Les variables aléatoires continues

🎯 Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• vérifier qu'une fonction est une densité de probabilité et calculer des probabilités par intégration ;
• passer de la densité à la fonction de répartition, et inversement ;
• calculer l'espérance, la variance, la médiane et les quantiles d'une variable continue ;
• utiliser les lois uniforme, exponentielle et normale, et la stabilité de la loi normale ;
• connaître les lois du khi-deux, de Student et de Fisher, qui servent à l'estimation et aux tests.

4.1 Du discret au continu : la densité

Une variable aléatoire est continue lorsqu'elle peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle : la durée de traitement d'un dossier, le montant d'un sinistre, le poids d'un paquet, le rendement d'une action. On ne peut plus attribuer une probabilité à chaque valeur, car il y en a une infinité : la probabilité se répartit sur l'intervalle, comme une masse étalée, et l'on décrit cette répartition par une densité.

Définition — Densité de probabilité : une fonction $f$ est une densité si elle est positive ou nulle et si l'aire totale sous sa courbe vaut 1 : $$f(x) \ge 0 \quad \text{pour tout } x \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$$

La probabilité que $X$ tombe dans un intervalle est l'aire sous la courbe de la densité au-dessus de cet intervalle :

$$\boxed{P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx}$$

Conséquence importante : $P(X = a) = 0$ pour toute valeur $a$. Les inégalités larges ou strictes donnent donc le même résultat, $P(X < b) = P(X \le b)$, ce qui n'est pas le cas pour une variable discrète. Attention, $f(x)$ n'est pas une probabilité : une densité peut dépasser 1 sur un intervalle court.

4.2 La fonction de répartition

$$F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$$

$F$ est continue, croissante, tend vers 0 en $-\infty$ et vers 1 en $+\infty$. Elle permet tous les calculs sans nouvelle intégration :

$$P(a < X \le b) = F(b) - F(a) \qquad P(X > a) = 1 - F(a)$$

Réciproquement, là où $F$ est dérivable, la densité est la dérivée de la fonction de répartition : $f(x) = F'(x)$. Dans un exercice, on calcule donc généralement $F$ une fois pour toutes, puis on s'en sert pour répondre aux questions.

4.3 Espérance, variance, médiane et quantiles

Les sommes du cas discret deviennent des intégrales :

$$E(X) = \int x\,f(x)\,dx \qquad E(X^2) = \int x^2 f(x)\,dx \qquad V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$$

Les propriétés vues au chapitre 3 restent vraies : $E(aX + b) = a\,E(X) + b$ et $V(aX + b) = a^2\,V(X)$.

La médiane $m$ est la valeur telle que $F(m) = 0{,}5$ : une chance sur deux d'être au-dessous, une sur deux d'être au-dessus. Plus généralement, le quantile d'ordre $\alpha$ est la valeur $x_\alpha$ telle que $F(x_\alpha) = \alpha$ ; c'est ainsi qu'une banque calcule sa valeur en risque (VaR), la perte qui n'est dépassée que dans 1 % ou 5 % des cas.

4.4 La loi uniforme continue

Définition — Loi uniforme $\mathcal{U}[a ; b]$ : toutes les valeurs de l'intervalle $[a ; b]$ sont « également probables » ; la densité est constante sur l'intervalle et nulle ailleurs.

$$f(x) = \frac{1}{b - a} \text{ sur } [a ; b] \qquad F(x) = \frac{x - a}{b - a} \qquad E(X) = \frac{a + b}{2} \qquad V(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$$

Exemple : un tramway passe toutes les 10 minutes et un voyageur arrive au hasard à la station ; son temps d'attente suit $\mathcal{U}[0 ; 10]$. Il attend en moyenne 5 minutes, et la probabilité d'attendre plus de 7 minutes vaut $(10 - 7)/10 = 0{,}3$.

4.5 La loi exponentielle

Définition — Loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$, $\lambda > 0$ : loi des durées (durée de vie d'un équipement, temps d'attente entre deux arrivées de clients).

$$f(x) = \lambda\,e^{-\lambda x} \ (x \ge 0) \qquad F(x) = 1 - e^{-\lambda x} \qquad P(X > x) = e^{-\lambda x} \qquad E(X) = \frac{1}{\lambda} \qquad V(X) = \frac{1}{\lambda^2}$$

Sa propriété caractéristique est l'absence de mémoire : $P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$. Un équipement qui fonctionne depuis 2 ans a la même probabilité de tenir encore 5 ans qu'un équipement neuf : il ne « vieillit » pas. Cette hypothèse convient aux pannes accidentelles, pas à l'usure.

Il existe un lien étroit avec la loi de Poisson : si les arrivées de clients à un guichet suivent une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ par minute, le temps entre deux arrivées suit la loi exponentielle de même paramètre, avec une attente moyenne de $1/\lambda$ minute.

4.6 La loi normale : propriétés approfondies

La loi normale $\mathcal{N}(\mu ; \sigma)$, présentée au chapitre 3, a pour densité :

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}$$

Cette fonction n'a pas de primitive simple : c'est pourquoi on centre et réduit ($Z = (X - \mu)/\sigma$) et on lit la table de $\Phi$. Deux propriétés de stabilité rendent la loi normale très commode :

• une transformation affine d'une variable normale est normale : si $X \sim \mathcal{N}(\mu ; \sigma)$, alors $aX + b \sim \mathcal{N}(a\mu + b ; |a|\sigma)$ ;
• la somme de variables normales indépendantes est normale : si $X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1 ; \sigma_1)$ et $X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2 ; \sigma_2)$ sont indépendantes,

$$\boxed{X_1 + X_2 \sim \mathcal{N}\left(\mu_1 + \mu_2 \ ; \ \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}\right)}$$

Ce sont les variances qui s'additionnent, pas les écarts-types. La lecture inverse de la table donne les quantiles : le seuil dépassé par 5 % des valeurs est $\mu + 1{,}645\,\sigma$, celui qui laisse 2,5 % de chaque côté est $\mu \pm 1{,}96\,\sigma$.

4.7 Les lois dérivées de la loi normale

Trois lois construites à partir de variables normales centrées réduites indépendantes sont indispensables en statistique inférentielle (chapitres 7 et 8). Elles sont tabulées en fonction de leurs degrés de liberté (ddl).

Loi	Construction	Propriétés	Usage
Khi-deux $\chi^2(n)$	$Z_1^2 + Z_2^2 + \dots + Z_n^2$	Positive, asymétrique ; $E = n$, $V = 2n$	Estimation d'une variance, test d'indépendance
Student $T(n)$	$\dfrac{Z}{\sqrt{\chi^2(n)/n}}$	Symétrique, plus étalée que $\mathcal{N}(0 ; 1)$ ; tend vers elle quand $n$ grandit	Moyenne d'un petit échantillon, $\sigma$ inconnu
Fisher $F(n_1, n_2)$	$\dfrac{\chi^2(n_1)/n_1}{\chi^2(n_2)/n_2}$	Positive ; deux ddl	Comparaison de deux variances, analyse de la variance, régression

Quelques valeurs à connaître : pour $T(9)$, le seuil bilatéral à 5 % vaut 2,262 (contre 1,96 pour la loi normale) ; pour $\chi^2(1)$, le seuil à 5 % vaut 3,841, soit $1{,}96^2$.

4.8 Méthode : étudier une variable continue

1. Vérifier que $f$ est une densité (positive, intégrale égale à 1) ou déterminer la constante qui l'en rend une.
2. Calculer la fonction de répartition $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$ sur chaque intervalle.
3. Répondre aux questions de probabilité avec $F$ : $F(b) - F(a)$, $1 - F(a)$.
4. Calculer $E(X)$, $E(X^2)$ puis $V(X)$ ; la médiane en résolvant $F(m) = 0{,}5$.
5. Pour une loi usuelle, identifier ses paramètres et utiliser directement ses formules (et la table pour la loi normale).

⚠️ Les pièges à éviter

• Prendre $f(a)$ pour une probabilité : pour une variable continue, $P(X = a) = 0$.
• Oublier les bornes du support : une densité nulle en dehors de $[0 ; 4]$ donne $F(x) = 0$ avant 0 et $F(x) = 1$ après 4.
• Additionner des écarts-types pour une somme de variables indépendantes : ce sont les variances qui s'ajoutent.
• Confondre le paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle et la durée moyenne $1/\lambda$.
• Utiliser la table de la loi normale pour un petit échantillon à écart-type inconnu, au lieu de la loi de Student.