Économétrie

FORMULAIRE FINAL — ÉCONOMÉTRIE

Régression simple

$$\hat{\beta}_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \qquad \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} \qquad \hat{\sigma}^2 = \frac{SCR}{n - 2} \qquad \hat{\sigma}_{\hat{\beta}_1} = \sqrt{\frac{\hat{\sigma}^2}{S_{xx}}} \qquad \hat{\sigma}_{\hat{\beta}_0} = \sqrt{\hat{\sigma}^2\left(\frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{S_{xx}}\right)}$$

Ajustement et tests

$$SCT = SCE + SCR \qquad R^2 = \frac{SCE}{SCT} \qquad \bar{R}^2 = 1 - (1 - R^2)\frac{n - 1}{n - k} \qquad t = \frac{\hat{\beta}_j - b_0}{\hat{\sigma}_{\hat{\beta}_j}} \sim \mathcal{T}(n - k)$$

$$F = \frac{SCE/(k - 1)}{SCR/(n - k)} \qquad F_{restr} = \frac{(SCR_c - SCR_{nc})/q}{SCR_{nc}/(n - k)} \qquad IC = \hat{\beta}_j \pm t_{\alpha/2}\,\hat{\sigma}_{\hat{\beta}_j}$$

Prévision

$$\hat{y}_0 = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_0 \qquad \text{écart-type (valeur individuelle)} = \hat{\sigma}\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(x_0 - \bar{x})^2}{S_{xx}}}$$

Régression multiple (deux variables)

$$D = S_{11}S_{22} - S_{12}^2 \qquad \hat{\beta}_1 = \frac{S_{1y}S_{22} - S_{2y}S_{12}}{D} \qquad \hat{\beta}_2 = \frac{S_{2y}S_{11} - S_{1y}S_{12}}{D} \qquad \hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'y$$

Diagnostics

Problème	Outil	Formule ou règle
Multicolinéarité	VIF, règle de Klein	$VIF_j = 1/(1 - R_j^2) > 10$ ; $r_{ij}^2 > R^2$
Variable omise	Biais	$E(\hat{\alpha}_1) = \beta_1 + \beta_2 S_{12}/S_{11}$
Rupture structurelle	Chow	$F = \{[SCR - (SCR_1 + SCR_2)]/k\} / \{(SCR_1 + SCR_2)/(n - 2k)\}$
Hétéroscédasticité	Goldfeld-Quandt, White	$F = [SCR_2/(n_2 - k)]/[SCR_1/(n_1 - k)]$ ; $nR^2 \sim \chi^2$
Autocorrélation	Durbin-Watson	$DW = \sum (e_t - e_{t-1})^2 / \sum e_t^2 \approx 2(1 - \hat{\rho})$
Racine unitaire	Dickey-Fuller	$\Delta y_t = \alpha + \gamma y_{t-1} + u_t$ ; valeur critique ≈ − 2,86

CONSEILS POUR L'EXAMEN

1. Présentez un tableau de calcul (écarts, produits, carrés) : il sécurise les résultats et rapporte des points.
2. Vérifiez vos calculs : somme des résidus nulle, $SCT = SCE + SCR$, $F = t^2$ en régression simple.
3. Degrés de liberté : toujours $n - k$, avec $k$ = nombre de paramètres constante comprise.
4. Rédigez les tests en quatre temps : hypothèses, statistique, valeur critique, conclusion.
5. Interprétez économiquement chaque coefficient (unités, élasticité, toutes choses égales par ailleurs) et chaque test.
6. Pensez aux hypothèses : un modèle n'est fiable que si les résidus sont sans structure (hétéroscédasticité, autocorrélation) et si la spécification est correcte.