Actuariat et Finance de marchés

Université Hassan II — FSJES Ain Sebâa

Examen écrit pour le concours du Master Actuariat et Finance de marchés — Année universitaire 2017-2018 — Durée 2h — QCM à points négatifs (-0,5 pt par réponse fausse)

Mathématiques financières

Q1. Un capital de 5630 Dh, placé à intérêts simples pendant 94 jours, a produit 168 Dh d'intérêts simples. Quel est le taux de ce placement ? Q2. Un capital de 6700 Dh, placé à 7,5% à intérêts simples au bout, a acquis une valeur de 7035 Dh. Quelle est la durée de ce placement ? Q3. Quel est le taux mensuel équivalent au taux trimestriel de 5,3% ? Q4. Un capital de 11243 Dh est placé pendant 7 ans à intérêts composés au taux annuel de 4%. Quelle est la valeur acquise par ce capital au terme de son placement ? Q5. Un commerçant remplace les deux effets suivants : 13000 Dh échéant dans 2 ans, 17000 Dh échéant dans 4 ans, par un effet unique de nominal 32023,13 Dh. Sachant que le taux d'intérêts composés est 7,5% l'an, quelle serait l'échéance de cet effet ?

Algèbre linéaire

Q6. Soit les matrices A et B définies par A = [[1,-1,3],[5,0,2],[0,4,-3]] et B = [[0,2,4],[-2,6,3],[1,3,7]] ; le deuxième vecteur ligne de la matrice (AB)ᵗ est : Q7. Soit la matrice C définie par C = [[-2,1,-1],[-6,3,-2],[-3,1,0]]. Le polynôme caractéristique de C est égal à : Q8. Soit D la matrice définie par D = [[1,2,0],[1,2,-1],[1,2,3]]. La matrice D est : Q9. Soit la matrice E = PRP⁻¹, avec P = [[1,-1,0],[1,-1,-1],[1,0,-4]] et R = [[1,0,0],[0,-1,0],[0,0,-1]]. E¹² est égal à : Q10. On considère le système suivant : x+2y-3z=3 ; 2x+6y-11z=2 ; x-2y+7z=m. Pour quelle valeur de m le système admet-il une infinité de solutions ?

Statistique descriptive

Le tableau ci-dessous donne l'observation des prix « Y » (en Dirham) et des quantités disponibles « X » d'un produit sur le marché.

Q11. La valeur de la moyenne de X vaut : Q12. La variance de X vaut : Q14. L'équation de la droite de régression est : Q15. Le coefficient de corrélation linéaire est égal à :

Probabilités

Q16. Si P(A∪B) = P(A) + P(B), alors les ensembles A et B sont : Q17. La densité de la loi exponentielle de paramètre 2 est : Q18. Le théorème central limite sert à approcher les lois par la loi : Q19. Si X suit une loi Binomiale de paramètres n=30 et p=0,1. Alors son espérance E(X) est : Q20. Soit X une loi de Poisson P(2), alors P(X<4/X>2) est égale à :

Échantillonnage

Un comptable pense que les problèmes de liquidité d'une entreprise sont une conséquence directe de l'encaissement lent des comptes fournisseurs. Le comptable prétend qu'au moins 70% des comptes fournisseurs datent de plus de deux mois. Un échantillon de 120 comptes fournisseurs a révélé que 88 dataient de plus de deux mois.

Q21. Une estimation ponctuelle de la proportion « p » de comptes fournisseurs datant de plus de deux mois est : Q22. Sachant que le fractile « z » de la loi Normale à 99% pour la vraie proportion p est : Q23. La taille minimum n de l'échantillon à prélever pour que la marge d'erreur de l'estimation (au niveau de confiance 99%) soit inférieure à 0,03 est : Q24. Pour faire une estimation p sur la population d'un caractère donné, on doit connaître au minimum : Q25. Plus la taille de l'échantillon « n » est grande, plus l'amplitude de l'intervalle de confiance est :

Programmation linéaire

Un atelier fabrique trois produits P1, P2, et P3, en quantités x1, x2, et x3. Les marges unitaires de ces trois produits sont de 3, 4 et 12 dh respectivement. Le produit P1 nécessite 1 heure de travail par jour et le marché ne peut absorber plus de 40 unités de ce produit. Le produit P2 nécessite 2 heures de travail par jour. Le produit P3 nécessite 3 heures de travail par jour et le marché ne peut absorber plus de 80 unités. La capacité de travail dans l'atelier est de 300 heures par jour. Le tableau simplexe optimal du problème de programmation linéaire est donné.

Q26. La fonction objectif (économique) est : Q27. La contrainte "temps de travail" est : Q28. D'après le tableau simplexe optimal, la solution optimale est : Q29. D'après le tableau simplexe optimal, la solution optimale du problème dual est : Q30. Si on augmente la capacité du temps de travail (301 au lieu de 300), le nouveau bénéfice optimal est :

Corrigé avec calculs détaillés pour les questions calculables. Les questions 11-15 (statistique descriptive) et 26-30 (programmation linéaire) reposent sur un tableau de données partiellement coupé sur le scan source — la méthode est donnée, les valeurs numériques exactes sont à vérifier sur l'énoncé original complet.

Mathématiques financières

Q1. I=168, C=5630, j=94j (base 360) → t=168×360/(5630×94)≈11,43% (réponse A). Q2. I=7035-6700=335 → j=335×360/(6700×0,075)=240 jours=8 mois (réponse D). Q3. Taux mensuel équivalent à 5,3% trimestriel : (1+iₘ)³=1,053 → iₘ=(1,053)^(1/3)-1≈1,736% (réponse A). Q4. 11243×(1,04)⁷≈14 795,02 (réponse A). Q5. PV des deux effets à 7,5% : 13000/(1,075)²+17000/(1,075)⁴≈11249,9+12730,9=23980,8. Résolution 32023,13/(1,075)ⁿ=23980,8 → n≈4 ans (réponse C).

Algèbre linéaire

Q6. AB=[[5,5,22],[2,16,34],[-11,15,-9]]. Deuxième ligne de (AB)ᵗ = deuxième colonne de AB = (5, 16, 15) (réponse A). Q7. Polynôme caractéristique de C : det(C-xI) = -(x+1)(x-1)² (réponse B). Q8. D est de rang 2 (L3-L1 = -3×(L2-L1), lignes liées mais L1 et L2-L1 indépendantes) (réponse C). Q9. R=diag(1,-1,-1) → R¹²=diag(1,1,1)=I₃, donc E¹²=P·I₃·P⁻¹=I₃ (réponse D). Q10. Résolution paramétrique : le système se ramène à m=11 indépendamment de z ⇒ infinité de solutions si m=11 (réponse C).

Statistique descriptive (Q11-Q15)

Méthode : moyenne X̄=ΣXᵢYᵢ/ΣYᵢ (moyenne pondérée par les effectifs Y), variance=ΣYᵢ(Xᵢ-X̄)²/ΣYᵢ, droite de régression Y=aX+b avec a=Cov(X,Y)/Var(X), coefficient de corrélation r=Cov(X,Y)/(σX·σY). Le tableau de données étant partiellement tronqué sur le scan source, les valeurs numériques finales ne peuvent pas être vérifiées ici avec certitude — reportez-vous à l'énoncé complet pour appliquer ces formules.

Probabilités

Q16. P(A∪B)=P(A)+P(B) ⇒ P(A∩B)=0 ⇒ A et B sont incompatibles (réponse B). Q17. Densité de la loi exponentielle de paramètre 2 : f(x)=2e⁻²ˣ sur R⁺ (réponse B). Q18. Le théorème central limite approche les lois par la loi Normale (réponse A). Q19. X~B(30 ; 0,1) → E(X)=np=3 (réponse B). Q20. P(X<4 | X>2) = P(X=3)/P(X>2) pour X entier (réponse A).

Échantillonnage

Q21. p̂=88/120≈0,73 (réponse D). Q22. Fractile z à 99% : 2,58. Q23. n≥(z²p(1-p))/E²=(2,58²×0,73×0,27)/0,03²≈1458 (réponse C). Q24. Pour estimer p, il faut au minimum connaître la taille n de l'échantillon (et la proportion observée) — la taille N de la population n'est en principe pas requise pour une grande population. Q25. Plus n est grand, plus l'amplitude de l'intervalle de confiance est petite (réponse A).

Programmation linéaire (Q26-Q30)

Modèle : Max Z=3x₁+4x₂+12x₃ sous x₁+2x₂+3x₃≤300 (contrainte temps de travail), x₁≤40, x₃≤80, xᵢ≥0. Les valeurs optimales exactes (Q28-Q30) dépendent du tableau simplexe final fourni dans l'énoncé, partiellement tronqué sur le scan — appliquer la lecture standard du tableau optimal (colonne « sm » = second membre = valeurs des variables de base) et la théorie de la dualité (Q29) et de l'analyse de sensibilité (Q30) à partir du tableau complet.