Actuariat et Gestion des Risques

Université Moulay Ismail — Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales, Meknès

Concours d'accès au cycle de Master — Session 15 septembre 2018 — Filière : Actuariat et Gestion des Risques — Durée : 1h 30min

Sujet de spécialité

1er Exercice a) Citez trois types de risques d'entreprise qui peuvent être couverts par des garanties d'assurance. b) On place 10 000 Dh pendant « n » années au taux actuariel annuel de 5%. La valeur future obtenue au bout de « n » années est de 17958,5633. Calculer le nombre d'années « n ».

2ème Exercice Dans une maternité, on a mesuré la taille à la naissance $(X_i)$ d'un échantillon aléatoire de 10 bébés prélevé de la même population et on a obtenu les résultats suivants : $\sum_{i=1}^{10} X_i = 420$, $\sum_{i=1}^{10} X_i^2 = 18600$. On suppose que la taille (en cm) à la naissance est répartie de façon normale dans la population totale des bébés avec une moyenne $\mu$ et une variance $\sigma^2$ inconnues.

1. Calculer l'estimation ponctuelle de la taille moyenne des bébés à la naissance dans la population étudiée. Interprétez ce résultat.
2. Quelle est la loi de probabilité de l'estimateur de la moyenne $\mu$ et calculer ses paramètres.
3. Donnez une estimation par intervalle de confiance de la taille moyenne à la naissance dans la population à un niveau de confiance de 95%. On vous donne $t_{(9);(0,975)} = 2,262$.

3ème Exercice On suppose que les déterminants de l'endettement (END) des entreprises sont essentiellement la rentabilité (RN) et le risque lié à l'activité (RISK). La modélisation stochastique de type linéaire relative à l'endettement et ses déterminants s'écrit : $$END_i = \beta_0 + \beta_1 RN_i + \beta_2 RISK_i + u_i, \quad \text{avec } u_i \to N(0;\sigma_u^2)$$

1. Un premier chercheur s'est trompé dans l'estimation de ce modèle en considérant que l'endettement ne dépend que de la rentabilité. Qu'appelle-t-on économétriquement l'erreur commise par ce chercheur (omission d'une variable principale) et quel est son impact sur les paramètres du modèle ? (Max 4 lignes)

2. Un deuxième chercheur a estimé le bon modèle par la méthode OLS sur un échantillon de 30 entreprises et a obtenu ces résultats : $\widehat{END}_i = 0{,}41 - 2{,}5623\,RN_i - 0{,}159\,RISK_i$

2.1) Interpréter le signe négatif de chaque coefficient estimé (-2,5623 et -0,159). 2.2) Donner la signification économique des coefficients estimés.

3. Les résultats relatifs à la mesure de l'éventuel effet de la rentabilité et du risque sur l'endettement sont comme suit :

Le coefficient de détermination $R^2 = 0{,}66$ ; la P-Critique associée au test F-Fisher est de 0,000. Le t-Student théorique défini à une probabilité $\alpha = 5\%$ et à 27 degrés de liberté est de 1,703.

En se basant sur ces résultats, peut-on accepter l'éventuelle influence de la rentabilité (RN) et du risque lié à l'activité (RISK) sur l'endettement des entreprises ? Justifier.

Corrigé rédigé à partir du programme standard du module (mathématiques financières, statistique inférentielle et économétrie) et d'un calcul vérifié — aucune grille de correction officielle disponible pour ce sujet.

1er Exercice

a) Trois types de risques d'entreprise couvrables par assurance : les risques de dommages aux biens (incendie, dégât des eaux, bris de matériel), les risques de responsabilité civile (dommages causés à des tiers), et les risques liés aux personnes (accidents du travail, santé, prévoyance).

b) $FV = C(1+i)^n \Rightarrow 17958{,}5633 = 10\,000\times1{,}05^n \Rightarrow 1{,}05^n = 1{,}79585633$. $n = \dfrac{\ln(1{,}79585633)}{\ln(1{,}05)} \approx \dfrac{0{,}5857}{0{,}04879} \approx \mathbf{12 \text{ ans}}$.

2ème Exercice

1) Estimation ponctuelle de la moyenne : $\bar X = \dfrac{\sum X_i}{n} = \dfrac{420}{10} = \mathbf{42\text{ cm}}$. En l'absence d'information supplémentaire sur la population, cette moyenne d'échantillon est le meilleur estimateur ponctuel disponible de la taille moyenne des bébés à la naissance dans la population.

2) L'estimateur $\bar X$ suit une loi normale $N(\mu, \sigma^2/n)$ (ou, puisque $\sigma$ est inconnu et estimé, $\dfrac{\bar X - \mu}{S/\sqrt n}$ suit une loi de Student à $n-1=9$ degrés de liberté). Variance estimée (corrigée) : $S^2 = \dfrac{\sum X_i^2 - n\bar X^2}{n-1} = \dfrac{18600 - 10\times42^2}{9} = \dfrac{18600-17640}{9} = \dfrac{960}{9} \approx 106{,}67$. Paramètres de l'estimateur : espérance $=\mu$ (estimée par 42), variance $= S^2/n \approx 10{,}67$, soit un écart-type $\approx 3{,}27$.

3) $IC_{95\%} = \bar X \pm t_{(9;0,975)}\times\dfrac{S}{\sqrt n} = 42 \pm 2{,}262\times\dfrac{\sqrt{106{,}67}}{\sqrt{10}} = 42 \pm 2{,}262\times3{,}267 \approx 42\pm7{,}39$. $IC_{95\%} \approx [\mathbf{34{,}61\ ;\ 49{,}39}]$ cm.

3ème Exercice

1) Omettre une variable explicative pertinente (RISK) corrélée avec les variables retenues est un biais de variable omise. Son effet est de biaiser l'estimateur du coefficient restant (RN) : ce dernier capte alors, en plus de son propre effet, une partie de l'effet de la variable omise (via leur corrélation), rendant l'estimation non fiable même asymptotiquement.

2.1) Le signe négatif de RN (-2,5623) indique qu'une entreprise plus rentable s'endette moins — cohérent avec la théorie du financement hiérarchique (« pecking order ») : les entreprises rentables préfèrent l'autofinancement à l'endettement. Le signe négatif de RISK (-0,159) indique qu'une entreprise plus risquée s'endette moins — cohérent avec une aversion au risque des prêteurs, qui rationnent le crédit aux entreprises les plus risquées (ou une prudence des dirigeants face au risque de défaut).

2.2) Toutes choses égales par ailleurs, une augmentation d'une unité de la rentabilité économique (RN) est associée à une baisse de 2,5623 point de l'endettement (END) ; une augmentation d'une unité du risque d'activité (RISK) est associée à une baisse de 0,159 point de l'endettement.

3) Les deux coefficients sont statistiquement significatifs : $|t_{RN}|=6{,}76$ et $|t_{RISK}|=3{,}25$, tous deux très supérieurs au seuil théorique $t_{(0,05;27)}=1{,}703$ (et P-critiques < 5%). Le modèle est également globalement significatif ($R^2=0{,}66$, test de Fisher significatif à 0,000). Conclusion : on peut accepter, au seuil de 5%, l'influence significative et négative à la fois de la rentabilité et du risque d'activité sur le niveau d'endettement des entreprises de l'échantillon.