Chapitre 3 · Semestre 3

Variables aléatoires et lois usuelles

Probabilités

Cours Exercices Résumé QCM

🎯 Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

définir une variable aléatoire discrète ou continue et sa loi ;

calculer une espérance, une variance et utiliser leurs propriétés ;

reconnaître et utiliser les lois de Bernoulli, binomiale, hypergéométrique, géométrique et de Poisson ;

calculer des probabilités avec la loi normale et la table de la loi normale centrée réduite ;

appliquer les approximations classiques (binomiale par Poisson ou par la loi normale).

3.1 Variable aléatoire et loi de probabilité

Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque résultat d'une expérience aléatoire : le nombre de clients qui achètent, le montant d'une réclamation, la durée d'un appel.

$X$ est discrète si elle prend des valeurs isolées (0, 1, 2…) ; sa loi est donnée par les probabilités $p_i = P(X = x_i)$, avec $\sum p_i = 1$.
$X$ est continue si elle prend toute valeur d'un intervalle ; sa loi est décrite par une densité $f$ : $P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx$, et $P(X = a) = 0$.

La fonction de répartition $F(x) = P(X \le x)$ est croissante, de 0 à 1. Ce chapitre se concentre sur les lois discrètes et sur l'usage de la loi normale ; les variables continues sont approfondies au chapitre 4 et les approximations justifiées au chapitre 6.

3.2 Espérance et variance

$$E(X) = \sum x_i\,p_i \qquad V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum x_i^2\,p_i - [E(X)]^2 \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}$$

Exemple : nombre de ventes quotidiennes d'un commercial.

$x_i$	0	1	2	3
$p_i$	0,1	0,3	0,4	0,2

$E(X) = 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}6 = 1{,}7$ vente par jour ; $E(X^2) = 0{,}3 + 1{,}6 + 1{,}8 = 3{,}7$ ; $V(X) = 3{,}7 - 1{,}7^2 = 0{,}81$ ; $\sigma = 0{,}9$.

Propriétés : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ ; $V(aX + b) = a^2\,V(X)$ ; $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ ; si $X$ et $Y$ sont indépendantes, $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. Si le commercial touche 150 DH de fixe par jour et 200 DH par vente, sa rémunération $R = 200\,X + 150$ a pour espérance $200 \times 1{,}7 + 150 = 490$ DH et pour écart-type $200 \times 0{,}9 = 180$ DH.

3.3 Les lois discrètes usuelles

Loi	Situation	$P(X = k)$	$E(X)$	$V(X)$
Bernoulli $\mathcal{B}(p)$	Une épreuve à deux issues (succès/échec)	$P(X = 1) = p$	$p$	$p(1 - p)$
Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$	Nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes de même probabilité $p$	$C_n^k\,p^k\,(1 - p)^{n - k}$	$np$	$np(1 - p)$
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$	Nombre d'événements rares sur une période (appels, pannes, réclamations)	$e^{-\lambda}\,\dfrac{\lambda^k}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$

Exemple (binomiale) : 30 % des visiteurs d'un stand achètent le produit ; sur 10 visiteurs indépendants, $X \sim \mathcal{B}(10 ; 0{,}3)$. $P(X = 3) = C_{10}^3 \times 0{,}3^3 \times 0{,}7^7 \approx 0{,}267$ ; $P(X \ge 1) = 1 - 0{,}7^{10} \approx 0{,}972$ ; $E(X) = 3$ ; $V(X) = 2{,}1$.

Exemple (Poisson) : une agence reçoit en moyenne 3 réclamations par jour, $X \sim \mathcal{P}(3)$. $P(X = 0) = e^{-3} \approx 0{,}050$ ; $P(X = 2) = e^{-3} \times 9/2 \approx 0{,}224$ ; $P(X \le 2) \approx 0{,}423$.

La loi hypergéométrique $\mathcal{H}(N, n, p)$ remplace la binomiale pour des tirages sans remise : on prélève $n$ individus dans une population de $N$ individus, dont une proportion $p$ (soit $K = Np$ individus) présente le caractère étudié. Le nombre $X$ d'individus présentant le caractère dans le prélèvement vérifie :

$P(X = k) = \frac{C_K^k \times C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} \qquad E(X) = np \qquad V(X) = np(1 - p)\,\frac{N - n}{N - 1}$

Exemple : un auditeur contrôle 4 dossiers tirés sans remise parmi 20, dont 5 sont non conformes. $P(X = 0) = C_{15}^4 / C_{20}^4 = 1\,365 / 4\,845 \approx 0{,}282$ ; $E(X) = 4 \times 0{,}25 = 1$. La binomiale $\mathcal{B}(4 ; 0{,}25)$ donnerait $0{,}75^4 \approx 0{,}316$ : l'écart est sensible car l'échantillon représente 20 % de la population. Lorsque $n/N \le 10\,\%$, le facteur $(N - n)/(N - 1)$ est proche de 1 et la binomiale devient une bonne approximation.

La loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ donne le rang du premier succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes :

$P(X = k) = (1 - p)^{k-1}\,p \quad (k \ge 1) \qquad E(X) = \frac{1}{p} \qquad V(X) = \frac{1 - p}{p^2}$

Exemple : un téléconseiller conclut une vente à chaque appel avec la probabilité 0,2. La probabilité que la première vente arrive au 3ᵉ appel est $0{,}8^2 \times 0{,}2 = 0{,}128$ ; il faut en moyenne $1 / 0{,}2 = 5$ appels pour conclure une première vente.

3.4 La loi normale

La loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ décrit de nombreux phénomènes résultant de l'addition de multiples petites causes indépendantes (erreurs de mesure, poids de produits conditionnés, rendements financiers en première approximation). Sa densité a la forme d'une cloche symétrique autour de $\mu$.

On se ramène toujours à la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0, 1)$, dont la fonction de répartition $\Phi$ est tabulée :

$$\boxed{Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)} \qquad P(X \le x) = \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)$$

Règles de lecture : $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ ; $P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$ ; $P(-z \le Z \le z) = 2\,\Phi(z) - 1$.

$z$	0,5	1	1,5	1,645	1,96	2	2,576
$\Phi(z)$	0,6915	0,8413	0,9332	0,9500	0,9750	0,9772	0,9950

Exemple : les dépenses mensuelles des clients d'une enseigne suivent $\mathcal{N}(800 ; 200)$ en DH. $P(X < 1\,000) = \Phi(1) \approx 0{,}841$ ; $P(600 < X < 1\,000) = 2\,\Phi(1) - 1 \approx 0{,}683$ ; $P(X > 1\,100) = 1 - \Phi(1{,}5) \approx 0{,}067$. Le montant dépassé par seulement 10 % des clients est $800 + 1{,}2816 \times 200 \approx 1\,056$ DH.

Environ 68 % des valeurs sont dans $[\mu - \sigma ; \mu + \sigma]$, 95 % dans $[\mu - 1{,}96\,\sigma ; \mu + 1{,}96\,\sigma]$ et 99,7 % dans $[\mu - 3\,\sigma ; \mu + 3\,\sigma]$.

3.5 Les approximations classiques

Loi exacte	Condition usuelle	Approximation
$\mathcal{B}(n, p)$	$n \ge 30$, $p \le 0{,}1$, $np < 15$	Poisson $\mathcal{P}(np)$
$\mathcal{B}(n, p)$	$np \ge 5$ et $n(1 - p) \ge 5$ (souvent $n \ge 30$)	Normale $\mathcal{N}\left(np ; \sqrt{np(1 - p)}\right)$
$\mathcal{P}(\lambda)$	$\lambda \ge 20$ environ	Normale $\mathcal{N}(\lambda ; \sqrt{\lambda})$

Quand on approche une loi discrète par une loi continue, on applique la correction de continuité : $P(X \le k) \approx P(Y \le k + 0{,}5)$.

Exemple : $X \sim \mathcal{B}(400 ; 0{,}5)$, approchée par $\mathcal{N}(200 ; 10)$ : $P(X \le 210) \approx \Phi\left(\frac{210{,}5 - 200}{10}\right) = \Phi(1{,}05) \approx 0{,}853$ (la valeur exacte est 0,853).

3.6 Méthode : calculer une probabilité avec une loi usuelle

Identifier la loi : nombre de succès sur $n$ essais indépendants (binomiale), événements rares par période (Poisson), grandeur continue en cloche (normale).
Préciser les paramètres ($n$ et $p$, $\lambda$, $\mu$ et $\sigma$).
Traduire la question : $P(X = k)$, $P(X \le k)$, $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$…
Pour la loi normale : centrer-réduire, puis lire la table.
Vérifier les conditions avant toute approximation et appliquer la correction de continuité.

⚠️ Les pièges à éviter

Oublier le coefficient $C_n^k$ dans la loi binomiale.
Confondre $\sigma$ et $\sigma^2$ dans la notation $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ : vérifier la convention de l'énoncé.
Lire $\Phi(z)$ pour $P(Z > z)$ : il faut prendre $1 - \Phi(z)$.
Chercher $P(X = a)$ pour une loi continue : cette probabilité est nulle.
Appliquer une approximation sans vérifier ses conditions, ou oublier la correction de continuité.

Exercice 1 — Le centre d'appels

Un centre d'appels de Casablanca vend des abonnements par téléphone.

Partie A. Chaque appel aboutit à une vente avec une probabilité de 0,2, indépendamment des autres. Un téléconseiller passe 8 appels.

Quelle est la loi du nombre $X$ de ventes ? Donnez son espérance et sa variance.
Calculez $P(X = 2)$ et $P(X \ge 1)$.

Partie B. Le centre reçoit en moyenne 2,5 réclamations par jour ; leur nombre $Y$ suit une loi de Poisson. 3. Calculez $P(Y = 0)$, $P(Y \le 2)$ et $P(Y > 3)$.

Partie C. La durée $T$ d'un appel (en minutes) suit la loi $\mathcal{N}(6 ; 1{,}5)$. 4. Calculez $P(T > 8)$ et $P(4{,}5 < T < 7{,}5)$. 5. Quelle durée n'est dépassée que par 5 % des appels ?

Partie D. Sur une semaine, l'équipe passe 400 appels. 6. Par quelle loi peut-on approcher le nombre $S$ de ventes ? Calculez $P(S \ge 90)$.

Voir le corrigé

1) 8 épreuves indépendantes à deux issues de même probabilité : $X \sim \mathcal{B}(8 ; 0{,}2)$. $E(X) = 8 \times 0{,}2 = \mathbf{1{,}6}$ ; $V(X) = 1{,}6 \times 0{,}8 = \mathbf{1{,}28}$.

2) $P(X = 2) = C_8^2 \times 0{,}2^2 \times 0{,}8^6 = 28 \times 0{,}04 \times 0{,}262144 \approx \mathbf{0{,}294}$ ; $P(X \ge 1) = 1 - 0{,}8^8 \approx 1 - 0{,}168 = \mathbf{0{,}832}$.

3) $Y \sim \mathcal{P}(2{,}5)$ :

$P(Y = 0) = e^{-2{,}5} \approx \mathbf{0{,}082}$ ;
$P(Y \le 2) = e^{-2{,}5}\,(1 + 2{,}5 + 3{,}125) \approx \mathbf{0{,}544}$ ;
$P(Y > 3) = 1 - e^{-2{,}5}\,(1 + 2{,}5 + 3{,}125 + 2{,}604) \approx \mathbf{0{,}242}$.

4) $P(T > 8) = 1 - \Phi\left(\frac{8 - 6}{1{,}5}\right) = 1 - \Phi(1{,}33) \approx 1 - 0{,}9082 = \mathbf{0{,}092}$. $P(4{,}5 < T < 7{,}5) = 2\,\Phi(1) - 1 \approx \mathbf{0{,}683}$.

5) On cherche $t$ tel que $P(T > t) = 0{,}05$ : $\frac{t - 6}{1{,}5} = 1{,}645$, soit $t \approx \mathbf{8{,}47}$ minutes.

6) $S \sim \mathcal{B}(400 ; 0{,}2)$ avec $np = 80 \ge 5$ et $n(1 - p) = 320 \ge 5$ : on l'approche par $\mathcal{N}(80 ; \sqrt{64} = 8)$. Avec la correction de continuité :

$$P(S \ge 90) \approx P\left(Z \ge \frac{89{,}5 - 80}{8}\right) = 1 - \Phi(1{,}19) \approx 1 - 0{,}8830 = \mathbf{0{,}117}$$

Il y a environ 12 % de chances que l'équipe réalise au moins 90 ventes dans la semaine.

Exercice 2 — Contrôle qualité et loi de Poisson

Une usine de Kénitra produit des pièces dont 2 % sont défectueuses. On prélève un lot de 150 pièces.

Quelle est la loi exacte du nombre $X$ de pièces défectueuses ?
Justifiez une approximation par une loi de Poisson et calculez $P(X = 0)$ et $P(X \le 2)$.
Comparez avec la valeur exacte de $P(X = 0)$.

Voir le corrigé

1) $X \sim \mathcal{B}(150 ; 0{,}02)$.

2) $n$ est grand, $p$ petit et $np = 3$ : $X \approx \mathcal{P}(3)$. $P(X = 0) \approx e^{-3} \approx \mathbf{0{,}050}$ ; $P(X \le 2) \approx e^{-3}(1 + 3 + 4{,}5) \approx \mathbf{0{,}423}$.

3) Valeur exacte : $0{,}98^{150} \approx 0{,}048$ ; l'approximation est très bonne (de même, $P(X \le 2)$ exact vaut environ 0,421).

Exercice 3 — Conditionnement et loi normale

Le poids des paquets de thé remplis par une machine suit la loi $\mathcal{N}(250 ; 4)$ en grammes.

Quelle proportion de paquets pèse moins de 245 g ?
Quelle proportion pèse entre 246 et 254 g ?
Le règlement impose qu'au plus 2 % des paquets pèsent moins de 245 g. Sans changer l'écart-type, sur quelle moyenne faut-il régler la machine ? (On donne $\Phi(2{,}054) = 0{,}98$.)

Voir le corrigé

1) $P(X < 245) = \Phi(-1{,}25) = 1 - \Phi(1{,}25) \approx 1 - 0{,}8944 = \mathbf{0{,}106}$, soit environ 10,6 % des paquets.

2) $P(246 < X < 254) = 2\,\Phi(1) - 1 \approx \mathbf{0{,}683}$.

3) On veut $(245 - \mu) / 4 = -2{,}054$, soit $\mu = 245 + 2{,}054 \times 4 \approx \mathbf{253{,}2}$ g. Réduire l'écart-type (machine plus précise) permettrait de viser une moyenne plus proche de 250 g.

L'essentiel — Variables aléatoires et lois usuelles

Discrète : $P(X = x_i) = p_i$ ; continue : densité, $P(X = a) = 0$ ; fonction de répartition $F(x) = P(X \le x)$.
$E(X) = \sum x_i p_i$ ; $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ ; $E(aX + b) = aE(X) + b$ ; $V(aX + b) = a^2 V(X)$ ; variances additives si indépendance.
Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ : $C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}$, $E = np$, $V = np(1 - p)$.
Hypergéométrique (tirage sans remise) : $E = np$, $V = np(1 - p)(N - n)/(N - 1)$ ; géométrique (rang du premier succès) : $(1 - p)^{k-1}p$, $E = 1/p$.
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : $e^{-\lambda} \lambda^k / k!$, $E = V = \lambda$ (événements rares).
Normale : $Z = (X - \mu)/\sigma \sim \mathcal{N}(0, 1)$ ; $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ ; 68 % à $\pm\sigma$, 95 % à $\pm 1{,}96\sigma$.
Approximations : binomiale par Poisson ($p$ petit) ou par la normale ($np \ge 5$ et $n(1 - p) \ge 5$), avec correction de continuité.

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