Actuariat et Finance de marchés

Université Hassan II — FSJES Aïn Sebâa

Examen écrit pour le concours du Master Actuariat et Finance de marchés — Durée : 2h — Année universitaire 2018-2019

Par souci d'équité entre les étudiants, aucun document ni téléphone portable, ni échange de fournitures ne sont autorisés. Cocher la bonne réponse sur la feuille de réponses. Si toutes les propositions sont fausses, cocher la case E. Attention : toute réponse fausse sera pénalisée de -0,5 pt.

Mathématiques financières

Q1. Vous bénéficiez d'un escompte de règlement de 12% sur une créance de 14 000 Dh à 90 jours. Calculer le montant du chèque à réaliser. A) 10650 Dh B) 11790 Dh C) 12430 Dh D) 13580 Dh

Q2. Une somme de 14025,52 Dh vous sera remise dans 5 ans. Sachant que le taux annuel de placement à intérêts composés est de 7%, quelle est la valeur de ce capital aujourd'hui ? A) 8500 Dh B) 9000 Dh C) 10000 Dh D) 9500 Dh

Q3. Un capital de 2500 Dh, placé à intérêts composés pendant 3 ans, a acquis une valeur de 2977,54 Dh. Quel est le taux de ce placement ? A) 6% B) 7% C) 8% D) 8%

Q4. Un capital de 11 000 Dh, placé à intérêts simples au taux de 10%, a produit 5500 Dh d'intérêt. Quelle est la durée de ce placement ? A) 9 ans B) 5 ans C) 7 ans D) 3 ans

Q5. Quelle somme doit-on placer aujourd'hui à intérêts simples, au taux de 7%, si on souhaite obtenir au bout de 4 mois de placement un montant de 7572,67 Dh ? A) 8300 Dh B) 5200 Dh C) 7400 Dh D) 6580 Dh

Analyse mathématique

Q6. En utilisant le changement de variable $t=\sqrt{x-1}$, quelle est la valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_1^2 x\sqrt{x-1}\,dx$ ? A) $-\dfrac13$ B) $0$ C) $\dfrac15$ D) $\dfrac{16}{15}$

Q7. On pose $f(x) = \dfrac{e^{2+x}-e^{2-x}}{x}$, alors $\lim_{x\to0} f(x)$ vaut : A) $2e^2$ B) $-\infty$ C) $+\infty$ D) $0$

Q8. Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \begin{cases} 2x+4 & \text{si } x\le0 \\ -x^2+4 & \text{si } x>0\end{cases}$ A) $f$ est croissante sur $\mathbb R$ B) $f$ est discontinue en 0 C) $f$ est dérivable en 0 D) $f$ est positive sur $\mathbb R$

Q9. Soient $f$ une fonction définie sur $\mathbb R$ et $C_f$ sa représentation graphique. Si $f(x)$ se comporte comme $(2x+1)$ au voisinage de $+\infty$, alors : A) $C_f$ admet une asymptote verticale B) $C_f$ admet une asymptote horizontale C) $C_f$ admet une asymptote oblique d'équation $y=2x+1$ D) On ne peut pas conclure que $C_f$ admet une asymptote

Q10. On pose $f(x,y) = x^2y+3xy^2-y$, alors $\dfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(1,-1)$ vaut : A) $0$ B) $-4$ C) $6$ D) $-3$

Statistique descriptive

Le tableau ci-dessous représente la consommation quotidienne « Y » en fuel d'une chaudière (en litres) en fonction des relevés de température extérieure « X » :

Q11. La valeur de la moyenne de X vaut : A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

Q12. La variance de X vaut : A) -37,2 B) 34,4 C) 36,2 D) 40,5

Q13. La covariance entre X et Y vaut : A) -43,8 B) -45,2 C) -49,6 D) -51,6

Q14. L'équation de la droite de régression est : A) $Y=-2{,}31X+31{,}3$ B) $Y=-1{,}5X+31{,}7$ C) $Y=-1{,}5X+31{,}3$ D) $Y=1{,}5X-31{,}3$

Q15. Le coefficient de corrélation linéaire est égal à : A) -1 B) -0,987 C) 0,958 D) 1

Q16. Le coefficient de détermination est égal à : A) 0,954 B) 0,975 C) 0,983 D) 1

Probabilités

Q17. Si $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$, alors les ensembles A et B sont : A) incompatibles B) équiprobables C) liés D) indépendants

Q18. La fonction de masse de la loi de Poisson de paramètre 3 est : A) $e^{-3}\dfrac{3^k}{k!}$ pour $k\in\mathbb N$ B) $e^{-8}\dfrac{3^k}{k!}$ pour $k\in\mathbb N$ C) $e^{-3}\dfrac{3^k}{k!}$ pour $k\le N$ D) $e^{-3}\dfrac{k^3}{k!}$ pour $k\in\mathbb N$

Q19. Le théorème central limite sert pour approcher les lois par la loi : A) Student B) Poisson C) Normale D) Binomiale

Q20. Si X suit une loi Binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,1$, alors sa variance est : A) 2,7 B) 3 C) 6 D) 4

Échantillonnage

Un site de vente en ligne pense que l'insatisfaction des clients provient des retards de traitement des réclamations. Le responsable des retours prétend qu'au moins 75% des retours sont traités sans retard. Un échantillon de 240 réclamations a révélé que 180 ont été traitées sans retard.

Q21. Soit X de loi Binomiale, alors $P(X<4/X>2)$ est égale à : A) $P(X=3)/P(X>2)$ B) $P(X<4)-P(X=2)$ C) $P(X=3)$ D) $P(X<4)-P(X=2)$

Q22. Une estimation ponctuelle de la proportion « p » des retours traités sans retards est : A) 0,67 B) 0,75 C) 0,80 D) 0,52

Q23. Sachant que le fractile « z » de la loi Normale est $z=2{,}58$, l'intervalle de confiance à 99% pour la vraie proportion p est : A) [0,48 ; 0,74] B) [0,67 ; 0,84] C) [0,63 ; 0,86] D) [0,67 ; 0,82]

Q24. On appelle distribution d'échantillonnage de la moyenne empirique : A) La variance de $\bar X$ B) La moyenne de $\hat p$ C) La loi de $\bar X$ D) La proportion des éléments dépassant la moyenne

Q25. Plus le niveau de confiance est grand, plus l'amplitude de l'intervalle de confiance est : A) petite B) grande C) constante D) petite pour $n\le25$ puis augmente pour $n\ge25$

Programmation linéaire

Un atelier fabrique trois produits $P_1$, $P_2$ et $P_3$, en quantités $x_1$, $x_2$ et $x_3$. Les marges unitaires des trois produits sont de 3, 4 et 12 Dh respectivement.

• Le produit $P_1$ nécessite 1 heure de travail par jour et le marché ne peut absorber plus de 40 unités de ce produit.
• Le produit $P_2$ nécessite 2 heures de travail par jour.
• Le produit $P_3$ nécessite 3 heures de travail par jour et le marché ne peut absorber plus de 80 unités de ce produit.

La capacité de travail dans l'atelier est de 300 heures par jour. On note Z la valeur optimale. Le tableau simplexe optimal de ce problème de programmation linéaire est donné par :

Q26. La fonction objectif (économique) est : A) Max $Z=3x_1+4x_2+12x_3$ B) Min $Z=3x_1+4x_2-12x_3$ C) Max $Z=x_1+2x_2+3x_3$ D) Max $Z=40x_1+0x_2+80x_3$

Q27. La contrainte « temps de travail » est : A) $3x_1+4x_2+12x_3\le80$ B) $x_1+x_2+x_3\ge40$ C) $x_1+2x_2+3x_3\ge300$ D) $x_1+x_2+x_3\le300$

Q28. D'après le tableau simplexe optimal, la solution optimale est : A) $Z=1100,\ x_1=40,\ x_2=0,\ x_3=80$ B) $Z=1120,\ x_1=40,\ x_2=10,\ x_3=80$ C) $Z=300,\ x_1=10,\ x_2=80,\ x_3=40$ D) $Z=1120,\ x_1=2,\ x_2=1,\ x_3=6$

Q29. D'après le tableau simplexe optimal, la solution optimale du problème dual est : A) $W=1100,\ y_1=40,\ y_2=0,\ y_3=80$ B) $W=1120,\ y_1=40,\ y_2=10,\ y_3=80$ C) $W=300,\ y_1=10,\ y_2=80,\ y_3=40$ D) $W=1120,\ y_1=2,\ y_2=1,\ y_3=6$

Q30. Si on augmente la capacité du temps de travail d'une heure (301 au lieu de 300), le nouveau bénéfice optimal serait : A) 1125 B) 1224 C) 1123 D) 1122

Corrigé rédigé à partir du programme standard des modules (mathématiques financières, analyse, statistique, probabilités, échantillonnage, recherche opérationnelle) et d'un calcul vérifié — aucune grille de correction officielle disponible pour ce sujet.

Q1. D — Escompte = $14000\times0{,}12\times90/360=420$ ; valeur nette = $14000-420=\mathbf{13580}$ Dh.

Q2. C — $PV=14025{,}52/1{,}07^5=14025{,}52/1{,}402552=\mathbf{10\,000}$ Dh.

Q3. A — $(1+i)^3=2977{,}54/2500=1{,}191016\Rightarrow i=1{,}191016^{1/3}-1=\mathbf{6\%}$ (on vérifie $1{,}06^3=1{,}191016$).

Q4. B — Intérêt simple : $5500=11000\times0{,}10\times n \Rightarrow n=\mathbf{5}$ ans.

Q5. C — $FV=C(1+i\times n)$, $n=4/12$ : $7572{,}67=C\times(1+0{,}07/3)=C\times1{,}023333 \Rightarrow C\approx\mathbf{7400}$ Dh.

Q6. D — Avec $t=\sqrt{x-1}$, $x=t^2+1$, $dx=2t\,dt$ ; bornes $t:0\to1$. $\int(t^2+1)t\cdot2t\,dt=\int(2t^4+2t^2)dt=\left[\frac{2t^5}{5}+\frac{2t^3}{3}\right]_0^1=\frac25+\frac23=\mathbf{\frac{16}{15}}$.

Q7. A — Développement limité : $e^{2\pm x}\approx e^2(1\pm x)$, donc le numérateur $\approx e^2\times2x$, d'où $f(x)\to\mathbf{2e^2}$.

Q8. E (toutes les propositions sont fausses) — La fonction est continue en 0 (les deux branches valent 4), donc B est fausse ; les dérivées à gauche (2) et à droite (0) diffèrent, donc elle n'est pas dérivable en 0 (C fausse) ; elle décroît pour $x>0$, donc n'est pas croissante sur $\mathbb R$ (A fausse) ; elle est négative pour $x$ très négatif, donc n'est pas positive sur $\mathbb R$ (D fausse) — d'où la case E prévue par la consigne.

Q9. C —Quand $f(x)-(2x+1)\to0$ au voisinage de l'infini, la droite $y=2x+1$ est une asymptote oblique à $C_f$.

Q10. B — $\partial f/\partial x = 2xy+3y^2$ ; $\partial^2f/\partial y\partial x = 2x+6y$. En $(1,-1)$ : $2(1)+6(-1)=\mathbf{-4}$.

Q11. Calcul : $\bar X=(-6-4+0+5+10)/5=\mathbf{1}$. Aucune des 4 propositions imprimées (4, 5, 6, 7) ne correspond exactement à ce résultat — probable coquille dans le document d'origine. Les questions suivantes (Q12 à Q16), en revanche, sont toutes cohérentes avec $\bar X=1$ et les valeurs de X données (-6, -4, 0, 5, 10), ce qui confirme ces valeurs.

Q12. B — $E[X^2]=(36+16+0+25+100)/5=35{,}4$ ; $Var(X)=35{,}4-1^2=\mathbf{34{,}4}$.

Q13. D — $\bar Y=(40+36+34+23+16)/5=29{,}8$. $E[XY]=(-240-144+0+115+160)/5=-21{,}8$. $Cov(X,Y)=-21{,}8-(1\times29{,}8)=\mathbf{-51{,}6}$.

Q14. C — Pente $b=Cov(X,Y)/Var(X)=-51{,}6/34{,}4=-1{,}5$ ; ordonnée $a=\bar Y-b\bar X=29{,}8+1{,}5=31{,}3$. Droite : $Y=\mathbf{-1{,}5X+31{,}3}$.

Q15. B — $Var(Y)=E[Y^2]-\bar Y^2=967{,}4-888{,}04=79{,}36$ ; $r=Cov/(\sigma_X\sigma_Y)=-51{,}6/(5{,}865\times8{,}909)\approx\mathbf{-0{,}987}$.

Q16. B — $R^2=r^2=(-0{,}987)^2\approx\mathbf{0{,}975}$.

Q17. D — La formule additive simple $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (sans le terme $-P(A\cap B)$) suppose implicitement $P(A\cap B)=0$, donc des événements incompatibles ; mais parmi les options listées la lecture usuelle de cette identité pour des événements disjoints correspond à incompatibles — à noter que l'énoncé propose aussi « indépendants », qui n'est valable que si en plus $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0$, cas particulier des incompatibles.

Q18. A — Loi de Poisson de paramètre $\lambda=3$ : $P(X=k)=e^{-3}\dfrac{3^k}{k!}$, définie pour tout $k\in\mathbb N$ (option A).

Q19. C — Le théorème central limite justifie l'approximation par la loi Normale.

Q20. A — $Var(X)=np(1-p)=30\times0{,}1\times0{,}9=\mathbf{2{,}7}$.

Q21. A — $P(X<4\mid X>2)=\dfrac{P(\{X<4\}\cap\{X>2\})}{P(X>2)}=\dfrac{P(X=3)}{P(X>2)}$ (X entier, la seule valeur vérifiant à la fois $X>2$ et $X<4$ est $X=3$).

Q22. B — $\hat p = 180/240=\mathbf{0{,}75}$.

Q23. B — $IC=\hat p\pm z\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}=0{,}75\pm2{,}58\sqrt{0{,}75\times0{,}25/240}=0{,}75\pm2{,}58\times0{,}0279\approx0{,}75\pm0{,}072\Rightarrow[\mathbf{0{,}67\ ;\ 0{,}84}]$.

Q24. C — La distribution d'échantillonnage de la moyenne empirique est la loi de $\bar X$ (l'ensemble des valeurs possibles de $\bar X$ et leurs probabilités selon l'échantillon tiré).

Q25. B — Plus le niveau de confiance exigé est grand, plus l'intervalle doit être large pour garantir cette confiance.

Q26. A — Fonction objectif : $\text{Max } Z=3x_1+4x_2+12x_3$ (marges unitaires données : 3, 4 et 12 Dh).

Q27. D'après l'énoncé, la contrainte de temps de travail est $1\cdot x_1+2\cdot x_2+3\cdot x_3\le300$ (1h, 2h, 3h de travail par unité de $P_1,P_2,P_3$, capacité 300h/jour). Par les coefficients, cela correspond à l'option C, mais le sens de l'inégalité tel qu'imprimé dans le document source ($\ge$ au lieu de $\le$) semble inversé par rapport à une contrainte de capacité maximale — probable coquille de transcription du document d'origine, signalée ici plutôt que corrigée silencieusement.

Q28. B — Lecture directe du tableau simplexe optimal (valeurs de la colonne « sm » pour les variables de base) : $Z=1120$, avec $x_1=40$, $x_2=10$, $x_3=80$.

Q29. D — Par le théorème de dualité forte, $W^*=Z^*=1120$. Les valeurs optimales des variables duales se lisent (en valeur absolue) dans la ligne $-Z$ sous les colonnes des écarts $e_1,e_2,e_3$ : $y_1=2$, $y_2=1$, $y_3=6$ — soit l'option D ($W=1120,\ y_1=2,\ y_2=1,\ y_3=6$).

Q30. Par le théorème des écarts complémentaires, augmenter d'une unité la capacité d'une contrainte saturée augmente l'optimum du montant de son prix dual (shadow price). Sans le tableau initial du problème, la correspondance exacte entre chaque écart $e_i$ et la contrainte "temps de travail" ne peut pas être établie avec certitude à partir du seul tableau optimal fourni ; en prenant le prix dual associé (1 ou 6 selon la contrainte réellement visée), le nouvel optimum se situe entre 1121 et 1126, ce qui rend l'option B (1224) peu probable et rapproche plutôt la réponse de D (1122) — donnée ici avec réserve, faute de pouvoir vérifier la structure exacte du problème initial.