Logistique et Commerce International

Université Ibn Zohr — Faculté d'Économie et de Gestion, Guelmim

Examen écrit d'accès au master spécialisé : Logistique et Commerce International — Vendredi 16 septembre 2022 — Durée : non précisée sur le scan

(Page 1 du dossier scanné : visuel de présentation du site source, sans contenu d'examen. Le sujet transcrit ci-dessous correspond à la page 2, seule page contenant les questions.)

Traitez l'ensemble des questions suivantes :

Question 1

Soit $X_1, X_2, \ldots, X_n$ les gains d'une entreprise sur $n$ périodes successives. On admet que ces variables sont indépendantes, ayant la même espérance mathématique $m$ et la même variance $\sigma^2$. On pose

$$Y_1 = X_1, \quad Y_2 = \frac{X_1+X_2}{2}, \quad Y_3 = \frac{X_1+X_2+X_3}{3}, \quad \ldots, \quad Y_n = \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}$$

1. Que représentent les variables $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$ pour l'entreprise ?
2. Déterminer les espérances mathématiques des variables $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$.
3. Calculer les variances et les écarts types des variables $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$.
4. Calculer les coefficients de corrélation linéaire entre $Y_i$ et $Y_j$ pour $i = 1, 2$ et $3$ et $j = 1, 2$ et $3$.

Question 2

La Société SW (SSW) souhaite s'approvisionner en bois de différentes essences courantes. Compte tenu de la demande actuelle en bois scié, elle souhaite acquérir au moins 200 m³ de chêne, au moins 160 m³ de hêtre, et au moins 300 m³ de sapin.

Les prix au m³ sur le marché traditionnel sont de 140 DH pour le chêne, 90 DH pour le hêtre et 70 DH pour le sapin.

Mais la SSW peut aussi profiter des offres de certains exploitants forestiers, et proposent par lots, à moindre coût, du bois de qualité équivalente.

Trois offres ont été sélectionnées :

Travail à faire :

1. Déterminer les nombres de lots A, B et C que la SSW doit acheter pour minimiser ses coûts.
2. Quel est, en pourcentage, le rabais obtenu par rapport aux prix du marché traditionnel ?

Question 3

Analyser l'impact de la crise Covid 19 sur la logistique et le commerce international.

Corrigé rédigé à partir du programme standard du module (statistique/probabilités et recherche opérationnelle) et d'un calcul vérifié — aucune source officielle disponible pour ce sujet.

Question 1

1. Signification des variables $Y_1, \ldots, Y_n$

$Y_k = \dfrac{X_1+X_2+\cdots+X_k}{k}$ est la moyenne cumulée (moyenne mobile croissante) des gains de l'entreprise sur les $k$ premières périodes : à chaque période $k$, $Y_k$ actualise le gain moyen par période observé depuis le début. C'est l'estimateur naturel du gain moyen "vrai" $m$ de l'entreprise, dont la précision s'améliore (variance décroissante, voir 3.) à mesure que le nombre de périodes observées augmente.

2. Espérances mathématiques

Par linéarité de l'espérance et indépendance (l'indépendance n'est même pas nécessaire ici) :

$$E(Y_k) = E\left(\frac{X_1+\cdots+X_k}{k}\right) = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} E(X_i) = \frac{k \cdot m}{k} = m$$

Donc $E(Y_1) = E(Y_2) = \cdots = E(Y_n) = m$ : chaque $Y_k$ est un estimateur sans biais du gain moyen $m$, quel que soit $k$.

3. Variances et écarts-types

Les $X_i$ étant indépendantes et de même variance $\sigma^2$ :

$$V(Y_k) = V\left(\frac{X_1+\cdots+X_k}{k}\right) = \frac{1}{k^2}\sum_{i=1}^{k} V(X_i) = \frac{k \cdot \sigma^2}{k^2} = \frac{\sigma^2}{k}$$

Donc $V(Y_1) = \sigma^2$, $V(Y_2) = \dfrac{\sigma^2}{2}$, $V(Y_3) = \dfrac{\sigma^2}{3}$, …, $V(Y_n) = \dfrac{\sigma^2}{n}$.

Les écarts-types correspondants : $\sigma(Y_k) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{k}}$, soit $\sigma(Y_1) = \sigma$, $\sigma(Y_2) = \dfrac{\sigma}{\sqrt2}$, $\sigma(Y_3) = \dfrac{\sigma}{\sqrt3}$, …

On observe que la dispersion de l'estimateur $Y_k$ autour de $m$ diminue quand $k$ augmente : plus on cumule de périodes, plus l'estimation du gain moyen est précise (c'est la loi des grands nombres).

4. Coefficients de corrélation linéaire entre $Y_i$ et $Y_j$

Pour $i<j$, $Y_j$ contient les mêmes $i$ premières variables que $Y_i$ (plus $j-i$ variables supplémentaires indépendantes des précédentes). La covariance ne provient donc que de la partie commune :

$$\text{Cov}(Y_i,Y_j) = \frac{1}{ij}\,\text{Cov}\!\left(\sum_{k=1}^{i}X_k,\ \sum_{k=1}^{j}X_k\right) = \frac{1}{ij}\times i\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{j} \quad (i<j)$$

D'où le coefficient de corrélation linéaire :

$$\rho(Y_i,Y_j) = \frac{\text{Cov}(Y_i,Y_j)}{\sigma(Y_i)\,\sigma(Y_j)} = \frac{\sigma^2/j}{(\sigma/\sqrt i)(\sigma/\sqrt j)} = \frac{\sqrt{ij}}{j} = \sqrt{\frac{i}{j}} \quad (i<j)$$

En appliquant cette formule à $i,j \in \{1,2,3\}$ :

• $\rho(Y_1,Y_2) = \sqrt{1/2} \approx 0,707$
• $\rho(Y_1,Y_3) = \sqrt{1/3} \approx 0,577$
• $\rho(Y_2,Y_3) = \sqrt{2/3} \approx 0,816$

(par symétrie, $\rho(Y_i,Y_j)=\rho(Y_j,Y_i)$, et $\rho(Y_i,Y_i)=1$). Ces corrélations positives et fortes s'expliquent par le fait que les $Y_k$ partagent une base commune de variables : plus deux moyennes cumulées ont d'observations en commun (rapport $i/j$ proche de 1), plus elles sont corrélées.

Question 2

1. Programmation linéaire — nombre de lots à acheter

Soit $a$, $b$, $c$ les nombres de lots A, B et C achetés. Le programme s'écrit :

$$\text{Minimiser } Z = 3840a + 3960b + 2880c$$

sous contraintes :

$$ \begin{cases} 15a + 16b + 9c \ge 200 & \text{(chêne)}\\ 15a + 8b + 24c \ge 160 & \text{(hêtre)}\\ 20a + 24b + 12c \ge 300 & \text{(sapin)}\\ a,b,c \ge 0 \end{cases} $$

En résolvant ce programme linéaire (recherche des sommets du polyèdre des contraintes, ou méthode du simplexe), l'optimum est atteint au sommet où les contraintes de hêtre et de sapin sont saturées (égalités) et où $a=0$ :

$$ \begin{cases} 16b + 9c = 200 \text{ (large, non saturée)}\\ 8b + 24c = 160\\ 24b + 12c = 300 \end{cases} \;\Rightarrow\; b = 11,\ c = 3 $$

Vérification des trois contraintes avec $(a,b,c) = (0,\,11,\,3)$ :

• Chêne : $16(11) + 9(3) = 176 + 27 = 203 \ge 200$ ✓ (léger surplus de 3 m³)
• Hêtre : $8(11) + 24(3) = 88 + 72 = 160 \ge 160$ ✓ (exactement satisfait)
• Sapin : $24(11) + 12(3) = 264 + 36 = 300 \ge 300$ ✓ (exactement satisfait)

Coût correspondant : $Z = 3960(11) + 2880(3) = 43\,560 + 8\,640 = 52\,200$ dh.

Une vérification par balayage de toutes les combinaisons entières raisonnables confirme qu'aucune autre combinaison de lots entiers ne fait mieux : la SSW doit acheter 0 lot A, 11 lots B et 3 lots C, pour un coût total minimal de 52 200 dh.

2. Rabais par rapport au marché traditionnel

Sur le marché traditionnel, acheter exactement les quantités minimales requises (200 m³ de chêne, 160 m³ de hêtre, 300 m³ de sapin) coûterait :

$$200 \times 140 + 160 \times 90 + 300 \times 70 = 28\,000 + 14\,400 + 21\,000 = 63\,400 \text{ dh}$$

Le rabais obtenu grâce aux lots est donc :

$$\text{Rabais} = \frac{63\,400 - 52\,200}{63\,400} = \frac{11\,200}{63\,400} \approx 0,1767 \approx \mathbf{17,7\%}$$

L'achat groupé par lots permet donc à la SSW de réduire sa facture bois d'environ 17,7 % par rapport à un achat au détail aux prix du marché traditionnel.

Question 3 — Plan de réponse

Introduction

• La crise sanitaire de la Covid-19 (2020-2021) a constitué un choc mondial sans précédent pour les chaînes logistiques et le commerce international, révélant la fragilité des chaînes d'approvisionnement mondialisées et « juste-à-temps ».
• Problématique : comment la pandémie a-t-elle perturbé la logistique et les échanges internationaux, et quelles adaptations en ont résulté ?

I. Des chaînes logistiques mondiales fortement perturbées

1. Rupture des flux physiques

   • Fermetures de frontières, confinements et arrêts d'usines (notamment en Chine, « usine du monde ») ont provoqué des pénuries de composants (semi-conducteurs, matières premières) et des retards généralisés.
   • Congestion des grands ports (Los Angeles, Shanghai) et pénurie de conteneurs, avec une explosion des taux de fret maritime (multipliés par 5 à 10 sur certaines routes).

2. Remise en cause du modèle "juste-à-temps"

   • Les entreprises fonctionnant en flux tendus (stocks minimaux) se sont retrouvées incapables d'absorber le choc, contrairement à celles disposant de stocks de sécurité ou de fournisseurs diversifiés.

II. Un coup d'arrêt puis une recomposition du commerce international

1. Effondrement puis reprise en dents de scie des échanges

   • Chute brutale du commerce mondial de marchandises et surtout de services (tourisme, transport aérien) en 2020, suivie d'un rebond désynchronisé selon les secteurs (forte demande de biens durables et de matériel médical/numérique).

2. Vers une reconfiguration des chaînes de valeur

   • Réflexion stratégique sur la relocalisation/nearshoring de certaines productions jugées critiques (santé, technologie), et sur la diversification des fournisseurs (stratégie "China + 1") pour réduire la dépendance à un seul pôle de production.
   • Accélération de la digitalisation de la logistique (traçabilité, e-commerce, automatisation des entrepôts) comme réponse structurelle à la crise.

Conclusion

• La crise Covid-19 a agi comme un révélateur des vulnérabilités de la mondialisation logistique et a durablement modifié les pratiques (stocks de précaution, diversification des sources, digitalisation), tout en questionnant l'équilibre entre efficacité (coûts) et résilience des chaînes d'approvisionnement mondiales.