Sujet officiel du concours de la FSJES Casablanca Ain Sebaa, session 2017.
Matières : Mathématiques Financières, Algèbre Linéaire, Statistiques, Probabilités, Recherche Opérationnelle
Université Hassan II — FSJES Ain Sebâa
Examen écrit pour le concours du Master Actuariat et Finance de marchés — Année universitaire 2017-2018 — Durée 2h
Choisissez la bonne réponse et cochez une case sur la grille de réponses.
Si toutes les propositions sont fausses, cochez la case E.
Attention : toute réponse fausse sera pénalisée de −0,5 pt.
Q1. Un capital de 5630 Dh, placé à intérêts simples pendant 94 jours, a produit 168 Dh d'intérêts simples. Quel est le taux de ce placement ?
Q2. Un capital de 6700 Dh, placé à intérêts simples au taux de 7,5 %, a acquis une valeur de 7035 Dh. Quelle est la durée de ce placement ?
Q3. Quel est le taux mensuel équivalent au taux trimestriel de 5,3 % ?
Q4. Un capital de 11243 Dh est placé pendant 7 ans à intérêts composés au taux annuel de 4 %. Quelle est la valeur acquise par ce capital au terme de son placement ?
Q5. Un commerçant remplace les deux effets suivants :
par un effet unique de nominal 32023,13 Dh. Sachant que le taux d'intérêts composés est 7,5 % l'an, quelle serait l'échéance de cet effet ?
Q6. Soit les matrices $A$ et $B$ définies par
$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & -3 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ -2 & 6 & 3 \\ 1 & 3 & 7 \end{pmatrix}$$
le deuxième vecteur ligne de la matrice $(AB)^t$ est :
Q7. Soit la matrice $C$ définie par
$$C = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -6 & 3 & -2 \\ -3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Le polynôme caractéristique de $C$ est égal à :
Q8. Soit $D$ la matrice définie par
$$D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$
La matrice $D$ est :
Q9. Soit la matrice $E = PRP^{-1}$, avec
$$P = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -4 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
$E^{12}$ est :
Q10. On considère le système suivant :
$$\begin{cases} x + 2y - 3z = 3 \\ 2x + 6y - 11z = 2 \\ x - 2y + 7z = m \end{cases}$$
Pour quelle valeur de $m$ le système admet-il une infinité de solutions ?
Le tableau ci-dessous donne l'observation des prix « Y » (en Dirham) et des quantités disponibles « X » d'un produit sur le marché.
| $x_i$ | 2 | 4 | 6 | 12 | 15 | 20 | 22 | 24 | 28 | [coupé sur le scan] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $y_i$ | 98 | 90 | 84 | 72 | 64 | 62 | 55 | 54 | 45 | [coupé sur le scan] |
La dernière colonne du tableau est coupée sur le scan disponible.
Q11. La valeur de la moyenne de X vaut :
Q12. La variance de X vaut :
Q13. [énoncé absent du scan : il tombe entre les deux pages photographiées]
Q14. L'équation de la droite de régression est :
Q15. Le coefficient de corrélation linéaire est égal à :
Q16. Si $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, alors les ensembles $A$ et $B$ sont :
Q17. La densité de la loi exponentielle de paramètre 2 est :
Q18. Le théorème central limite sert pour approcher les lois par la loi :
Q19. Si X suit une loi Binomiale de paramètres $n = 30$ et $p = 0{,}1$, alors son espérance $E(X)$ vaut :
Q20. Soit X de loi de Poisson $P(2)$, alors $P(X < 4 \,/\, X > 2)$ est égale à :
Un comptable pense que les problèmes de liquidité d'une entreprise sont une conséquence directe de l'encaissement lent des comptes fournisseurs. Le comptable prétend qu'au moins 70 % des comptes fournisseurs datent de plus de deux mois. Un échantillon de 120 comptes fournisseurs a révélé que 88 dataient de plus de deux mois.
Q21. Une estimation ponctuelle de la proportion « p » de comptes fournisseurs datant de plus de deux mois est :
Q22. Sachant que le fractile « z » de la loi Normale est $z = 2{,}58$, l'intervalle de confiance à 99 % pour la vraie proportion p est :
Q23. La taille minimum n de l'échantillon à prélever pour que la marge d'erreur de l'estimation (au niveau de confiance 99 %) soit inférieure à 0,03 est :
Q24. Pour faire une estimation p sur la population d'un caractère donné, on doit connaître au minimum :
Q25. Plus la taille de l'échantillon « n » est grande, plus l'amplitude de l'intervalle de confiance est :
Un atelier fabrique trois produits $P_1$, $P_2$ et $P_3$, en quantités $x_1$, $x_2$ et $x_3$. Les marges unitaires des trois produits sont de 3, 4 et 12 dh respectivement.
La capacité de travail dans l'atelier est de 300 heures par jour. On note $Z$ la valeur optimale. Le tableau simplexe optimal de ce problème de programmation linéaire est donné par :
| $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $e_1$ | $e_2$ | $e_3$ | sm | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1/2 | −1/2 | −3/2 | 10 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 40 | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 80 | |
| $-Z$ | 0 | 0 | 0 | −2 | −1 | −6 | −1120 |
Q26. La fonction objectif (économique) est :
Q27. La contrainte « temps de travail » est :
Q28. D'après le tableau simplexe optimal, la solution optimale est :
Q29. D'après le tableau simplexe optimal, la solution optimale du problème dual est :
Q30. Si on augmente la capacité du temps de travail d'une heure (301 au lieu de 300), le nouveau bénéfice optimal est :
Corrigé indicatif rédigé par SaadConcours, pas une correction officielle de la FSJES Aïn Sebaâ. Chaque calcul a été refait ; les lettres renvoient aux propositions du sujet (A à D, E si toutes sont fausses). La dernière colonne du tableau statistique, l'énoncé de la Q13 et les propositions B et C de la Q24 manquent sur le scan : les réponses concernées le signalent.
Une réponse fausse coûte 0,5 point. Les questions de calcul pur (Q1 à Q12, Q16 à Q23, Q26 à Q30) se vérifient en moins d'une minute chacune : traitez-les en priorité. N'oubliez pas la case E : elle sert quand aucune proposition n'est exacte (voir Q27). Laissez en blanc une question où vous hésitez encore entre deux propositions après calcul.
Q1 — B. Intérêt simple sur 94 jours (année de 360 jours) : $t = \dfrac{168 \times 360}{5630 \times 94} = \dfrac{60\,480}{529\,220} = 0{,}1143$, soit 11,43 %.
Q2 — D. Intérêt = 7035 − 6700 = 335 Dh. Durée : $j = \dfrac{335 \times 360}{6700 \times 0{,}075} = 240$ jours, soit 8 mois.
Q3 — A. Taux équivalent (intérêts composés) : $(1 + i_m)^3 = 1{,}053$, donc $i_m = 1{,}053^{1/3} - 1 = 0{,}01736$, soit 1,736 %. Piège : le taux proportionnel 5,3 / 3 = 1,767 % n'est pas proposé.
Q4 — A. $11\,243 \times 1{,}04^7 = 11\,243 \times 1{,}315932 = $ 14 795,02 Dh.
Q5 — C. Équivalence à la date 0 : $13\,000 \times 1{,}075^{-2} + 17\,000 \times 1{,}075^{-4} = 11\,249{,}32 + 12\,729{,}63 = 23\,978{,}95$. Puis $32\,023{,}13 \times 1{,}075^{-n} = 23\,978{,}95$ donne $1{,}075^n = 1{,}3355$, et $1{,}075^4 = 1{,}3355$ : n = 4 ans.
Q6 — A. $AB = \begin{pmatrix} 5 & 5 & 22 \\ 2 & 16 & 34 \\ -11 & 15 & -9 \end{pmatrix}$. La deuxième ligne de $(AB)^t$ est la deuxième colonne de $AB$ : (5 16 15). Piège : C, $(-11 \;\; 15 \;\; 12)$, mélange la troisième ligne.
Q7 — B. On vérifie $\det(C - xI)$ en quelques points : $x = 0$ donne $\det C = -1$ ; $x = 2$ donne $-3$ ; $x = 3$ donne $-16$. Seul $-(x+1)(x-1)^2$ prend ces trois valeurs ($-1$, $-3$, $-16$). Valeurs propres : $-1$ (simple) et $1$ (double).
Q8 — C. La deuxième colonne vaut deux fois la première : les colonnes sont liées, $\det D = 0$, donc D n'est pas inversible. Les colonnes 1 et 3 sont indépendantes : rang 2. D n'est ni diagonale ni symétrique ($d_{12} = 2 \ne d_{21} = 1$).
Q9 — D. $E^{12} = P R^{12} P^{-1}$ et $R^{12} = \text{diag}(1, (-1)^{12}, (-1)^{12}) = I_3$, donc $E^{12} = P I_3 P^{-1} = $ $I_3$.
Q10 — C. $L_2 - 2L_1$ : $2y - 5z = -4$. $L_3 - L_1$ : $-4y + 10z = m - 3$, soit $-2(2y - 5z) = m - 3$, donc $8 = m - 3$. Le système a une infinité de solutions si m = 11 (aucune solution sinon).
La dernière colonne du tableau est coupée sur le scan. Avec $x_{10} = 30$ et $y_{10} = 40$, la moyenne, la variance, la covariance, la droite et le coefficient de corrélation retombent exactement sur une proposition de chacune des questions 11 à 15. Aucune autre valeur ne le permet : avec $x_{10} = 35$, par exemple, la variance vaut 107,16, qui n'est pas proposée. Les calculs ci-dessous retiennent donc ces valeurs, à confirmer sur le sujet original.
Q11 — B. $\bar{x} = \dfrac{2 + 4 + 6 + 12 + 15 + 20 + 22 + 24 + 28 + 30}{10} = \dfrac{163}{10} = $ 16,3.
Q12 — D. $V(X) = \dfrac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2 = \dfrac{3569}{10} - 16{,}3^2 = 356{,}9 - 265{,}69 = $ 91,21.
Q13 — C (hypothèse). L'énoncé manque sur le scan, mais −173,32 est exactement la covariance : $\bar{y} = 66{,}4$, $\text{Cov}(X, Y) = \dfrac{\sum x_i y_i}{n} - \bar{x}\,\bar{y} = 909{,}0 - 1082{,}32 = -173{,}32$. Question probable : « La covariance de X et Y vaut ».
Q14 — C, sous réserve du signe. Pente $a = \dfrac{\text{Cov}(X, Y)}{V(X)} = \dfrac{-173{,}32}{91{,}21} = -1{,}90$ ; ordonnée à l'origine $b = \bar{y} - a\bar{x} = 66{,}4 + 1{,}90 \times 16{,}3 = 97{,}37$. Droite : Y = −1,90 X + 97,37. C est la seule proposition avec + 97,37, mais le signe devant 1,90 est peu lisible sur le scan. Si C se lit bien « + 1,90 X », aucune proposition n'est exacte : cochez E. Le bon sens tranche : les prix baissent quand les quantités augmentent, la pente est négative.
Q15 — B. $r = \dfrac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \dfrac{-173{,}32}{9{,}55 \times 18{,}33} = -0{,}990$ : −0,99. Liaison linéaire négative très forte, mais pas parfaite (−1 exigerait des points parfaitement alignés).
Q16 — B. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. L'égalité donnée impose $P(A \cap B) = 0$ : A et B sont incompatibles. Piège : l'indépendance s'écrit $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.
Q17 — A. Loi exponentielle de paramètre λ : $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ sur $\mathbb{R}^+$. Pour λ = 2 : $2e^{-2x}$ sur $\mathbb{R}^+$. B n'est pas une densité (sans le facteur 2, son intégrale ne vaut pas 1, et elle est définie sur le mauvais intervalle).
Q18 — A. Le théorème central limite : une somme (ou une moyenne) de variables indépendantes de même loi tend vers la loi Normale.
Q19 — A. $E(X) = np = 30 \times 0{,}1 = $ 3. (La variance vaut $np(1-p) = 2{,}7$.)
Q20 — A. $P(X < 4 \,/\, X > 2) = \dfrac{P(2 < X < 4)}{P(X > 2)} = \dfrac{P(X = 3)}{P(X > 2)}$, car X ne prend que des valeurs entières. Les propositions C et D sont imprimées à l'identique sur le scan ; aucune n'est une probabilité conditionnelle.
Q21 — D. $\hat{p} = 88 / 120 = 0{,}733$, soit 0,73.
Q22 — B. $\hat{p} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0{,}733 \pm 2{,}58 \times \sqrt{\dfrac{0{,}733 \times 0{,}267}{120}} = 0{,}733 \pm 2{,}58 \times 0{,}0404 = 0{,}733 \pm 0{,}104$, soit [0,63 ; 0,84].
Q23 — C. $n \ge \dfrac{z^2\,\hat{p}(1-\hat{p})}{e^2} = \dfrac{2{,}58^2 \times 0{,}73 \times 0{,}27}{0{,}03^2} = 1457{,}8$, soit 1458. Avec $\hat{p} = 88/120$ non arrondi, on obtient 1447 : le sujet arrondit $\hat{p}$ à 0,73, d'où 1458.
Q24 — réponse à confirmer sur le sujet complet. Pour estimer une proportion sur une grande population, il faut la taille n de l'échantillon (et la fréquence observée) ; la taille N de la population n'intervient que pour un tirage exhaustif dans une petite population (facteur de correction). A (N seul) est donc faux, et D exige N sans nécessité. La bonne réponse est la proposition qui cite la seule taille n de l'échantillon, sans doute B ou C, toutes deux absentes du scan.
Q25 — A. L'amplitude de l'intervalle, $2z\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$, diminue quand n augmente : elle est d'autant plus petite que l'échantillon est grand.
Modèle : $\text{Max } Z = 3x_1 + 4x_2 + 12x_3$ sous $x_1 + 2x_2 + 3x_3 \le 300$ (temps de travail, variable d'écart $e_1$), $x_1 \le 40$ ($e_2$), $x_3 \le 80$ ($e_3$), $x_1, x_2, x_3 \ge 0$.
Q26 — A. On maximise la marge totale : Max Z = 3x₁ + 4x₂ + 12x₃.
Q27 — E (aucune proposition exacte). La contrainte de temps est $x_1 + 2x_2 + 3x_3 \le 300$ (1 h, 2 h et 3 h par unité, 300 h disponibles). C a les bons coefficients mais le sens « ≥ », tel qu'il apparaît sur le scan ; A, B et D n'ont pas les bons coefficients. Si le signe de C est un « ≤ » mal imprimé, la réponse est C.
Q28 — B. Colonne « sm » du tableau optimal : $x_2 = 10$, $x_1 = 40$, $x_3 = 80$, et $-Z = -1120$. Vérification : $3 \times 40 + 4 \times 10 + 12 \times 80 = 120 + 40 + 960 = 1120$, temps utilisé $40 + 20 + 240 = 300$ h. Z = 1120, x₁ = 40, x₂ = 10, x₃ = 80.
Q29 — D. Les valeurs duales se lisent, au signe près, sur la ligne $-Z$ sous les variables d'écart : $y_1 = 2$ (temps), $y_2 = 1$ (marché de $P_1$), $y_3 = 6$ (marché de $P_3$). Dualité forte : $W = 300 \times 2 + 40 \times 1 + 80 \times 6 = 1120 = Z$. W = 1120, y₁ = 2, y₂ = 1, y₃ = 6.
Q30 — D. Une heure de plus rapporte la valeur duale de la contrainte de temps, $y_1 = 2$ : $1120 + 2 = $ 1122. Le tableau reste optimal (la base ne change pas : $x_2$ passe de 10 à 10,5).