Actuariat et Gestion des Risques

Université Moulay Ismaïl — Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales — Meknès

Concours d'accès au Cycle de Master — Examen écrit — Session 19 septembre 2023

Filières concernées par le tronc commun :

• Master : Économie et Management Internationaux
• Master : Finance, Audit et Contrôle de Gestion
• Master spécialisé : Finance, Banque et Assurance
• Master spécialisé : Méthodes Informatiques à la Gestion des Entreprises
• Master : Actuariat et Gestion des Risques
• Master : Évaluation des Politiques Publiques
• Master : Finance et Fiscalité
• Master : Marketing et Stratégies Commerciales

Durée : 01h30

Sujet d'ordre général

Dans un contexte de compétitivité nationale et mondiale, les entreprises marocaines sont appelées à améliorer le processus de leur gestion et rester ouvertes aux Technologies d'Information.

Expliquer en quoi la transformation digitale peut-elle améliorer la performance des entreprises marocaines ?

Concours d'accès au cycle Master Recherche : Actuariat et Gestion des Risques — Année universitaire 2023/2024

Épreuve de spécialité : Durée 1H30

Questions de réflexion

1. Donner la définition du risque (Max 3 lignes) ;
2. Donner la formule de probabilité conditionnelle de bayes et discuter ses conditions d'application ;
3. Quelle est l'interprétation statistique de « L'erreur standard à la moyenne » ;
4. Calculer la vitesse moyenne d'un mobile entre A et D sachant qu'il roule à une vitesse de 100km/h entre « A et B », 120km/h entre « B et C » et 105km/h entre « C et D » ;
5. Calculer le taux d'intérêt moyen sur trois ans, sachant que les taux respectifs sont de 3%, 3,2%, et 4% ;
6. Quelle est la somme future perçue d'un placement bancaire de 45000 Dh au bout de deux ans à un taux d'intérêt simple de 4,5%

Exercice

Le facteur principal supposé explicatif de l'endettement en niveau des entreprises (END) est la rentabilité économique (RENT). La modélisation stochastique de type linéaire de l'endettement s'écrit : $END_i = \beta \cdot RENT_i + u_i$, avec $u_i \to N(0;\sigma_u^2)$.

Un chercheur a estimé ce modèle sur un échantillon de 10 entreprises avec les variables (END et RENT) centrées-réduites et a obtenu les résultats suivants :

Récapitulatif du modèle

1. Montrer que l'ordonné à l'origine estimé est toujours nul lorsque les variables du modèle sont centrées-réduites ;
2. Expliquer pourquoi le modèle estimé sur des variables centrées-réduites a toujours une pente inférieure ou égale à 1 en valeur absolue
3. Donner la signification économique du coefficient estimé. (β = 0,963).
4. Les résultats relatifs à la mesure de l'éventuel effet de la rentabilité sur l'endettement sont comme suit (tableau ci-dessus).

En se basant sur ces résultats, peut-on accepter l'éventuelle influence de l'endettement sur la rentabilité sachant que la P-critique associée au test F-Fisher sur R² est nulle et l'estimation de la pente du modèle est statistiquement significative au seuil de 5%.

Corrigé rédigé à partir du programme standard du module (mathématiques financières, statistique inférentielle et économétrie de base) et d'un raisonnement/calcul vérifié — aucune source officielle disponible pour ce sujet.

Sujet d'ordre général

Question de réflexion ouverte. Une réponse structurée peut aborder :

1. Gains d'efficacité opérationnelle : automatisation des processus (ERP, CRM), réduction des délais et des coûts de gestion, dématérialisation.
2. Amélioration de la prise de décision : Business Intelligence et data analytics permettant un pilotage en temps réel de la performance.
3. Accès aux marchés et compétitivité : e-commerce, marketing digital, ouverture à l'international sans les contraintes physiques classiques.
4. Nouveaux modèles économiques : plateformisation, économie de la donnée, personnalisation de l'offre.
5. Limites : coût de l'investissement initial, résistance au changement, fracture numérique entre grandes entreprises et PME, cybersécurité — la transformation digitale est un levier de performance mais suppose un accompagnement (formation, financement, infrastructure).

Épreuve de spécialité — Actuariat et Gestion des Risques

Questions de réflexion

1. Définition du risque

Le risque est la possibilité qu'un événement futur, incertain, produise un dommage (perte financière, sinistre) affectant une personne ou une organisation. Il se caractérise par une probabilité d'occurrence et une gravité (ampleur des conséquences).

2. Formule de Bayes et conditions d'application

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}, \quad \text{avec } P(B) = \sum_i P(B|A_i)P(A_i)$$

Conditions d'application : les événements $A_i$ doivent former une partition de l'univers (exhaustifs et deux à deux incompatibles), et $P(B) \neq 0$. Elle nécessite de connaître les probabilités a priori $P(A_i)$ et les vraisemblances $P(B|A_i)$.

3. Interprétation statistique de l'erreur standard à la moyenne

L'erreur standard de la moyenne, $\sigma/\sqrt n$, mesure la dispersion de la distribution d'échantillonnage de la moyenne, c'est-à-dire la précision avec laquelle la moyenne d'un échantillon estime la vraie moyenne de la population. Plus $n$ est grand, plus l'erreur standard est faible, donc plus l'estimation de la moyenne est précise.

4. Vitesse moyenne entre A et D

En l'absence d'indication contraire, on suppose que les distances AB, BC et CD sont égales (à $d$). La vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est la moyenne harmonique des trois vitesses (car on additionne des temps, pas des vitesses) :

$$t_{total} = \frac{d}{100} + \frac{d}{120} + \frac{d}{105} = d\left(\frac{1}{100}+\frac{1}{120}+\frac{1}{105}\right)$$

En mettant au même dénominateur (4200) : $$\frac{1}{100}+\frac{1}{120}+\frac{1}{105} = \frac{42}{4200}+\frac{35}{4200}+\frac{40}{4200} = \frac{117}{4200}$$

$$V_{moy} = \frac{3d}{t_{total}} = \frac{3}{117/4200} = \frac{3 \times 4200}{117} = \frac{12600}{117} \approx 107,69 \text{ km/h}$$

5. Taux d'intérêt moyen sur 3 ans

En capitalisation (taux successifs qui s'enchaînent), le taux moyen $\bar i$ vérifie : $$(1+\bar i)^3 = (1+0,03)(1+0,032)(1+0,04)$$ $$(1,03)(1,032)(1,04) = 1,03 \times 1,032 = 1,06296 \; ; \; 1,06296 \times 1,04 = 1,105478$$ $$\bar i = (1,105478)^{1/3} - 1 \approx 1,03397 - 1 = 0,03397 \approx 3,40\%$$

(Cette moyenne géométrique, 3,397%, est très proche de la moyenne arithmétique simple $(3+3{,}2+4)/3 = 3,4\%$, ce qui est normal pour des taux voisins.)

6. Somme future à intérêt simple

$$FV = C(1 + n \times i) = 45000 \times (1 + 2 \times 0,045) = 45000 \times 1,09 = 49\,050 \text{ Dh}$$

Exercice

1. Ordonnée à l'origine nulle sur variables centrées-réduites

Pour une régression simple $Y=a+bX+u$, l'estimateur des MCO de la constante est $\hat a = \bar Y - \hat b \bar X$. Or centrer une variable signifie lui soustraire sa moyenne, donc pour des variables centrées-réduites $\bar Y = 0$ et $\bar X = 0$. Il vient immédiatement $\hat a = 0 - \hat b \times 0 = 0$ : l'ordonnée à l'origine estimée est toujours nulle.

2. Pente toujours ≤ 1 en valeur absolue

Pour des variables centrées-réduites (variance égale à 1), la pente estimée $\hat\beta = \dfrac{Cov(X,Y)}{Var(X)} = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = r_{XY}$, c'est-à-dire qu'elle est égale au coefficient de corrélation linéaire $r$ entre les deux variables. Or par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, $|r_{XY}| \le 1$ toujours. Donc $|\hat\beta| \le 1$.

3. Signification économique de β = 0,963

Puisque les variables sont centrées-réduites, β = 0,963 est en réalité le coefficient de corrélation linéaire entre RENT et END (on vérifie d'ailleurs que $R^2 = \beta^2 = 0,963^2 = 0,927$, cohérent avec le tableau). Une augmentation d'un écart-type de la rentabilité économique est associée, en moyenne, à une augmentation de 0,963 écart-type de l'endettement : la relation entre rentabilité et endettement est positive et très forte (proche de la corrélation parfaite).

4. Test de significativité globale et de la pente

• $R^2 = 0,927$ : la rentabilité économique explique 92,7% de la variance de l'endettement (pouvoir explicatif très élevé).
• La probabilité critique associée au test F de Fisher est nulle (< 0,05) : on rejette $H_0: \beta = 0$, le modèle est globalement significatif.
• La pente est elle-même déclarée statistiquement significative au seuil de 5%.

On peut donc conclure, sur la base de ces résultats, qu'il existe une relation statistiquement significative entre la rentabilité économique (RENT) et le niveau d'endettement (END) des entreprises de l'échantillon : l'hypothèse d'absence de relation ($\beta=0$) est rejetée au seuil de 5%.