Mathématiques

FORMULAIRE FINAL — TOUTES LES FORMULES

Logique et ensembles

$$\text{non}(P \text{ et } Q) = \text{non } P \text{ ou non } Q \qquad P \Rightarrow Q \equiv \text{non } Q \Rightarrow \text{non } P$$ $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \qquad |\mathcal{P}(E)| = 2^n$$

Suites

	Arithmétique	Géométrique
Terme général	$u_n = u_0 + nr$	$u_n = u_0\,q^n$
Somme de $u_0$ à $u_n$	$(n + 1)\dfrac{u_0 + u_n}{2}$	$u_0\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Arithmético-géométrique $u_{n+1} = a u_n + b$ : $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$, $u_n = \ell + (u_0 - \ell)a^n$.

Limites

Formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\infty / \infty$, $0/0$. Croissances comparées : $e^x \gg x^n \gg \ln x$ en $+\infty$.

Dérivées

$f$	$f'$	$f$	$f'$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$u^n$	$n u' u^{n-1}$
$e^x$	$e^x$	$e^u$	$u' e^u$
$\ln x$	$1/x$	$\ln u$	$u'/u$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$uv$ ; $u/v$	$u'v + uv'$ ; $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$

Tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ ; élasticité : $e = \dfrac{f'(x)\,x}{f(x)}$.

Optimisation

$f'(a) = 0$ et $f''(a) < 0$ : maximum ; $f''(a) > 0$ : minimum. Deux variables : $rt - s^2 > 0$ avec $r < 0$ (max) ou $r > 0$ (min).

Matrices et systèmes

$$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \qquad A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \qquad x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$$

Leontief : $x = (I - A)^{-1} d$.

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CONSEILS POUR L'EXAMEN

1. Rédigez : une réponse juste sans justification est rarement notée au maximum ; écrivez la règle utilisée.
2. Vérifiez systématiquement : solution d'un système dans toutes les équations, $AA^{-1} = I$, premiers termes d'une suite.
3. Factorisez les dérivées avant d'étudier leur signe.
4. Précisez les domaines : ensemble de définition, quantités positives, valeurs interdites.
5. Interprétez les résultats économiques (coût marginal, élasticité, optimum) en une phrase.
6. Gérez votre temps : commencez par les exercices que vous maîtrisez, puis revenez aux questions plus difficiles.