Actuariat et Gestion des Risques

Université Moulay Ismaïl — Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales — Meknès

Concours d'accès au cycle Master Recherche : Actuariat et Gestion des Risques — Samedi 16 septembre 2017 — Épreuve de spécialité — Durée 1H30

Répondez à la question suivante : Quel est l'intérêt de l'actuariat pour l'entreprise ?

Exercice 1 :

Dans une étude de distribution des salaires, un chercheur a obtenu les statistiques suivantes sur un échantillon de 750 employés : Min = 3000 DH, Max = 15000, la moyenne X̄ = 8000 Dh, l'écart-type S = 1000 DH, le Mode M₀ = 8000 DH, la médiane Me = 8000 DH.

a) Donnez une interprétation précise de ces statistiques. b) La distribution des salaires est-elle symétrique ? Pourquoi ? (Max 2 lignes)

Exercice 2 :

Dans une maternité, un chercheur a mesuré le poids à la naissance (Xᵢ) pour un échantillon aléatoire de 8 bébés et a obtenu les résultats suivants : Σ Xᵢ = 27,5 ; Σ Xᵢ² = 97,38.

On suppose que le poids à la naissance est réparti de façon normale dans la population totale des bébés avec une moyenne μ et une variance σ² inconnues.

1. Rappelez la définition d'un estimateur sans biais et convergent
2. Donnez une estimation ponctuelle du poids moyen des bébés à la naissance dans la population étudiée. Interprétez ce résultat
3. Quelle est la loi de probabilité de l'estimateur de la moyenne μ et calculer ses paramètres
4. Donnez une estimation par intervalle de confiance du poids moyen des bébés à la naissance dans la population au niveau de confiance 99%. On vous donne t₍₇₎₍₀,₉₉₅₎ = 3,499

Corrigé avec calculs détaillés.

Question préliminaire — Intérêt de l'actuariat pour l'entreprise

L'actuariat permet de quantifier et de tarifer les risques (assurance, retraite, prévoyance), d'assurer la solvabilité financière de l'entreprise face à des engagements futurs incertains, et d'éclairer les décisions de gestion des risques (provisionnement, réassurance).

Exercice 1

a) Statistiques : Min=3000, Max=15000, moyenne X̄=8000, écart-type S=1000, Mode=8000, Médiane=8000. Interprétation : la population des salaires est centrée autour de 8000 DH (moyenne=mode=médiane), avec un étalement modéré (écart-type=1000, soit 12,5% de la moyenne) mais une étendue très large (Min=3000 à Max=15000), suggérant la présence de valeurs extrêmes peu fréquentes.

b) Symétrie : puisque moyenne = mode = médiane = 8000, la distribution est (approximativement) symétrique.

Exercice 2

Données : n=8, ΣXᵢ=27,5 ; ΣXᵢ²=97,38.

1. Un estimateur T de μ est sans biais si E(T)=μ ; il est convergent si sa variance tend vers 0 quand n→∞ (convergence en probabilité vers μ).

2. Estimation ponctuelle : X̄ = ΣXᵢ/n = 27,5/8 = 3,4375 kg. Interprétation : le poids moyen estimé à la naissance dans l'échantillon est d'environ 3,44 kg.

3. X̄ suit une loi Normale N(μ, σ²/n) (la population est normale par hypothèse) — ou, σ² étant inconnue et estimée, une loi de Student à n-1=7 degrés de liberté pour la statistique standardisée (X̄-μ)/(S/√n).

4. Variance empirique corrigée : S² = [ΣXᵢ² - n×X̄²]/(n-1) = [97,38 - 8×(3,4375)²]/7 = [97,38 - 94,53]/7 ≈ 2,85/7 ≈ 0,4071 ; S ≈ 0,638. Intervalle de confiance à 99% : X̄ ± t₍₇₎₍₀,₉₉₅₎ × S/√n = 3,4375 ± 3,499×0,638/√8 ≈ 3,4375 ± 3,499×0,2256 ≈ 3,4375 ± 0,789. IC à 99% ≈ [2,65 ; 4,23] kg.