Les tests d'hypothèses

🎯 Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• formuler une hypothèse nulle et une hypothèse alternative, unilatérale ou bilatérale ;
• distinguer le risque de première espèce, le risque de seconde espèce et la puissance d'un test ;
• mener un test sur une moyenne (loi normale ou de Student) et sur une proportion ;
• comparer deux moyennes ou deux proportions sur de grands échantillons ;
• réaliser un test du khi-deux d'indépendance et interpréter une p-valeur.

8.1 Le principe d'un test

Le chapitre 7 estimait un paramètre inconnu. Un test répond à une question différente : une affirmation sur ce paramètre est-elle compatible avec les observations ? Un fabricant annonce que ses paquets pèsent 1 kg en moyenne, une enseigne que 80 % de ses clients sont satisfaits, un directeur commercial que le canal d'achat ne dépend pas de l'âge. L'échantillon ne reproduira jamais exactement ces valeurs ; toute la question est de savoir si l'écart observé peut s'expliquer par le hasard de l'échantillonnage, ou s'il est trop grand pour cela.

Définition — Hypothèses : l'hypothèse nulle $H_0$ est l'affirmation que l'on teste (en général une égalité : $\mu = \mu_0$, $p = p_0$, indépendance). L'hypothèse alternative $H_1$ est ce que l'on retient si l'on rejette $H_0$.

Le test est bilatéral si $H_1$ est $\mu \neq \mu_0$ (un écart dans les deux sens nous intéresse) et unilatéral si $H_1$ est $\mu < \mu_0$ ou $\mu > \mu_0$ (seul un sens compte : un poids trop faible, un délai trop long). C'est l'énoncé qui fixe le sens, avant de regarder les données.

La logique ressemble à celle d'un procès : $H_0$ est présumée vraie, et on ne la rejette que si les observations la rendent très invraisemblable. Ne pas rejeter $H_0$ ne prouve donc pas qu'elle est vraie : cela signifie seulement que les données ne permettent pas de la contredire.

8.2 Les deux risques d'erreur

	$H_0$ vraie	$H_0$ fausse
On ne rejette pas $H_0$	Bonne décision ($1 - \alpha$)	Erreur de seconde espèce (risque $\beta$)
On rejette $H_0$	Erreur de première espèce (risque $\alpha$)	Bonne décision : puissance $1 - \beta$

Le risque $\alpha$, appelé seuil ou niveau de signification, est choisi à l'avance : 5 % en général, 1 % quand une erreur serait coûteuse. Les deux risques varient en sens contraire : diminuer $\alpha$ rend le test plus prudent, mais augmente $\beta$. Seule l'augmentation de la taille de l'échantillon permet de réduire les deux à la fois.

Exemple : un contrôle qualité teste $H_0$ « le lot est conforme ». L'erreur de première espèce consiste à refuser un bon lot (coût pour le fournisseur) ; l'erreur de seconde espèce, à accepter un lot défectueux (coût pour le client).

8.3 La démarche en cinq étapes

1. Formuler $H_0$ et $H_1$, et fixer $\alpha$.
2. Choisir la statistique de test et sa loi sous $H_0$ (normale, Student, khi-deux).
3. Déterminer la région critique (ou région de rejet) : les valeurs de la statistique trop improbables si $H_0$ est vraie.
4. Calculer la statistique sur l'échantillon.
5. Décider et conclure en une phrase, dans les termes du problème.

La p-valeur est la probabilité, si $H_0$ est vraie, d'observer un écart au moins aussi grand que celui constaté. On rejette $H_0$ lorsque la p-valeur est inférieure à $\alpha$. Elle a l'avantage de dire à quel point le résultat est significatif, là où la région critique ne donne qu'une réponse par oui ou non.

8.4 Le test sur une moyenne

Situation	Statistique de test sous $H_0 : \mu = \mu_0$	Loi
$\sigma$ connu (population normale ou $n \ge 30$)	$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$	$\mathcal{N}(0 ; 1)$
$\sigma$ inconnu, $n \ge 30$	$Z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$	$\mathcal{N}(0 ; 1)$
$\sigma$ inconnu, $n < 30$, population normale	$T = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$	Student à $n - 1$ ddl

Test ($\alpha = 5\,\%$, loi normale)	Rejet de $H_0$ si
Bilatéral ($H_1 : \mu \neq \mu_0$)	$\lvert Z \rvert > 1{,}96$
Unilatéral à droite ($H_1 : \mu > \mu_0$)	$Z > 1{,}645$
Unilatéral à gauche ($H_1 : \mu < \mu_0$)	$Z < -1{,}645$

Exemple : un fournisseur affirme que la durée de vie moyenne de ses lampes est d'au moins 8 000 heures ($\sigma = 600$ h). Un hôtel de Marrakech en teste 36 et obtient une moyenne de 7 810 heures. On teste $H_0 : \mu = 8\,000$ contre $H_1 : \mu < 8\,000$ au seuil de 5 %.

$$Z = \frac{7\,810 - 8\,000}{600 / \sqrt{36}} = \frac{-190}{100} = -1{,}9 < -1{,}645$$

On rejette $H_0$ : l'affirmation du fournisseur n'est pas crédible au seuil de 5 %. La p-valeur vaut $P(Z < -1{,}9) = 1 - \Phi(1{,}9) \approx 0{,}029$ ; au seuil de 1 % (seuil $-2{,}326$), on ne l'aurait pas rejetée.

8.5 Le test sur une proportion

Sous $H_0 : p = p_0$, avec $n p_0 \ge 5$ et $n(1 - p_0) \ge 5$ :

$$\boxed{Z = \frac{f - p_0}{\sqrt{p_0\,(1 - p_0) / n}}} \sim \mathcal{N}(0 ; 1)$$

On utilise $p_0$, et non $f$, sous la racine : le calcul se fait en supposant $H_0$ vraie.

Exemple : une marque de boissons revendique 30 % de part de marché. Sur 500 consommateurs interrogés, 135 déclarent l'acheter ($f = 0{,}27$). On teste $H_0 : p = 0{,}30$ contre $H_1 : p < 0{,}30$ : $Z = (0{,}27 - 0{,}30) / \sqrt{0{,}21 / 500} \approx -1{,}46$, supérieur à $-1{,}645$. On ne rejette pas $H_0$ : l'écart de 3 points peut s'expliquer par le hasard de l'échantillonnage.

8.6 Comparer deux moyennes ou deux proportions

Pour deux grands échantillons indépendants ($n_1, n_2 \ge 30$), on teste $H_0 : \mu_1 = \mu_2$ avec :

$$Z = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}}}$$

et $H_0 : p_1 = p_2$ avec la proportion commune $\hat{p} = (n_1 f_1 + n_2 f_2)/(n_1 + n_2)$ :

$$Z = \frac{f_1 - f_2}{\sqrt{\hat{p}(1 - \hat{p})\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)}}$$

Exemple : le panier moyen de 100 clients d'une enseigne à Casablanca est de 520 DH ($s_1 = 80$), celui de 120 clients à Rabat de 495 DH ($s_2 = 90$). $Z = 25 / \sqrt{64 + 67{,}5} \approx 25 / 11{,}47 \approx 2{,}18 > 1{,}96$ : la différence est significative au seuil de 5 % (p-valeur ≈ 0,029).

8.7 Le test du khi-deux d'indépendance

Pour savoir si deux caractères qualitatifs sont liés, on compare les effectifs observés $O_{ij}$ d'un tableau de contingence aux effectifs théoriques $T_{ij}$ qu'on observerait en cas d'indépendance (voir le chapitre 5 du cours de statistique descriptive) :

$$T_{ij} = \frac{n_{i\cdot} \times n_{\cdot j}}{N} \qquad \boxed{\chi^2 = \sum_i \sum_j \frac{(O_{ij} - T_{ij})^2}{T_{ij}}}$$

Sous $H_0$ (indépendance), cette statistique suit une loi du khi-deux à $(r - 1)(c - 1)$ degrés de liberté, $r$ et $c$ étant les nombres de lignes et de colonnes. On rejette l'indépendance si $\chi^2$ dépasse la valeur critique. La condition d'usage est que tous les effectifs théoriques soient au moins égaux à 5.

ddl	1	2	3	4	6
$\chi^2$ critique à 5 %	3,841	5,991	7,815	9,488	12,592
$\chi^2$ critique à 1 %	6,635	9,210	11,345	13,277	16,812

Le même principe donne le test d'ajustement : on compare des effectifs observés aux effectifs prévus par une loi (répartition annoncée, loi de Poisson…), avec $k - 1$ ddl pour $k$ classes (moins le nombre de paramètres estimés).

8.8 Méthode : rédiger un test à l'examen

1. Écrire $H_0$ et $H_1$ en précisant le paramètre et le sens (bilatéral ou unilatéral), puis $\alpha$.
2. Vérifier les conditions (taille de l'échantillon, $n p_0 \ge 5$, effectifs théoriques $\ge 5$).
3. Donner la statistique de test et sa loi sous $H_0$, puis la valeur critique lue dans la table.
4. Calculer la statistique ; comparer à la valeur critique (ou calculer la p-valeur).
5. Conclure dans le langage du problème : « au seuil de 5 %, on ne peut pas affirmer que… ».

⚠️ Les pièges à éviter

• Écrire l'hypothèse nulle avec les valeurs de l'échantillon ($H_0 : \bar{x} = \dots$) : les hypothèses portent sur les paramètres de la population.
• Utiliser 1,96 pour un test unilatéral à 5 % : le seuil est 1,645.
• Utiliser $f$ au lieu de $p_0$ dans l'erreur type d'un test sur une proportion.
• Conclure « $H_0$ est vraie » quand on ne la rejette pas.
• Oublier les degrés de liberté $(r - 1)(c - 1)$, ou appliquer le khi-deux à des pourcentages au lieu d'effectifs.