Les couples de variables aléatoires

🎯 Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• présenter la loi conjointe d'un couple de variables aléatoires discrètes ;
• en déduire les lois marginales et les lois conditionnelles ;
• tester l'indépendance de deux variables aléatoires ;
• calculer une covariance et un coefficient de corrélation, et en connaître les limites ;
• calculer l'espérance et la variance d'une combinaison linéaire, par exemple le rendement d'un portefeuille.

5.1 Pourquoi étudier deux variables à la fois ?

Les phénomènes économiques sont rarement isolés : le nombre de crédits immobiliers et le nombre de crédits à la consommation accordés par une agence, le rendement de deux actions cotées à la Bourse de Casablanca, la demande de deux produits concurrents. Étudier chaque variable séparément ne dit rien de leur liaison, or c'est souvent elle qui compte : un banquier veut savoir si les défauts de deux emprunteurs peuvent survenir ensemble, un gestionnaire de portefeuille si deux titres baissent en même temps.

Le chapitre 5 du cours de statistique descriptive étudiait la liaison entre deux séries observées (covariance, corrélation empiriques). On fait ici la même chose pour deux variables aléatoires, en raisonnant sur leur loi de probabilité plutôt que sur des données.

5.2 La loi conjointe

Définition — Loi conjointe : la loi du couple $(X, Y)$ est la donnée des probabilités $p_{ij} = P(X = x_i \text{ et } Y = y_j)$ pour tous les couples de valeurs possibles, avec $\sum_i \sum_j p_{ij} = 1$.

On la présente dans un tableau à double entrée, comme un tableau de contingence dont les cases seraient des probabilités au lieu d'effectifs :

	$y_1$	$y_2$	…	Loi de $X$
$x_1$	$p_{11}$	$p_{12}$	…	$p_{1\cdot}$
$x_2$	$p_{21}$	$p_{22}$	…	$p_{2\cdot}$
Loi de $Y$	$p_{\cdot 1}$	$p_{\cdot 2}$	…	1

5.3 Les lois marginales et conditionnelles

Les lois marginales sont celles de chaque variable prise isolément. On les lit dans les marges du tableau, en additionnant les lignes ou les colonnes :

$$P(X = x_i) = p_{i\cdot} = \sum_j p_{ij} \qquad P(Y = y_j) = p_{\cdot j} = \sum_i p_{ij}$$

La loi conditionnelle de $X$ sachant $Y = y_j$ décrit $X$ lorsque l'on sait que $Y$ a pris la valeur $y_j$. On l'obtient en divisant la colonne $j$ par son total :

$$P(X = x_i \mid Y = y_j) = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$$

C'est une vraie loi de probabilité (ses valeurs somment à 1), qui a sa propre espérance conditionnelle $E(X \mid Y = y_j) = \sum_i x_i\,P(X = x_i \mid Y = y_j)$. Comparer les espérances conditionnelles pour les différentes valeurs de $Y$ est le moyen le plus parlant de montrer qu'une variable influence l'autre.

5.4 L'indépendance de deux variables aléatoires

Définition — Indépendance : $X$ et $Y$ sont indépendantes si, pour tous les couples $(i, j)$ : $$p_{ij} = p_{i\cdot} \times p_{\cdot j}$$

Autrement dit, toutes les lois conditionnelles de $X$ sont identiques à sa loi marginale : connaître $Y$ n'apprend rien sur $X$. Pour montrer l'indépendance, il faut vérifier l'égalité dans toutes les cases ; pour la réfuter, une seule case suffit.

5.5 Covariance et coefficient de corrélation

$$\boxed{cov(X, Y) = E\big[(X - E(X))(Y - E(Y))\big] = E(XY) - E(X)\,E(Y)} \qquad \text{avec } E(XY) = \sum_i \sum_j x_i\,y_j\,p_{ij}$$

$$\rho(X, Y) = \frac{cov(X, Y)}{\sigma(X)\,\sigma(Y)} \qquad -1 \le \rho \le 1$$

Une covariance positive indique que les deux variables tendent à être grandes (ou petites) en même temps ; négative, qu'elles varient en sens contraire. Le coefficient $\rho$, sans unité, mesure l'intensité de la liaison linéaire.

Indépendance et covariance nulle ne sont pas équivalentes. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $E(XY) = E(X)\,E(Y)$ et $cov(X, Y) = 0$. La réciproque est fausse : si $X$ prend les valeurs $-1$, $0$ et $1$ avec la probabilité $1/3$ chacune et $Y = X^2$, on trouve $E(X) = 0$ et $E(XY) = E(X^3) = 0$, donc $cov(X, Y) = 0$, alors que $Y$ est entièrement déterminée par $X$. La covariance ne détecte que les liaisons linéaires.

5.6 Somme et combinaison linéaire de variables

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$$E(aX + bY) = a\,E(X) + b\,E(Y)$$

$$\boxed{V(aX + bY) = a^2\,V(X) + b^2\,V(Y) + 2ab\,cov(X, Y)}$$

L'espérance est toujours additive ; la variance ne l'est que si la covariance est nulle (en particulier si les variables sont indépendantes).

Application — le portefeuille de deux titres. Un investisseur place une proportion $w$ de son capital sur l'action A et $1 - w$ sur l'action B. Le rendement du portefeuille est $R_P = w\,R_A + (1 - w)\,R_B$, d'où :

$$E(R_P) = w\,E(R_A) + (1 - w)\,E(R_B) \qquad \sigma^2(R_P) = w^2 \sigma_A^2 + (1 - w)^2 \sigma_B^2 + 2w(1 - w)\,\rho\,\sigma_A \sigma_B$$

Tant que $\rho < 1$, le risque du portefeuille est inférieur à la moyenne pondérée des risques : c'est l'effet de diversification, au cœur de la théorie de Markowitz et de la gestion des OPCVM.

5.7 Sommes de lois usuelles indépendantes

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes avec…	Alors $X + Y$ suit…
$X \sim \mathcal{B}(n_1 ; p)$ et $Y \sim \mathcal{B}(n_2 ; p)$ (même $p$)	$\mathcal{B}(n_1 + n_2 ; p)$
$X \sim \mathcal{P}(\lambda_1)$ et $Y \sim \mathcal{P}(\lambda_2)$	$\mathcal{P}(\lambda_1 + \lambda_2)$
$X \sim \mathcal{N}(\mu_1 ; \sigma_1)$ et $Y \sim \mathcal{N}(\mu_2 ; \sigma_2)$	$\mathcal{N}\left(\mu_1 + \mu_2 ; \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}\right)$

Exemple : deux agences d'une même banque reçoivent en moyenne 2 et 3 réclamations par jour, indépendamment (lois de Poisson). Le nombre total de réclamations suit $\mathcal{P}(5)$, et la probabilité d'en recevoir au plus 2 dans la journée vaut $e^{-5}(1 + 5 + 12{,}5) \approx 0{,}125$.

5.8 Méthode : étudier un couple de variables discrètes

1. Vérifier que la somme des $p_{ij}$ vaut 1.
2. Calculer les lois marginales (totaux des lignes et des colonnes).
3. Tester l'indépendance : comparer $p_{ij}$ et $p_{i\cdot}\,p_{\cdot j}$ (une case différente suffit à conclure à la dépendance).
4. Calculer $E(X)$, $E(Y)$, $V(X)$, $V(Y)$, puis $E(XY)$ et la covariance.
5. En déduire $\rho$ et, si l'énoncé le demande, l'espérance et la variance d'une combinaison $aX + bY$.

⚠️ Les pièges à éviter

• Conclure à l'indépendance après avoir vérifié une seule case.
• Déduire l'indépendance d'une covariance nulle : seule l'implication inverse est vraie.
• Oublier le terme $2ab\,cov(X, Y)$ dans la variance d'une somme de variables dépendantes.
• Diviser par le total de la ligne au lieu de la colonne (ou l'inverse) pour une loi conditionnelle.
• Calculer $E(XY)$ comme $E(X) \times E(Y)$ sans avoir démontré l'indépendance.