Actuariat et Finance

Université Hassan II — École Nationale de Commerce et de Gestion de Casablanca (ENCG Casablanca)

Concours Écrit pour le concours de Master Actuariat et Finance — Durée : 2h

Mathématiques Financières

1. Une obligation est :

• Un titre de propriété
• Un titre créance
• Un titre de propriété et un titre de créance

2. Quelle obligation est toujours émise en dessous de son pair :

• Un bon du trésor
• Une obligation assimilable du trésor
• Une obligation remboursée au-dessus du pair
• Une obligation zéro coupon

3. La valeur acquise par un capital de 4 616€ placés à intérêts simples à 10,5% (annuel) est égale, au bout d'un certain temps, à 4 737,17€. Quelle est la durée du placement ?

• Une année
• Un quart d'année
• Semestre

4. Un capital de 10 000,00€ est placé pendant 9 ans et 9 mois aux conditions suivantes :

• 12% les cinq premières années ;
• 14% les sept semestres suivants ;
• 9% le reste du temps.

Question : la valeur acquise par ce capital en fin de placement est :

• 31 048,47€
• 42 148,29€
• 36 038,17€

5. Un effet au 25 octobre escompté le 27 juillet à 12% a une valeur actuelle égale à 1 884€.

Question : Le nominal de cet effet est :

• 2 145,33€
• 1 896,48€
• 1 942,27€

Analyse Mathématiques : Répondre par vrai ou faux aux questions suivantes

Question 1 : Soit f une fonction définie et dérivable sur [-4 ; +∞[ dont la représentation graphique est donnée ci-après :

Description du graphique : la courbe part du point (-4 ; 0), s'élève pour former un premier « pic » (maximum local) situé aux environs de x = -2 (marqué par une double-flèche et une ligne pointillée verticale en x = -2), puis redescend en touchant l'axe des abscisses exactement en x = 1 (f(1) = 0). À partir de x = 1, la courbe remonte, croise la droite y = x, puis forme un second « pic » (maximum local) situé entre x = 4 et x = 6 (marqué par une double-flèche et des lignes pointillées verticales en x = 4 et x = 6), avant de redescendre et de s'aplatir en se rapprochant asymptotiquement de l'axe des abscisses quand x → +∞.

On précise que pour tout x ∈ [-4 ; +∞[, f(x) ≥ 0 et que la droite y = 0 est asymptote à la courbe de f en +∞.

• a. L'équation f(x) = 0 admet au moins trois solutions sur [-4 ; +∞[ : ☐ Vrai ☐ Faux
• b. f' change de signe en x = 1 : ☐ Vrai ☐ Faux
• c. La dérivée seconde de f est positive entre -4 et -2 : ☐ Vrai ☐ Faux
• d. Il existe deux réels a et b tels que a est différent de b et f(a) = f(b) : ☐ Vrai ☐ Faux

Question 2 : Soit f une fonction définie et dérivable sur IR-{1} dont le tableau de variations est :

(lecture : f croît de 0 à +∞ sur ]-∞ ; 1[ ; discontinuité/asymptote verticale en x = 1 ; f croît de -∞ à 4 sur ]1 ; 3] ; f décroît de 4 à 1 sur [3 ; +∞[, avec asymptote horizontale y = 1 en +∞)

• a. L'équation f(x) = 2 admet exactement deux solutions : ☐ Vrai ☐ Faux
• b. Pour tout a ∈ R*, l'équation f(x) = a admet au moins deux solutions : ☐ Vrai ☐ Faux
• c. La courbe de f admet deux asymptotes horizontales : ☐ Vrai ☐ Faux
• d. L'équation f'(x) = 0 admet au moins une solution : ☐ Vrai ☐ Faux

Probabilités et Statistique Descriptive

1. Le nombre d'allocataires du RMI âgés de plus de 50 ans est passé de 150 000 en 1995 à 262 500 en 2005. Entre 1995 et 2005, ce nombre a augmenté d'environ :

|

• a. 42,9 % |
• b. 112,5 % |
• c. 75 % |
• d. 57,1 % | |---|---|---|---|

2. Dans une cage, il y a cinq lapins, deux blancs et trois noirs, et quatre vaches, deux blanches et deux marrons. La probabilité qu'un animal choisi au hasard dans la cage soit blanc est :

|

• a. 1/9 |
• b. 1/3 |
• c. 2/5 + 2/4 |
• d. 4/9 | |---|---|---|---|

3. Dans un club, on a recueilli les lieux de séjour des 120 membres pour les dernières vacances. Chacun avait choisi un séjour à la mer ou bien à la campagne. Les résultats de l'enquête sont consignés dans le tableau ci-dessous.

On choisit une personne au hasard dans ce club. La probabilité que ce soit un homme ou une personne ayant passé ses dernières vacances à la mer est :

|

• a. 1/12 |
• b. 11/12 |
• c. 5/6 |
• d. 3/4 | |---|---|---|---|

4. Si P(A∪B) = P(A) + P(B), alors les deux ensembles A et B sont :

• Indépendants
• Equiprobables
• Incompatibles

5. Si X suit une loi Binomiale de paramètres n = 30 et p = 0,1. Alors sa variance est :

• 2,7
• 0,3
• 3

Echantiollonnage

Les habitants d'une commune rurale souhaitent mettre en place des espaces de jeux et de loisirs pour enfants. La commune compte au total 2200 enfants pour une population d'habitants de 850 ménages. Les enfants sont identifiés par des numéros allant de 1 à 2200 répartis selon l'âge et le sexe :

Dans le but de déterminer les types d'activités et de jeux souhaités par les enfants, vous êtes chargés de mener une étude auprès de 88 enfants de la commune.

Q1. L'étude qui sera menée s'appelle :

• Un recensement
• Un sondage
• Une enquête partielle
• Une enquête exhaustive

Q2. La population de référence objet de l'étude dans ce cas :

• 850 ménages
• 2200 enfants
• 88 enfants
• 88 ménages

Q3. Pour élaborer un questionnaire on utilise :

• Les questions ouvertes
• Les questions fermées
• Les questions à échelle
• Les questions triviales

Q4. La méthode la plus utilisée dans les domaines des sciences sociales et économiques :

• La méthode boules de neige
• La méthode systématique
• La méthode des quotas
• Les trois réponses premières sont toutes justes

Q5. Le taux de sondage dans cet exemple est de l'ordre de :

• 25
• 0,4
• 0,04
• 0,004

Corrigé rédigé à partir du programme standard des modules concernés (mathématiques financières, analyse mathématique, probabilités et statistique descriptive, techniques d'échantillonnage) et d'un raisonnement/calcul vérifié — aucune grille de correction officielle n'est disponible pour ce sujet.

Mathématiques Financières

1. Une obligation est : un titre de créance Une obligation représente une créance sur l'émetteur (l'obligataire est un prêteur qui a droit au remboursement et aux intérêts), à la différence d'une action qui est un titre de propriété (part du capital).

2. Obligation toujours émise en dessous de son pair : une obligation zéro coupon Une obligation zéro coupon ne verse aucun coupon périodique : sa rémunération provient uniquement de la différence entre son prix d'émission (décote) et sa valeur de remboursement au pair. Elle est donc structurellement émise en dessous du pair, contrairement au bon du Trésor classique ou à une OAT, qui peuvent être émis proches du pair.

3. Durée du placement à intérêts simples

Formule des intérêts simples : $V_{acquise} = C(1 + i \times t)$, avec $C = 4\,616$€, $i = 10{,}5\% = 0{,}105$, $V_{acquise} = 4\,737{,}17$€.

$$4\,737{,}17 = 4\,616 \times (1 + 0{,}105 \times t)$$ $$\frac{4\,737{,}17}{4\,616} = 1{,}026271 \Rightarrow 0{,}105 \times t = 0{,}026271 \Rightarrow t \approx 0{,}25 \text{ an}$$

t = 0,25 an = un quart d'année (3 mois).

4. Valeur acquise après 9 ans et 9 mois à taux variables

Découpage du placement (capitalisation composée, taux annuels) :

• Phase 1 : 5 ans à 12%
• Phase 2 : 7 semestres = 3,5 ans, au taux annuel de 14%
• Phase 3 : durée résiduelle = 9,75 - 5 - 3,5 = 1,25 an (15 mois), à 9%

$$V = 10\,000 \times (1{,}12)^5 \times (1{,}14)^{3{,}5} \times (1{,}09)^{1{,}25}$$

Calcul étape par étape :

• $(1{,}12)^5 \approx 1{,}762342 \Rightarrow 10\,000 \times 1{,}762342 = 17\,623{,}42$€
• $(1{,}14)^{3{,}5} \approx 1{,}581859 \Rightarrow 17\,623{,}42 \times 1{,}581859 \approx 27\,877{,}76$€
• $(1{,}09)^{1{,}25} \approx 1{,}113732 \Rightarrow 27\,877{,}76 \times 1{,}113732 \approx 31\,048{,}5$€

$$V \approx 31\,048{,}47€$$

Réponse : 31 048,47€.

5. Nominal d'un effet escompté

Escompte commercial : $V_{actuelle} = N \times \left(1 - i \times \dfrac{n}{360}\right)$

Nombre de jours entre le 27 juillet (date d'escompte) et le 25 octobre (échéance) :

• Du 27 au 31 juillet : 4 jours
• Août : 31 jours
• Septembre : 30 jours
• Du 1er au 25 octobre : 25 jours

$$n = 4 + 31 + 30 + 25 = 90 \text{ jours}$$

$$1\,884 = N \times \left(1 - 0{,}12 \times \frac{90}{360}\right) = N \times (1 - 0{,}03) = N \times 0{,}97$$

$$N = \frac{1\,884}{0{,}97} \approx 1\,942{,}27€$$

Réponse : 1 942,27€.

Analyse Mathématiques

Question 1

D'après le graphique (courbe positive sur [-4 ; +∞[, touchant l'axe des abscisses en x = -4 et en x = 1, avec un maximum local vers x = -2 puis un second vers x ∈ [4 ; 6], et une asymptote horizontale y = 0 en +∞) :

• a. Faux — seuls deux zéros sont visibles sur le graphique (x = -4 et x = 1) ; la courbe se rapproche de 0 en +∞ sans jamais l'atteindre (asymptote), ce qui ne constitue pas une troisième solution.

• b. Vrai — en x = 1, f admet un minimum local (f décroît puis croît autour de x = 1, en touchant 0). f' est donc négative avant x = 1 et positive après : elle change bien de signe en x = 1.

• c. Faux — entre -4 et -2, la courbe est concave (elle s'incurve vers le bas en s'approchant du maximum local situé en x = -2) : f'' y est négative, pas positive.

• d. Vrai — il suffit de prendre a = -4 et b = 1 : f(-4) = f(1) = 0, avec a ≠ b. La propriété est donc vérifiée (et se vérifie aussi entre les deux « pics » de même forme).

Question 2

D'après le tableau de variations : f est strictement croissante de 0 à +∞ sur ]-∞ ; 1[, strictement croissante de -∞ à 4 sur ]1 ; 3], puis strictement décroissante de 4 à 1 sur [3 ; +∞[.

• a. Faux — l'équation f(x) = 2 admet une solution sur chacune des trois branches monotones (2 appartient à (0 ; +∞), à (-∞ ; 4) et à (1 ; 4]), soit trois solutions, et non deux.

• b. Faux — contre-exemple : pour a > 4 (par exemple a = 5), seule la première branche (image (0 ; +∞)) atteint cette valeur ; les deux autres branches sont bornées par 4. L'équation f(x) = a n'admet alors qu'une seule solution, ce qui contredit l'affirmation « au moins deux solutions pour tout a ∈ R* ».

• c. Vrai — le tableau donne $\lim_{x\to-\infty} f(x) = 0$ (asymptote horizontale y = 0) et $\lim_{x\to+\infty} f(x) = 1$ (asymptote horizontale y = 1) : il y a bien deux asymptotes horizontales distinctes.

• d. Vrai — en x = 3, f passe d'une phase croissante à une phase décroissante : x = 3 est un extremum local intérieur où f est dérivable, donc par le théorème de Fermat, f'(3) = 0. L'équation f'(x) = 0 admet donc au moins cette solution.

Probabilités et Statistique Descriptive

1. Taux d'accroissement $= \dfrac{262\,500 - 150\,000}{150\,000} = \dfrac{112\,500}{150\,000} = 0{,}75 = 75\%$. Réponse : c. 75%.

2. Total d'animaux = 5 lapins + 4 vaches = 9. Animaux blancs = 2 lapins blancs + 2 vaches blanches = 4. $P(\text{blanc}) = \dfrac{4}{9}$. Réponse : d. 4/9. (L'option c, 2/5 + 2/4, mélange à tort deux probabilités conditionnelles calculées séparément par espèce, ce qui n'a pas de sens ici puisqu'on tire parmi tous les animaux de la cage.)

3. Total = 120. Hommes = 10 + 30 = 40 ; Mer = 60 + 10 = 70 ; Hommes ET mer = 10.

$$P(\text{homme ou mer}) = P(\text{homme}) + P(\text{mer}) - P(\text{homme et mer}) = \frac{40}{120} + \frac{70}{120} - \frac{10}{120} = \frac{100}{120} = \frac{5}{6}$$

Réponse : c. 5/6.

4. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ en général. L'égalité $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ impose donc $P(A \cap B) = 0$ : A et B sont incompatibles (mutuellement exclusifs).

5. Pour une loi binomiale $B(n, p)$, $Var(X) = n \times p \times (1-p) = 30 \times 0{,}1 \times 0{,}9 = 2{,}7$. Réponse : 2,7.

Echantiollonnage

Q1. Comme seuls 88 enfants sur 2200 sont interrogés (une partie seulement de la population), il s'agit d'une étude par échantillon, c'est-à-dire un sondage (par opposition au recensement, qui interroge l'ensemble de la population).

Q2. La population de référence (ou population mère) est l'ensemble des individus concernés par l'étude, dont on extrait l'échantillon : ici, ce sont les 2200 enfants de la commune (identifiés par des numéros de 1 à 2200), et non les 850 ménages ni les 88 enfants effectivement interrogés (qui constituent l'échantillon).

Q3. Un questionnaire s'élabore à partir de différents types de questions : les questions ouvertes, les questions fermées et les questions à échelle sont les trois grandes catégories reconnues en méthodologie d'enquête ; « les questions triviales » n'est pas une catégorie méthodologique.

Q4. Dans les enquêtes en sciences sociales et économiques, la méthode des quotas est la méthode d'échantillonnage non probabiliste la plus utilisée en pratique, car elle ne nécessite pas de base de sondage exhaustive et permet de reconstituer un échantillon représentatif de la population selon des critères connus (âge, sexe, etc.), à moindre coût.

Q5. Taux de sondage $= \dfrac{\text{taille de l'échantillon}}{\text{taille de la population}} = \dfrac{88}{2200} = 0{,}04$ (soit 4%). Réponse : 0,04.