Licence Fondamentale / Professionnelle — Semestre S5/S6 — Système universitaire marocain Modèle linéaire simple et multiple, estimation par les MCO, tests d'hypothèses, violations des hypothèses, séries temporelles.
💡 Comment lire ce cours ? Toutes les formules sont écrites en LaTeX. Chaque chapitre contient : le cours ➜ un exercice ➜ sa correction détaillée.
| N° | Chapitre | Notions clés |
|---|---|---|
| 1 | Introduction à l'économétrie | Démarche, modèle, terme d'erreur, typologie des données |
| 2 | Le modèle de régression linéaire simple | MCO, estimateurs, interprétation des coefficients |
| 3 | La qualité de l'ajustement | SCT, SCE, SCR, coefficient de détermination |
| 4 | Inférence statistique : tests et intervalles | Test de Student, intervalle de confiance, prévision |
| 5 | Le modèle de régression multiple | Écriture matricielle, $R^2$ ajusté, test de Fisher |
| 6 | La multicolinéarité et les erreurs de spécification | Détection, conséquences, remèdes |
| 7 | L'hétéroscédasticité et l'autocorrélation | Tests de White, Goldfeld-Quandt, Durbin-Watson |
| 8 | Introduction aux séries temporelles | Stationnarité, Dickey-Fuller, tendance et saisonnalité |
| — | Formulaire final + Conseils examen | Synthèse des formules et des tests |
L'économétrie est la branche de l'économie qui utilise les méthodes statistiques et mathématiques pour quantifier les relations économiques, tester les théories et prévoir l'évolution des variables.
$$\text{Théorie économique} \rightarrow \text{Spécification du modèle} \rightarrow \text{Collecte des données} \rightarrow \text{Estimation} \rightarrow \text{Tests / validation} \rightarrow \text{Prévision ou décision}$$
$$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$$
| Élément | Nom |
|---|---|
| $Y$ | Variable expliquée (endogène, dépendante) |
| $X$ | Variable explicative (exogène, indépendante) |
| $\beta_0, \beta_1$ | Paramètres inconnus à estimer |
| $\varepsilon_i$ | Terme d'erreur (aléa) |
Le terme d'erreur résume : les variables omises, les erreurs de mesure, le caractère aléatoire du comportement humain et l'erreur de spécification de la forme fonctionnelle.
| Type | Description | Exemple |
|---|---|---|
| Coupe transversale | Plusieurs individus, une date | Enquête auprès de 500 ménages en 2024 |
| Série temporelle | Un individu, plusieurs dates | PIB du Maroc de 1990 à 2024 |
| Données de panel | Plusieurs individus suivis dans le temps | 50 entreprises observées sur 10 ans |
Question — On souhaite expliquer la consommation des ménages par leur revenu disponible. Écrivez le modèle, nommez chaque terme et donnez trois exemples de facteurs contenus dans le terme d'erreur.
$$C_i = \beta_0 + \beta_1 RD_i + \varepsilon_i$$
Facteurs contenus dans $\varepsilon_i$ : le patrimoine du ménage, la taille et la composition de la famille, les anticipations sur le revenu futur, les habitudes de consommation, ainsi que les erreurs de mesure sur les déclarations de revenu.
| N° | Hypothèse | Écriture |
|---|---|---|
| H1 | Linéarité des paramètres | $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$ |
| H2 | $X$ non aléatoire (exogène) | $\text{Cov}(X_i, \varepsilon_i) = 0$ |
| H3 | Espérance nulle des erreurs | $E(\varepsilon_i) = 0$ |
| H4 | Homoscédasticité | $V(\varepsilon_i) = \sigma^2$ constante |
| H5 | Absence d'autocorrélation | $\text{Cov}(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = 0$ pour $i \neq j$ |
| H6 | Normalité des erreurs | $\varepsilon_i \sim \mathcal{N}(0 ; \sigma^2)$ |
Les MCO minimisent la somme des carrés des résidus :
$$\min \sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \min \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 X_i)^2$$
Les conditions du premier ordre donnent les équations normales, d'où :
$$\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}$$
$$\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$$
Sous les hypothèses H1 à H5, les estimateurs des MCO sont BLUE (Best Linear Unbiased Estimators) : linéaires, sans biais ($E(\hat{\beta}_j) = \beta_j$) et de variance minimale parmi tous les estimateurs linéaires sans biais.
$$V(\hat{\beta}_1) = \frac{\hat{\sigma}^2}{\sum (X_i - \bar{X})^2} \qquad \text{avec} \qquad \hat{\sigma}^2 = \frac{\sum e_i^2}{n - 2}$$
L'écart-type estimé $\hat{\sigma}_{\hat{\beta}_1} = \sqrt{V(\hat{\beta}_1)}$ est l'erreur standard du coefficient.
| Forme du modèle | Interprétation de $\beta_1$ |
|---|---|
| $Y = \beta_0 + \beta_1 X$ (niveau-niveau) | Une unité de $X$ en plus ➜ $\beta_1$ unités de $Y$ en plus |
| $\ln Y = \beta_0 + \beta_1 X$ (log-niveau) | Une unité de $X$ en plus ➜ $Y$ varie de $100\beta_1$ % |
| $\ln Y = \beta_0 + \beta_1 \ln X$ (log-log) | $\beta_1$ est l'élasticité de $Y$ par rapport à $X$ |
Question — Sur 20 observations, on dispose de : $\bar{X} = 8$, $\bar{Y} = 30$, $\sum(X_i - \bar{X})^2 = 80$, $\sum(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 200$. Estimez les paramètres du modèle $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$ et interprétez.
$$\hat{\beta}_1 = \frac{200}{80} = 2{,}5$$
$$\hat{\beta}_0 = 30 - 2{,}5 \times 8 = 30 - 20 = 10$$
Le modèle estimé s'écrit :
$$\hat{Y}_i = 10 + 2{,}5 \, X_i$$
Interprétation : lorsque $X$ augmente d'une unité, $Y$ augmente en moyenne de 2,5 unités. La constante $\hat{\beta}_0 = 10$ correspond à la valeur moyenne de $Y$ quand $X = 0$ — interprétation à ne retenir que si $X = 0$ a un sens économique et appartient au domaine des données observées.
$$\underbrace{\sum (Y_i - \bar{Y})^2}_{SCT} = \underbrace{\sum (\hat{Y}_i - \bar{Y})^2}_{SCE} + \underbrace{\sum e_i^2}_{SCR}$$
| Somme | Signification |
|---|---|
| SCT (totale) | Variabilité totale de $Y$ |
| SCE (expliquée) | Part expliquée par le modèle |
| SCR (résiduelle) | Part non expliquée |
$$R^2 = \frac{SCE}{SCT} = 1 - \frac{SCR}{SCT} \qquad \text{avec} \qquad 0 \leq R^2 \leq 1$$
$R^2$ mesure la part de la variance de $Y$ expliquée par le ou les régresseurs. En régression simple, $R^2 = r^2$ (carré du coefficient de corrélation).
Le $R^2$ augmente mécaniquement avec le nombre de variables explicatives. Pour comparer des modèles de dimensions différentes, on utilise :
$$\bar{R}^2 = 1 - \frac{SCR/(n-k)}{SCT/(n-1)} = 1 - (1 - R^2)\frac{n-1}{n-k}$$
où $k$ est le nombre de paramètres estimés (constante comprise). Le $\bar{R}^2$ peut être négatif et ne progresse que si la variable ajoutée apporte réellement de l'information.
Question — Un modèle à 3 variables explicatives (plus la constante) estimé sur 25 observations donne $SCT = 500$ et $SCR = 120$. Calculez $R^2$ et $\bar{R}^2$, puis commentez.
$$R^2 = 1 - \frac{120}{500} = 1 - 0{,}24 = 0{,}76$$
Avec $n = 25$ et $k = 4$ :
$$\bar{R}^2 = 1 - (1 - 0{,}76)\frac{25 - 1}{25 - 4} = 1 - 0{,}24 \times \frac{24}{21} = 1 - 0{,}2743 = 0{,}726$$
Commentaire : le modèle explique 76 % de la variabilité de $Y$, soit 72,6 % après correction pour le nombre de régresseurs. L'écart modéré entre $R^2$ et $\bar{R}^2$ suggère que les variables retenues sont globalement pertinentes ; un écart important aurait signalé un modèle surchargé de variables peu utiles.
$$H_0 : \beta_1 = 0 \quad \text{(la variable n'est pas significative)} \qquad \text{contre} \qquad H_1 : \beta_1 \neq 0$$
Statistique de test :
$$t_c = \frac{\hat{\beta}_1}{\hat{\sigma}_{\hat{\beta}_1}} \qquad \sim \; t_{(n-k)} \; \text{sous } H_0$$
Règle de décision : si $\lvert t_c \rvert > t_{\text{table}}$ (≈ 1,96 pour un grand échantillon à 5 %), on rejette $H_0$ : la variable est significative.
Règle empirique : $\lvert t_c \rvert > 2$ ➜ variable significative à 5 %.
La p-value est la probabilité d'obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée, si $H_0$ est vraie.
$$\text{p-value} < 0{,}05 \; \Longrightarrow \; \text{rejet de } H_0 \text{ au seuil de 5 \%}$$
$$IC_{95\%}(\beta_1) = \left[ \hat{\beta}_1 - t_{\alpha/2}\,\hat{\sigma}_{\hat{\beta}_1} \; ; \; \hat{\beta}_1 + t_{\alpha/2}\,\hat{\sigma}_{\hat{\beta}_1} \right]$$
Si l'intervalle contient 0, le coefficient n'est pas significativement différent de zéro : c'est la traduction exacte du test de Student.
| $H_0$ vraie | $H_0$ fausse | |
|---|---|---|
| On rejette $H_0$ | Erreur de 1ʳᵉ espèce ($\alpha$) | Décision correcte (puissance) |
| On accepte $H_0$ | Décision correcte | Erreur de 2ᵉ espèce ($\beta$) |
Question — Une régression sur $n = 30$ observations (2 paramètres) donne $\hat{\beta}_1 = 0{,}72$ avec une erreur standard de 0,30. Testez la significativité de la variable au seuil de 5 % ($t_{0,025}(28) = 2{,}048$) et construisez l'intervalle de confiance.
Test de Student :
$$t_c = \frac{0{,}72}{0{,}30} = 2{,}4$$
$\lvert 2{,}4 \rvert > 2{,}048$ ➜ on rejette $H_0$. La variable explicative est significative au seuil de 5 %.
Intervalle de confiance :
$$IC = [0{,}72 - 2{,}048 \times 0{,}30 \; ; \; 0{,}72 + 2{,}048 \times 0{,}30] = [0{,}106 \; ; \; 1{,}334]$$
L'intervalle ne contient pas 0, ce qui confirme la conclusion du test : les deux approches sont strictement équivalentes.
$$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \dots + \beta_{k-1} X_{(k-1)i} + \varepsilon_i$$
Sous forme matricielle : $Y = X\beta + \varepsilon$, d'où l'estimateur des MCO :
$$\hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y$$
Cet estimateur n'existe que si $X'X$ est inversible, c'est-à-dire si les colonnes de $X$ sont linéairement indépendantes (absence de colinéarité parfaite).
$\beta_j$ mesure l'effet d'une variation d'une unité de $X_j$ sur $Y$, les autres variables explicatives étant maintenues constantes (ceteris paribus). C'est l'apport décisif de la régression multiple par rapport à la régression simple.
$$H_0 : \beta_1 = \beta_2 = \dots = \beta_{k-1} = 0 \qquad \text{(le modèle n'explique rien)}$$
$$F_c = \frac{SCE/(k-1)}{SCR/(n-k)} = \frac{R^2/(k-1)}{(1-R^2)/(n-k)}$$
Si $F_c > F_{\text{table}}(k-1 ; n-k)$, on rejette $H_0$ : le modèle est globalement significatif.
⚠️ Le test de Student teste une variable à la fois ; le test de Fisher teste toutes les variables ensemble. Un modèle peut être globalement significatif alors qu'aucun coefficient ne l'est individuellement — signe caractéristique de multicolinéarité.
Une variable qualitative à $m$ modalités s'introduit par $m - 1$ variables binaires, la modalité omise servant de référence. Introduire les $m$ variables provoquerait la trappe des variables muettes (colinéarité parfaite avec la constante).
Question — Un modèle à 3 variables explicatives estimé sur 40 observations donne $R^2 = 0{,}65$. Testez la significativité globale au seuil de 5 % ($F_{\text{table}}(3 ; 36) \approx 2{,}87$).
Avec $k - 1 = 3$ et $n - k = 40 - 4 = 36$ :
$$F_c = \frac{0{,}65/3}{(1 - 0{,}65)/36} = \frac{0{,}2167}{0{,}009722} \approx 22{,}29$$
$F_c = 22{,}29 > 2{,}87$ ➜ on rejette $H_0$.
Le modèle est globalement significatif au seuil de 5 % : au moins une des variables explicatives contribue significativement à expliquer $Y$. Il reste ensuite à tester chaque coefficient individuellement par le test de Student pour identifier lesquelles.
Il y a multicolinéarité lorsque des variables explicatives sont fortement corrélées entre elles.
| Type | Conséquence |
|---|---|
| Parfaite | $X'X$ non inversible : estimation impossible |
| Imparfaite (forte) | Estimateurs toujours sans biais mais variances gonflées ➜ $t$ faibles, coefficients instables, signes contre-intuitifs |
| Indice | Critère d'alerte |
|---|---|
| Matrice des corrélations | $\lvert r \rvert > 0{,}8$ entre deux régresseurs |
| $R^2$ élevé mais $t$ tous faibles | Symptôme classique |
| VIF (facteur d'inflation de la variance) | $VIF_j = \dfrac{1}{1 - R_j^2} > 10$ |
| Test de Klein | $R_j^2 > R^2$ global |
Supprimer une des variables redondantes, augmenter la taille de l'échantillon, combiner les variables corrélées en un indicateur unique, ou recourir à la régression sur composantes principales.
| Erreur | Conséquence |
|---|---|
| Omission d'une variable pertinente corrélée aux régresseurs | Estimateurs biaisés et non convergents (biais de variable omise) |
| Ajout d'une variable non pertinente | Estimateurs sans biais mais moins efficients (variances accrues) |
| Mauvaise forme fonctionnelle | Biais de spécification ➜ test RESET de Ramsey |
Le biais de variable omise est la faute grave : elle attribue à une variable présente l'effet d'une variable absente.
Question — Une régression donne $R^2 = 0{,}92$, un test de Fisher très significatif, mais aucun coefficient significatif au test de Student. Quel diagnostic posez-vous ? Comment le vérifier et y remédier ?
Diagnostic : forte multicolinéarité. C'est la signature typique : le modèle explique très bien $Y$ globalement (Fisher significatif, $R^2$ élevé), mais l'effet propre de chaque variable ne peut pas être isolé, car les régresseurs varient ensemble. Les variances des estimateurs sont gonflées, donc les $t$ de Student sont écrasés.
Vérification : examiner la matrice des corrélations entre régresseurs (recherche de $\lvert r \rvert > 0{,}8$), calculer les VIF (alerte si $VIF > 10$) et appliquer le test de Klein.
Remèdes : supprimer l'une des variables redondantes (celle la moins fondée théoriquement), agréger les variables corrélées en un indice synthétique, ou augmenter la taille de l'échantillon pour améliorer la précision. Les estimateurs restant sans biais, la multicolinéarité n'est pas rédhibitoire si l'objectif est la seule prévision.
Violation de H4 : $V(\varepsilon_i) = \sigma_i^2$ varie selon les observations (fréquent en coupe transversale : les grandes entreprises ont des résidus plus dispersés que les petites).
| Conséquences | |
|---|---|
| Estimateurs des MCO | Toujours sans biais mais non efficients (plus BLUE) |
| Écarts-types estimés | Biaisés ➜ tests de Student et de Fisher invalides |
Détection : examen graphique des résidus, test de Goldfeld-Quandt, test de White, test de Breusch-Pagan.
Remèdes : moindres carrés pondérés (MCP/MCG), transformation logarithmique, écarts-types robustes de White.
Violation de H5 : $\text{Cov}(\varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}) \neq 0$ (fréquent en séries temporelles). Processus autorégressif d'ordre 1 :
$$\varepsilon_t = \rho\,\varepsilon_{t-1} + u_t \qquad \text{avec} \qquad \lvert \rho \rvert < 1$$
$$DW = \frac{\sum_{t=2}^{n} (e_t - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{n} e_t^2} \approx 2(1 - \hat{\rho})$$
| Valeur de $DW$ | Conclusion |
|---|---|
| $DW \approx 2$ | Absence d'autocorrélation |
| $DW \rightarrow 0$ | Autocorrélation positive |
| $DW \rightarrow 4$ | Autocorrélation négative |
Lecture fine par la table de Durbin-Watson ($d_L$, $d_U$) : $DW < d_L$ ➜ autocorrélation positive ; $DW > d_U$ et $DW < 4 - d_U$ ➜ absence d'autocorrélation ; entre $d_L$ et $d_U$ ➜ zone d'indétermination.
⚠️ Le test de Durbin-Watson est invalide en présence d'une variable endogène retardée parmi les régresseurs : on utilise alors le $h$ de Durbin ou le test de Breusch-Godfrey.
Remèdes : méthode de Cochrane-Orcutt, quasi-différenciation, ou correction de la spécification (l'autocorrélation est souvent le symptôme d'une variable omise ou d'une mauvaise forme fonctionnelle).
Question — Une régression sur données annuelles (1995-2024) donne $DW = 0{,}68$. Quel problème détectez-vous ? Estimez $\rho$ et indiquez les conséquences ainsi que deux remèdes.
$DW = 0{,}68$, très éloigné de 2 et proche de 0 ➜ autocorrélation positive des erreurs (attendue sur des données annuelles).
Estimation de $\rho$ :
$$\hat{\rho} \approx 1 - \frac{DW}{2} = 1 - 0{,}34 = 0{,}66$$
Autocorrélation positive forte : un choc positif une année tend à se prolonger l'année suivante.
Conséquences : les estimateurs des MCO restent sans biais mais ne sont plus à variance minimale ; surtout, les écarts-types sont sous-estimés, ce qui gonfle artificiellement les $t$ de Student et conduit à conclure à tort à la significativité des variables.
Remèdes : (1) vérifier d'abord la spécification du modèle (variable explicative omise, absence de tendance ou de variable retardée) ; (2) appliquer une procédure de quasi-différenciation type Cochrane-Orcutt ou utiliser des écarts-types robustes (Newey-West).
$$X_t = T_t + S_t + C_t + \varepsilon_t \quad \text{(modèle additif)} \qquad ; \qquad X_t = T_t \times S_t \times \varepsilon_t \quad \text{(modèle multiplicatif)}$$
où $T$ est la tendance, $S$ la saisonnalité, $C$ le cycle et $\varepsilon$ l'aléa. On choisit le modèle multiplicatif quand l'amplitude des variations saisonnières croît avec le niveau de la série.
Une série est stationnaire (au sens faible) si son espérance, sa variance et ses autocovariances sont indépendantes du temps :
$$E(X_t) = \mu \qquad ; \qquad V(X_t) = \sigma^2 \qquad ; \qquad \text{Cov}(X_t, X_{t-h}) = \gamma_h$$
Régresser deux séries non stationnaires l'une sur l'autre produit une régression fallacieuse (spurious regression) : $R^2$ très élevé, $t$ de Student très significatifs, mais relation économiquement vide.
Signal d'alerte : $R^2 > DW$ ➜ forte présomption de régression fallacieuse.
$$\Delta X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t \qquad \text{avec} \qquad H_0 : \phi = 0 \; \text{(racine unitaire ➜ série non stationnaire)}$$
On compare la statistique calculée aux valeurs critiques de Dickey-Fuller (et non à celles de Student). Si l'on ne rejette pas $H_0$, la série est non stationnaire : on la différencie ($\Delta X_t = X_t - X_{t-1}$) et l'on teste à nouveau. Une série stationnaire après $d$ différenciations est dite intégrée d'ordre $d$, notée $I(d)$.
Le test ADF (Dickey-Fuller augmenté) ajoute des retards de $\Delta X$ pour purger l'autocorrélation résiduelle.
Deux séries $I(1)$ sont cointégrées s'il existe une combinaison linéaire de ces séries qui soit $I(0)$ : elles évoluent alors ensemble à long terme. On estime dans ce cas un modèle à correction d'erreur (MCE), qui combine dynamique de court terme et relation d'équilibre de long terme.
Question — Une régression du PIB sur la consommation (données trimestrielles brutes) donne $R^2 = 0{,}97$ et $DW = 0{,}22$. Faut-il se réjouir de la qualité de l'ajustement ? Quelle démarche adopter ?
Non. Le couple « $R^2$ très élevé + $DW$ très faible » avec $R^2 > DW$ est la signature d'une régression fallacieuse : deux séries non stationnaires partageant une tendance commune apparaissent fortement liées sans qu'une relation économique soit établie.
Démarche à suivre :
| Notion | Formule |
|---|---|
| Estimateur de la pente (MCO) | $\hat{\beta}_1 = \dfrac{\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum (X_i - \bar{X})^2}$ |
| Constante | $\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1\bar{X}$ |
| Écriture matricielle | $\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y$ |
| Variance résiduelle | $\hat{\sigma}^2 = \dfrac{\sum e_i^2}{n-k}$ |
| Décomposition | $SCT = SCE + SCR$ |
| Coefficient de détermination | $R^2 = 1 - SCR/SCT$ |
| $R^2$ ajusté | $\bar{R}^2 = 1 - (1-R^2)\dfrac{n-1}{n-k}$ |
| Test de Student | $t_c = \hat{\beta}_j / \hat{\sigma}_{\hat{\beta}_j}$ |
| Test de Fisher | $F_c = \dfrac{R^2/(k-1)}{(1-R^2)/(n-k)}$ |
| VIF | $VIF_j = 1/(1 - R_j^2)$ |
| Durbin-Watson | $DW \approx 2(1 - \hat{\rho})$ |
Document de révision — Module Économétrie (Licence) — Conforme au programme marocain des filières Économie & Gestion.