Licence Fondamentale Sciences Économiques et Gestion — Semestre S1 — Système universitaire marocain (LMD) Le module « Mathématiques » du S1 réunit l'algèbre (logique, ensembles, matrices, systèmes linéaires) et l'analyse (suites, limites, dérivées, optimisation). C'est l'outil de base de la Microéconomie (S1), des Mathématiques financières (S2), des Statistiques (S2) et de l'Économétrie (S5).
💡 Comment lire ce cours ? Chaque chapitre contient : le cours ➜ un exercice ➜ sa correction détaillée pas à pas. Toutes les formules sont en LaTeX.
| N° | Chapitre | Notions clés |
|---|---|---|
| 1 | Logique et raisonnement mathématique | Propositions, connecteurs, quantificateurs, récurrence, absurde |
| 2 | Ensembles, relations et applications | Opérations, injection, surjection, bijection |
| 3 | Les suites numériques | Arithmétique, géométrique, monotonie, convergence |
| 4 | Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité | Limites, formes indéterminées, TVI |
| 5 | La dérivation et ses applications économiques | Règles de dérivation, coût marginal, élasticité |
| 6 | Étude de fonctions et optimisation | Variations, convexité, extremums, optimisation du profit |
| 7 | Matrices et calcul matriciel | Opérations, déterminant, inverse, rang |
| 8 | Les systèmes d'équations linéaires | Cramer, Gauss, applications en gestion |
| — | Formulaire final + Conseils examen | Toutes les formules à connaître |
Une proposition est un énoncé qui est soit vrai (V), soit faux (F), jamais les deux.
| Connecteur | Notation | Vrai quand… |
|---|---|---|
| Négation | $\neg P$ | $P$ est fausse |
| Conjonction | $P \wedge Q$ | $P$ et $Q$ sont vraies |
| Disjonction | $P \vee Q$ | $P$ ou $Q$ (ou les deux) est vraie |
| Implication | $P \Rightarrow Q$ | Fausse uniquement si $P$ vraie et $Q$ fausse |
| Équivalence | $P \Leftrightarrow Q$ | $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité |
Table de vérité de l'implication :
| $P$ | $Q$ | $P \Rightarrow Q$ |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
$$\neg(P \wedge Q) \equiv \neg P \vee \neg Q \qquad \neg(P \vee Q) \equiv \neg P \wedge \neg Q \quad \text{(lois de De Morgan)}$$
$$(P \Rightarrow Q) \equiv (\neg Q \Rightarrow \neg P) \quad \text{(contraposée)} \qquad \neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \wedge \neg Q$$
⚠️ Contraposée ≠ réciproque. La réciproque de $P \Rightarrow Q$ est $Q \Rightarrow P$ : elle n'a aucune raison d'être vraie. La contraposée, elle, est toujours équivalente à l'implication de départ.
| Quantificateur | Lecture |
|---|---|
| $\forall x \in E$ | « pour tout $x$ de $E$ » (universel) |
| $\exists x \in E$ | « il existe au moins un $x$ de $E$ » (existentiel) |
| $\exists !\, x \in E$ | « il existe un unique $x$ » |
Négation d'une proposition quantifiée — la règle la plus testée en examen :
$$\neg\big(\forall x \in E,\; P(x)\big) \equiv \exists x \in E,\; \neg P(x)$$ $$\neg\big(\exists x \in E,\; P(x)\big) \equiv \forall x \in E,\; \neg P(x)$$
📌 L'ordre des quantificateurs change le sens : $\forall x, \exists y, \; y > x$ est vrai dans $\mathbb{R}$, alors que $\exists y, \forall x, \; y > x$ est faux (il n'existe pas de réel plus grand que tous les autres).
| Raisonnement | Principe |
|---|---|
| Direct | On part des hypothèses et on déduit la conclusion |
| Par contraposée | Pour montrer $P \Rightarrow Q$, on montre $\neg Q \Rightarrow \neg P$ |
| Par l'absurde | On suppose $\neg Q$ et on aboutit à une contradiction |
| Par disjonction de cas | On découpe l'ensemble des possibilités et on traite chaque cas |
| Par contre-exemple | Pour réfuter $\forall x, P(x)$, il suffit d'un seul $x$ tel que $P(x)$ est faux |
| Par récurrence | Initialisation ($P(n_0)$ vraie) + hérédité ($P(n) \Rightarrow P(n+1)$) ⟹ $P(n)$ vraie $\forall n \geq n_0$ |
1) « Il existe au moins un client de l'entreprise qui n'a pas réglé sa facture. » ⚠️ Erreur classique à éviter : « aucun client n'a réglé » — c'est beaucoup trop fort. La négation de « tous » est « il existe au moins un… qui ne… pas ».
2) Négation : $\exists x \in \mathbb{R},\; x^2 + 1 \leq 0$. Elle est fausse : pour tout réel, $x^2 \geq 0$ donc $x^2 + 1 \geq 1 > 0$. La proposition initiale est donc vraie.
3) Soit $P$ : « l'entreprise est cotée en bourse », $Q$ : « c'est une SA ».
4) Démonstration par récurrence. Soit $P(n)$ : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.
Initialisation ($n=1$) : $$\text{Membre de gauche} = 1 \quad ; \quad \text{Membre de droite} = \frac{1 \times 2}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad P(1) \text{ vraie}$$
Hérédité : supposons $P(n)$ vraie pour un $n \geq 1$ fixé. Alors : $$\sum_{k=1}^{n+1} k = \underbrace{\sum_{k=1}^{n} k}_{\text{hypothèse}} + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1)$$ $$= (n+1)\left(\frac{n}{2} + 1\right) = (n+1) \cdot \frac{n+2}{2} = \frac{(n+1)\big((n+1)+1\big)}{2}$$ C'est exactement $P(n+1)$. L'hérédité est établie.
Conclusion : $P(1)$ est vraie et $P$ est héréditaire, donc par récurrence $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq 1$. $\blacksquare$
| Notation | Lecture |
|---|---|
| $x \in E$ | $x$ appartient à $E$ |
| $A \subset E$ | $A$ est inclus dans $E$ (tout élément de $A$ est dans $E$) |
| $\varnothing$ | Ensemble vide |
| $\mathcal{P}(E)$ | Ensemble des parties de $E$ ; si $\text{card}(E) = n$, alors $\text{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$ |
Les ensembles de nombres : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$.
| Opération | Définition |
|---|---|
| Réunion $A \cup B$ | $\{x \mid x \in A \textbf{ ou } x \in B\}$ |
| Intersection $A \cap B$ | $\{x \mid x \in A \textbf{ et } x \in B\}$ |
| Différence $A \setminus B$ | $\{x \mid x \in A \textbf{ et } x \notin B\}$ |
| Complémentaire $\bar{A}$ ou $C_E A$ | $\{x \in E \mid x \notin A\}$ |
| Produit cartésien $A \times B$ | $\{(a,b) \mid a \in A, b \in B\}$ |
$$\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B} \qquad \overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B} \quad \text{(lois de De Morgan)}$$
$$\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$$
Une application $f : E \to F$ associe à tout élément de $E$ un seul élément de $F$.
| Notion | Définition | Traduction pratique |
|---|---|---|
| Injective | $f(x) = f(x') \Rightarrow x = x'$ | Deux éléments distincts ont des images distinctes |
| Surjective | $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x)=y$ | Tout élément de $F$ est atteint |
| Bijective | Injective et surjective | Chaque $y$ a exactement un antécédent |
📌 Si $f$ est bijective, elle admet une réciproque $f^{-1}$ telle que $f^{-1}(f(x)) = x$.
| Propriété | Définition |
|---|---|
| Réflexive | $\forall x,\; x \mathcal{R} x$ |
| Symétrique | $x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$ |
| Antisymétrique | $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} x \Rightarrow x = y$ |
| Transitive | $x \mathcal{R} y$ et $y \mathcal{R} z \Rightarrow x \mathcal{R} z$ |
| Type de relation | Conditions |
|---|---|
| Relation d'équivalence | Réflexive + symétrique + transitive |
| Relation d'ordre | Réflexive + antisymétrique + transitive |
📌 En microéconomie, la relation de préférence du consommateur est supposée réflexive, transitive et complète : c'est une relation d'ordre (au sens large), ce qui permet de classer les paniers de biens.
Soit $E = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $A = \{1,2,3,4\}$ et $B = \{3,4,5,6\}$.
1) $$A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\} \qquad A \cap B = \{3,4\}$$ $$A \setminus B = \{1,2\} \qquad \bar{A} = \{5,6,7,8\}$$
2) $\text{card}(A)=4$, $\text{card}(B)=4$, $\text{card}(A \cap B)=2$ : $$4 + 4 - 2 = 6 = \text{card}(A \cup B) \quad \checkmark$$
3) $\text{card}(A) = 4$ donc $\text{card}(\mathcal{P}(A)) = 2^4 = \mathbf{16}$ parties (y compris $\varnothing$ et $A$ lui-même).
4) Bijectivité de $f(x) = 3x-5$ :
5) $g(x) = x^2$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ :
Une suite $(u_n)$ est une application de $\mathbb{N}$ (ou d'une partie de $\mathbb{N}$) dans $\mathbb{R}$. On peut la définir :
$$u_{n+1} = u_n + r \quad \Longrightarrow \quad \boxed{u_n = u_0 + n\,r} \quad \text{ou} \quad u_n = u_p + (n-p)\,r$$
Somme des $n+1$ premiers termes :
$$S = u_0 + u_1 + \dots + u_n = (n+1)\,\frac{u_0 + u_n}{2}$$
📌 Règle mnémotechnique : $S = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}$.
$$u_{n+1} = q \cdot u_n \quad \Longrightarrow \quad \boxed{u_n = u_0 \cdot q^{\,n}} \quad \text{ou} \quad u_n = u_p \cdot q^{\,n-p}$$
Somme des $n+1$ premiers termes (pour $q \neq 1$) :
$$S = u_0 \cdot \frac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}$$
| Valeur de $q$ | Comportement de $q^n$ quand $n \to +\infty$ |
|---|---|
| $\lvert q \rvert < 1$ | $q^n \to 0$ → la suite converge vers 0 |
| $q = 1$ | Suite constante |
| $q > 1$ | $q^n \to +\infty$ → la suite diverge |
📌 C'est la suite la plus utile en gestion : un capital placé à intérêts composés au taux $i$ suit $C_n = C_0(1+i)^n$ — tu retrouveras exactement cette formule en Mathématiques financières (S2).
| Notion | Critère |
|---|---|
| Croissante | $u_{n+1} - u_n \geq 0$ (ou $\frac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$ si $u_n > 0$) |
| Décroissante | $u_{n+1} - u_n \leq 0$ |
| Majorée / minorée / bornée | $\exists M, \forall n,\; u_n \leq M$ / $\geq m$ / les deux |
| Convergente | $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \in \mathbb{R}$ |
Théorème de la limite monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
Une entreprise marocaine réalise un chiffre d'affaires de 2 000 000 DH en 2026.
Partie A. Elle prévoit une progression de 150 000 DH par an.
Partie B. Un concurrent réalise le même CA en 2026 mais prévoit une croissance de 6 % par an. 4. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Exprimez $v_n$. 5. Calculez $v_6$ (CA de 2032) et comparez avec $u_6$. 6. À partir de quelle année le concurrent dépasse-t-il l'entreprise ? (raisonnement chiffré)
Partie A
1) Le CA augmente d'une quantité constante : c'est une suite arithmétique de raison $r = 150\,000$ et de premier terme $u_0 = 2\,000\,000$.
2) $$u_n = 2\,000\,000 + 150\,000\,n$$ En 2032, $n = 6$ : $$u_6 = 2\,000\,000 + 150\,000 \times 6 = 2\,000\,000 + 900\,000 = \mathbf{2\,900\,000\ DH}$$
3) Cumul de $u_0$ à $u_6$, soit 7 termes : $$S = 7 \times \frac{u_0 + u_6}{2} = 7 \times \frac{2\,000\,000 + 2\,900\,000}{2} = 7 \times 2\,450\,000 = \mathbf{17\,150\,000\ DH}$$
Partie B
4) Le CA est multiplié par un coefficient constant $1{,}06$ : c'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}06$. $$v_n = 2\,000\,000 \times (1{,}06)^n$$
5) $$v_6 = 2\,000\,000 \times (1{,}06)^6 = 2\,000\,000 \times 1{,}418519 \approx \mathbf{2\,837\,038\ DH}$$ En 2032, le concurrent est encore en dessous ($2\,837\,038 < 2\,900\,000$), avec un écart d'environ 63 000 DH.
6) Année de dépassement. On cherche le plus petit $n$ tel que $v_n > u_n$ :
| $n$ | Année | $u_n$ (arithmétique) | $v_n$ (géométrique) | $v_n > u_n$ ? |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 2032 | 2 900 000 | 2 837 038 | Non |
| 7 | 2033 | 3 050 000 | 3 007 260 | Non |
| 8 | 2034 | 3 200 000 | 3 187 696 | Non |
| 9 | 2035 | 3 350 000 | 3 378 958 | Oui |
Le concurrent dépasse l'entreprise en 2035 ($n = 9$). 📌 La leçon économique de l'exercice : une croissance géométrique (en pourcentage) finit toujours par l'emporter sur une croissance arithmétique (en valeur absolue), même si elle paraît plus faible au départ. C'est exactement le mécanisme des intérêts composés.
$$D_f = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ existe}\}$$
| Forme de $f$ | Condition |
|---|---|
| $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ | $v(x) \neq 0$ |
| $\sqrt{u(x)}$ | $u(x) \geq 0$ |
| $\ln\big(u(x)\big)$ | $u(x) > 0$ |
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$
Croissances comparées (à connaître par cœur) :
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$$
📌 En clair : l'exponentielle écrase la puissance, qui écrase le logarithme.
$$\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \infty - \infty \qquad 0 \times \infty \qquad 1^{\infty}$$
| Technique de levée | Quand l'utiliser |
|---|---|
| Factoriser par le terme dominant | Quotients de polynômes en $\pm\infty$ |
| Factoriser / simplifier | $\frac{0}{0}$ avec une racine évidente |
| Multiplier par l'expression conjuguée | Présence de racines carrées |
| Croissances comparées | Mélange $\ln$, puissance, $e^x$ |
Résultat pratique : pour un quotient de polynômes en $\pm\infty$, la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré.
$f$ est continue en $a$ si :
$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$
| Théorème | Énoncé |
|---|---|
| Opérations | Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues |
| Valeurs intermédiaires (TVI) | Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$ |
| Corollaire (bijection) | Si en plus $f$ est strictement monotone, ce $c$ est unique |
1) Domaines :
2) Limites :
(a) Forme $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par le terme de plus haut degré : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{2x^2 + 7} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{2x^2} = \frac{3}{2} = \mathbf{1{,}5}$$
(b) Forme $\frac{0}{0}$ en $x=3$. On factorise : $$\frac{2x-6}{x^2-9} = \frac{2(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{2}{x+3} \quad (x \neq 3)$$ $$\lim_{x \to 3} \frac{2x-6}{x^2-9} = \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}$$
(c) Croissances comparées : $\ln x$ est négligeable devant toute puissance de $x$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^3} = \mathbf{0}$$
3) Coût moyen : $$CM(q) = \frac{0{,}5q^2 + 20q + 800}{q} = 0{,}5q + 20 + \frac{800}{q}$$
Quand $q \to +\infty$ : $$\lim_{q \to +\infty} CM(q) = +\infty$$ Quand $q \to 0^+$ : $$\lim_{q \to 0^+} CM(q) = +\infty \quad (\text{car } \tfrac{800}{q} \to +\infty)$$
Interprétation économique — c'est ce qui est réellement attendu dans la copie :
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
| Lecture | Sens |
|---|---|
| Géométrique | $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ |
| Économique | $f'(q)$ mesure la variation marginale : l'effet d'une unité supplémentaire |
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$ : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x^n$ | $n\,x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $u + v$ | $u' + v'$ |
| $k \cdot u$ | $k \cdot u'$ |
| $u \cdot v$ | $u'v + uv'$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ |
| $u^n$ | $n\,u'\,u^{n-1}$ |
| $\ln u$ | $\dfrac{u'}{u}$ |
| $e^u$ | $u'\,e^u$ |
| Grandeur | Formule | Signification |
|---|---|---|
| Coût marginal | $Cm(q) = C'(q)$ | Coût de la dernière unité produite |
| Recette marginale | $Rm(q) = R'(q)$ | Recette de la dernière unité vendue |
| Profit | $\pi(q) = R(q) - C(q)$ | |
| Condition d'optimum | $\pi'(q) = 0 \Leftrightarrow Rm(q) = Cm(q)$ | Le profit est maximal quand recette marginale = coût marginal |
| Coût moyen | $CM(q) = \dfrac{C(q)}{q}$ | Coût unitaire |
| Productivité marginale | $Pm_L = \dfrac{\partial Q}{\partial L}$ | Production de la dernière unité de travail |
📌 Propriété clé : le coût marginal coupe le coût moyen en son minimum. Tant que $Cm < CM$, le coût moyen baisse ; dès que $Cm > CM$, il remonte.
$$\boxed{e_{y/x} = \frac{\Delta y / y}{\Delta x / x} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{x}{y}}$$
L'élasticité mesure la variation en % de $y$ provoquée par une variation de 1 % de $x$. C'est une grandeur sans unité, donc comparable entre produits.
| Élasticité-prix de la demande | Interprétation |
|---|---|
| $\lvert e \rvert > 1$ | Demande élastique (biens de luxe, produits substituables) |
| $\lvert e \rvert < 1$ | Demande inélastique (produits de première nécessité) |
| $\lvert e \rvert = 1$ | Élasticité unitaire |
Une entreprise a pour fonction de coût total $C(q) = 2q^3 - 15q^2 + 60q + 500$ et vend chaque unité au prix unitaire $p = 96$ DH.
1) Coût marginal et coût moyen : $$Cm(q) = C'(q) = 6q^2 - 30q + 60$$ $$CM(q) = \frac{2q^3 - 15q^2 + 60q + 500}{q} = 2q^2 - 15q + 60 + \frac{500}{q}$$
2) Recette et profit : $$R(q) = p \cdot q = 96q$$ $$\pi(q) = R(q) - C(q) = 96q - (2q^3 - 15q^2 + 60q + 500) = -2q^3 + 15q^2 + 36q - 500$$
3) Maximisation. Condition du premier ordre : $\pi'(q) = 0$. $$\pi'(q) = -6q^2 + 30q + 36 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad q^2 - 5q - 6 = 0 \quad (\text{division par } -6)$$ $$\Delta = 25 + 24 = 49 \quad ; \quad \sqrt{\Delta} = 7$$ $$q_1 = \frac{5 - 7}{2} = -1 \quad (\text{rejeté : } q \geq 0) \qquad q_2 = \frac{5 + 7}{2} = \mathbf{6}$$
Condition du second ordre : $$\pi''(q) = -12q + 30 \quad \Rightarrow \quad \pi''(6) = -72 + 30 = -42 < 0$$ $\pi''(6) < 0$ : il s'agit bien d'un maximum. La quantité optimale est $q^* = 6$ unités.
Vérification par la règle économique $Rm = Cm$ : $$Rm(q) = R'(q) = 96 \qquad Cm(6) = 6(36) - 30(6) + 60 = 216 - 180 + 60 = 96 \quad \checkmark$$
4) Profit maximal : $$\pi(6) = -2(216) + 15(36) + 36(6) - 500 = -432 + 540 + 216 - 500 = \mathbf{-176\ DH}$$ ⚠️ Le profit maximal est négatif : l'entreprise minimise en réalité sa perte. C'est un résultat économiquement parfaitement cohérent — les coûts fixes de 500 DH ne sont pas couverts au prix de 96 DH. À court terme, elle peut continuer à produire tant que le prix couvre le coût variable moyen ; à long terme, elle doit fermer ou augmenter son prix. Ne « corrige » jamais un résultat négatif : interprète-le.
5) Élasticité-prix : $$D(p) = 400 - 5p \quad \Rightarrow \quad D'(p) = -5$$ $$D(40) = 400 - 200 = 200$$ $$e = D'(p) \cdot \frac{p}{D(p)} = -5 \times \frac{40}{200} = \mathbf{-1}$$ Interprétation : $\lvert e \rvert = 1$, l'élasticité est unitaire. Une hausse de 1 % du prix entraîne une baisse de 1 % des quantités demandées : la recette totale est à son maximum en ce point (une variation de prix, dans un sens ou dans l'autre, la fera baisser).
| Signe de $f'$ sur un intervalle | Variation de $f$ |
|---|---|
| $f'(x) > 0$ | $f$ est strictement croissante |
| $f'(x) < 0$ | $f$ est strictement décroissante |
| $f'(x) = 0$ | Point critique (candidat extremum) |
| Condition | Contenu |
|---|---|
| Premier ordre (nécessaire) | $f'(x_0) = 0$ |
| Second ordre (suffisante) | $f''(x_0) < 0$ → maximum ; $f''(x_0) > 0$ → minimum |
| Cas $f''(x_0) = 0$ | Indéterminé : étudier le changement de signe de $f'$ |
⚠️ $f'(x_0)=0$ ne suffit pas : $f(x)=x^3$ vérifie $f'(0)=0$ sans avoir d'extremum en 0 (point d'inflexion).
| Signe de $f''$ | Forme de la courbe | Signification économique |
|---|---|---|
| $f'' > 0$ | Convexe (tournée vers le haut) | Rendements décroissants / coût marginal croissant |
| $f'' < 0$ | Concave (tournée vers le bas) | Rendements croissants / utilité marginale décroissante |
| $f''$ change de signe | Point d'inflexion | Changement de régime de croissance |
| Type | Condition |
|---|---|
| Verticale $x = a$ | $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ |
| Horizontale $y = \ell$ | $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell$ |
| Oblique $y = ax+b$ | $a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ et $b = \lim_{x \to \infty} \big(f(x) - ax\big)$ |
Reprenons le coût total $C(q) = 0{,}5q^2 + 20q + 800$ du chapitre 4, avec $q > 0$.
1) Coût moyen et sa dérivée : $$CM(q) = \frac{0{,}5q^2 + 20q + 800}{q} = 0{,}5q + 20 + \frac{800}{q}$$ $$CM'(q) = 0{,}5 - \frac{800}{q^2}$$
2) Minimisation : $$CM'(q) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 0{,}5 = \frac{800}{q^2} \quad \Longleftrightarrow \quad q^2 = \frac{800}{0{,}5} = 1600$$ $$q^* = \sqrt{1600} = \mathbf{40} \text{ unités} \quad (q>0)$$
3) Nature du point critique : $$CM''(q) = \frac{1600}{q^3} \quad \Rightarrow \quad CM''(40) = \frac{1600}{64\,000} = 0{,}025 > 0$$ $CM'' > 0$ : c'est bien un minimum. $$CM(40) = 0{,}5(40) + 20 + \frac{800}{40} = 20 + 20 + 20 = \mathbf{60\ DH/unité}$$
4) Vérification $Cm(q^*) = CM(q^*)$ : $$Cm(q) = C'(q) = q + 20 \quad \Rightarrow \quad Cm(40) = 40 + 20 = \mathbf{60} \quad \checkmark$$ La propriété est vérifiée : le coût marginal coupe le coût moyen exactement en son minimum. C'est un résultat que tu réutiliseras en Microéconomie et en Comptabilité analytique.
5) Tableau de variation de $CM$ :
| $q$ | $0^+$ | $40$ | $+\infty$ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| $CM'(q)$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $CM(q)$ | $+\infty$ | ↘ | 60 | ↗ | $+\infty$ |
Interprétation : en dessous de 40 unités, l'entreprise subit le poids des charges fixes (économies d'échelle non réalisées) ; au-delà, les rendements décroissants font remonter le coût unitaire. La capacité optimale est donc de 40 unités, pour un coût unitaire de 60 DH.
Une matrice $A$ de dimension $m \times n$ est un tableau de $m$ lignes et $n$ colonnes, noté $A = (a_{ij})$.
| Matrice particulière | Définition |
|---|---|
| Carrée | $m = n$ |
| Identité $I_n$ | Diagonale de 1, zéros ailleurs |
| Nulle | Tous les coefficients sont nuls |
| Diagonale | $a_{ij} = 0$ pour $i \neq j$ |
| Triangulaire supérieure | $a_{ij} = 0$ pour $i > j$ |
| Transposée $A^T$ | On échange lignes et colonnes |
| Symétrique | $A^T = A$ |
| Opération | Condition | Règle |
|---|---|---|
| Addition $A + B$ | Mêmes dimensions | Terme à terme |
| Multiplication par un scalaire $\lambda A$ | — | Chaque coefficient multiplié par $\lambda$ |
| Produit $A \times B$ | Colonnes de $A$ = lignes de $B$ | $c_{ij} = \sum_k a_{ik}\,b_{kj}$ : ligne $i$ × colonne $j$ |
⚠️ Le produit matriciel n'est pas commutatif : en général $AB \neq BA$. Et $AB = 0$ n'implique pas $A=0$ ou $B=0$.
Dimensions : $(m \times n) \times (n \times p) = (m \times p)$.
Matrice $2 \times 2$ : $$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad \det(A) = ad - bc$$
Matrice $3 \times 3$ — développement suivant la première ligne : $$\det(A) = a_{11}\,\Delta_{11} - a_{12}\,\Delta_{12} + a_{13}\,\Delta_{13}$$ où $\Delta_{1j}$ est le déterminant $2 \times 2$ obtenu en supprimant la ligne 1 et la colonne $j$. ⚠️ Attention à l'alternance des signes $+\;-\;+$.
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| $\det(A^T) = \det(A)$ | La transposition ne change rien |
| $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ | Multiplicativité |
| Deux lignes identiques ou proportionnelles | $\det(A) = 0$ |
| Une ligne (ou colonne) nulle | $\det(A) = 0$ |
$A$ est inversible (régulière) si et seulement si $\det(A) \neq 0$. Alors :
$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{com}(A)^T \qquad \text{avec} \qquad A A^{-1} = A^{-1} A = I_n$$
Cas $2 \times 2$ — formule à retenir absolument : $$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
📌 Mnémotechnique : on échange $a$ et $d$, on change le signe de $b$ et $c$, on divise par le déterminant.
Le rang d'une matrice est le nombre maximal de lignes (ou de colonnes) linéairement indépendantes. Une matrice carrée d'ordre $n$ est inversible $\Longleftrightarrow$ son rang vaut $n$ $\Longleftrightarrow$ $\det(A) \neq 0$.
Soient : $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$
1) Opérations : $$A + B = \begin{pmatrix} 2+1 & 1+0 \\ 3-2 & 4+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 9 \end{pmatrix} \qquad 3A = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$$
$$A \times B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$
2) Produit dans l'autre sens :
3) Inverse de $A$ : $$\det(A) = 2 \times 4 - 1 \times 3 = 8 - 3 = 5 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad A \text{ est inversible}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}8 & -0{,}2 \\ -0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$$ Vérification : $$A \times A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 8-3 & -2+2 \\ 12-12 & -3+8 \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} = I_2 \quad \checkmark$$
4) Déterminant de $C$ : $$\det(C) = 1 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}$$ $$= 1\big((-1)(1) - (2)(4)\big) - 2\big((3)(1) - (2)(0)\big) + 0$$ $$= 1(-1 - 8) - 2(3) = -9 - 6 = \mathbf{-15}$$ $\det(C) = -15 \neq 0$ : $C$ est inversible, son rang vaut 3.
Un système de $n$ équations à $n$ inconnues s'écrit :
$$A \cdot X = B \qquad \text{avec } A \text{ la matrice des coefficients, } X \text{ le vecteur des inconnues, } B \text{ le second membre}$$
Si $A$ est inversible, la solution est unique :
$$\boxed{X = A^{-1} B}$$
Si $\det(A) \neq 0$, le système admet une solution unique donnée par :
$$x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$$
où $A_i$ est la matrice $A$ dans laquelle la colonne $i$ a été remplacée par $B$.
On transforme le système en un système triangulaire équivalent par des opérations élémentaires sur les lignes :
| Opération autorisée | Notation |
|---|---|
| Échanger deux lignes | $L_i \leftrightarrow L_j$ |
| Multiplier une ligne par $\lambda \neq 0$ | $L_i \leftarrow \lambda L_i$ |
| Ajouter à une ligne un multiple d'une autre | $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ |
Puis on résout par remontée (de la dernière équation vers la première).
| Cas | Nombre de solutions |
|---|---|
| $\det(A) \neq 0$ (système de Cramer) | Une solution unique |
| $\det(A) = 0$ et système compatible | Une infinité de solutions |
| $\det(A) = 0$ et système incompatible | Aucune solution |
Une entreprise agroalimentaire de Meknès fabrique trois types de jus : A, B et C. Chaque lot consomme des quantités connues de trois ressources, et l'entreprise dispose de stocks à écouler intégralement :
| Ressource | Lot A | Lot B | Lot C | Stock disponible |
|---|---|---|---|---|
| Fruits (kg) | 2 | 1 | 3 | 1 900 |
| Sucre (kg) | 1 | 2 | 1 | 1 300 |
| Emballages (u) | 1 | 1 | 1 | 900 |
On note $x$, $y$, $z$ les nombres de lots de A, B et C à produire.
1) Mise en équation : $$\begin{cases} 2x + y + 3z = 1900 \\ x + 2y + z = 1300 \\ x + y + z = 900 \end{cases} \qquad A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\; X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},\; B = \begin{pmatrix} 1900 \\ 1300 \\ 900 \end{pmatrix}$$
2) Déterminant : $$\det(A) = 2\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= 2(2-1) - 1(1-1) + 3(1-2) = 2 - 0 - 3 = \mathbf{-1}$$ $\det(A) = -1 \neq 0$ : le système est un système de Cramer, il admet une solution unique.
3) Résolution par Gauss. On prend $L_3$ comme ligne pivot (coefficients tous égaux à 1, plus simple) :
$$L_1 \leftarrow L_1 - 2L_3 : \quad (2-2)x + (1-2)y + (3-2)z = 1900 - 1800 \;\Rightarrow\; -y + z = 100$$ $$L_2 \leftarrow L_2 - L_3 : \quad (1-1)x + (2-1)y + (1-1)z = 1300 - 900 \;\Rightarrow\; y = 400$$
De $L_2$ : $\;\mathbf{y = 400}$. En reportant dans $-y + z = 100$ : $\; z = 100 + 400 = \mathbf{500}$. En reportant dans $L_3$ : $\; x + 400 + 500 = 900 \Rightarrow \mathbf{x = 0}$.
$$\boxed{x = 0 \quad ; \quad y = 400 \quad ; \quad z = 500}$$
4) Vérification :
| Équation | Calcul | Résultat | Stock |
|---|---|---|---|
| Fruits | $2(0) + 400 + 3(500)$ | 1 900 | 1 900 ✓ |
| Sucre | $0 + 2(400) + 500$ | 1 300 | 1 300 ✓ |
| Emballages | $0 + 400 + 500$ | 900 | 900 ✓ |
Interprétation : pour écouler exactement ses trois stocks, l'entreprise doit produire 400 lots de B et 500 lots de C, et aucun lot de A. Le résultat $x = 0$ n'est pas une erreur : il signifie que, compte tenu des proportions de ressources disponibles, le produit A ne peut pas entrer dans la combinaison qui épuise simultanément les trois stocks. ⚠️ En examen, toujours vérifier la solution en la réinjectant dans le système : c'est rapide et cela sécurise plusieurs points.
$$\neg(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x) \qquad \neg(\exists x, P(x)) \equiv \forall x, \neg P(x)$$ $$(P \Rightarrow Q) \equiv (\neg Q \Rightarrow \neg P) \qquad \text{Récurrence} = \text{Initialisation} + \text{Hérédité}$$
$$\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) \qquad \text{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^{\text{card}(E)}$$
| Arithmétique | Géométrique | |
|---|---|---|
| Relation | $u_{n+1} = u_n + r$ | $u_{n+1} = q\,u_n$ |
| Terme général | $u_n = u_0 + nr$ | $u_n = u_0\,q^n$ |
| Somme | $(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$ | $u_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ |
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$$
$$(uv)' = u'v + uv' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \qquad (u^n)' = n u' u^{n-1} \qquad (\ln u)' = \frac{u'}{u} \qquad (e^u)' = u'e^u$$
$$\pi(q) = R(q) - C(q) \qquad \pi'(q)=0 \Leftrightarrow Rm(q) = Cm(q) \qquad \pi''(q) < 0 \text{ (maximum)}$$ $$CM(q) = \frac{C(q)}{q} \qquad CM'(q) = 0 \Leftrightarrow Cm(q) = CM(q) \qquad e_{y/x} = \frac{dy}{dx}\cdot\frac{x}{y}$$
$$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad-bc \qquad \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}$$ $$AX = B \;\Rightarrow\; X = A^{-1}B \qquad x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \text{ (Cramer)}$$