 = \mathbf{0{,}095}$$

6) Formule de Bayes :

$$P(R \mid D) = \frac{0{,}06}{0{,}095} \approx \mathbf{0{,}632}$$

Près de deux défauts sur trois proviennent des emprunteurs classés à risque, qui ne représentent que 30 % du portefeuille : le classement est pertinent.

7) $P(R \cap D) = 0{,}06$ alors que $P(R) \times P(D) = 0{,}3 \times 0{,}095 = 0{,}0285$ : les événements ne sont pas indépendants (le classement apporte de l'information sur le risque de défaut).

Exercice 2 — Tirages dans une urne

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire 2 boules.

Tirage simultané (sans remise) : calculez la probabilité d'obtenir 2 boules rouges, puis une boule de chaque couleur.
Tirage successif avec remise : calculez la probabilité d'obtenir 2 boules rouges.
Expliquez la différence.

Voir le corrigé

1) $C_8^2 = 28$ tirages. Deux rouges : $C_5^2 / 28 = 10 / 28 \approx \mathbf{0{,}357}$. Une de chaque : $(5 \times 3) / 28 = 15 / 28 \approx \mathbf{0{,}536}$.

2) Tirages indépendants : $(5/8)^2 = 25 / 64 \approx \mathbf{0{,}391}$.

3) Sans remise, le premier tirage d'une boule rouge réduit la proportion de rouges pour le second ($4/7$ au lieu de $5/8$) : les tirages ne sont pas indépendants. Avec remise, la composition de l'urne est la même à chaque tirage.

Exercice 3 — Détection de fraude

Une banque estime que 1 % des transactions par carte sont frauduleuses. Son système d'alerte détecte 95 % des fraudes, mais déclenche aussi une alerte pour 3 % des transactions normales.

Calculez la probabilité qu'une transaction déclenche une alerte.
Une alerte est déclenchée : quelle est la probabilité que la transaction soit réellement frauduleuse ?
Commentez ce résultat.

Voir le corrigé

1) $P(A) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}03 = 0{,}0095 + 0{,}0297 = \mathbf{0{,}0392}$.

2) Bayes : $P(F \mid A) = 0{,}0095 / 0{,}0392 \approx \mathbf{0{,}242}$.

3) Moins d'une alerte sur quatre correspond à une vraie fraude, alors que le système semble performant : comme la fraude est rare, les fausses alertes sur les nombreuses transactions normales sont plus nombreuses que les vraies. C'est l'erreur classique qui consiste à confondre $P(A \mid F)$ et $P(F \mid A)$.

L'essentiel — Calcul des probabilités

Univers $\Omega$, événements, contraire $\bar{A}$, réunion, intersection, incompatibilité, système complet.
Dénombrement (chapitre 1) : compter cas favorables et cas possibles avec le même modèle de tirage ($n^p$, $A_n^p$ ou $C_n^p$).
Équiprobabilité : $P(A) = $ cas favorables / cas possibles.
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ ; $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ; De Morgan : $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ ; formule de Poincaré pour trois événements.
$P(A \mid B) = P(A \cap B) / P(B)$ ; indépendance : $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ (à ne pas confondre avec incompatibilité).
Probabilités totales : $P(A) = \sum P(B_i)\,P(A \mid B_i)$ ; Bayes : $P(B_j \mid A) = P(B_j)\,P(A \mid B_j) / P(A)$.
Outil clé : l'arbre pondéré ; « au moins un » se calcule par le contraire.

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