Théorème central limite et approximations de lois

🎯 Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• majorer une probabilité avec les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev ;
• énoncer et interpréter la loi des grands nombres ;
• appliquer le théorème central limite à une somme ou à une moyenne de variables indépendantes ;
• choisir la bonne approximation (hypergéométrique, binomiale, Poisson, normale) selon les conditions ;
• appliquer correctement la correction de continuité.

6.1 Pourquoi des théorèmes « limites » ?

Les lois exactes sont souvent impraticables : calculer à la main $P(X \ge 120)$ pour une loi binomiale $\mathcal{B}(2\,500 ; 0{,}04)$ demanderait d'additionner des centaines de termes. Et dans bien des cas, on ne connaît même pas la loi exacte d'une variable : le montant d'un sinistre automobile, la dépense d'un client. Les théorèmes de ce chapitre répondent à ces deux difficultés. Ils décrivent ce qui se passe quand on additionne un grand nombre de variables aléatoires indépendantes : les fluctuations individuelles se compensent, et la somme obéit à des lois simples et universelles.

C'est ce qui permet à une compagnie d'assurance de prévoir ses charges, à un institut de sondage d'annoncer une marge d'erreur, ou à une banque de calibrer ses réserves : aucune de ces institutions ne sait ce que fera un client donné, mais elles savent très bien ce que feront dix mille clients.

6.2 Les inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de Markov : pour une variable $X$ positive et tout $a > 0$, $$P(X \ge a) \le \frac{E(X)}{a}$$

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour toute variable $X$ d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, et tout $t > 0$, $$\boxed{P\big(|X - \mu| \ge t\big) \le \frac{\sigma^2}{t^2}} \qquad \text{soit, avec } t = k\sigma : \quad P\big(|X - \mu| \ge k\sigma\big) \le \frac{1}{k^2}$$

Ces inégalités ont un immense avantage : elles valent quelle que soit la loi de $X$. Leur prix est qu'elles sont grossières. Tchebychev garantit qu'au moins 75 % des valeurs sont à moins de $2\sigma$ de la moyenne ($1 - 1/4$) ; pour une loi normale, la proportion réelle est de 95 %.

Exemple : le chiffre d'affaires journalier d'un magasin a une moyenne de 50 000 DH et un écart-type de 5 000 DH, de loi inconnue. La probabilité qu'il s'écarte de la moyenne de 10 000 DH ou plus est au plus $5\,000^2 / 10\,000^2 = 0{,}25$.

6.3 La loi des grands nombres

Répétons $n$ fois, de façon indépendante, une épreuve où un événement a la probabilité $p$, et notons $F_n$ la fréquence observée de l'événement. On a $E(F_n) = p$ et $V(F_n) = p(1 - p)/n$ ; en appliquant Tchebychev :

$$P\big(|F_n - p| \ge \varepsilon\big) \le \frac{p(1 - p)}{n\,\varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$

Loi (faible) des grands nombres : la fréquence observée converge en probabilité vers la probabilité théorique. Plus généralement, la moyenne $\bar{X}_n$ de $n$ variables indépendantes de même loi, d'espérance $\mu$, converge en probabilité vers $\mu$.

C'est la justification de l'approche fréquentiste des probabilités (chapitre 2) et du principe de l'assurance : sur un grand portefeuille, la fréquence des sinistres est très proche de sa probabilité, ce qui rend la charge totale prévisible.

L'inégalité fournit aussi une taille d'échantillon sûre : pour que $P(|F_n - p| \ge 0{,}05) \le 0{,}05$ sans rien savoir de $p$ (donc avec $p(1 - p) \le 0{,}25$), il suffit que $0{,}25 / (n \times 0{,}05^2) \le 0{,}05$, soit $n \ge 2\,000$. Le théorème central limite montrera qu'environ 385 personnes suffisent en réalité.

6.4 Le théorème central limite

Théorème central limite (TCL) : si $X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes, de même loi, d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, alors pour $n$ assez grand, quelle que soit leur loi : $$S_n = X_1 + \dots + X_n \approx \mathcal{N}\left(n\mu \ ; \ \sigma\sqrt{n}\right) \qquad \bar{X}_n = \frac{S_n}{n} \approx \mathcal{N}\left(\mu \ ; \ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

En pratique, l'approximation est jugée bonne dès $n \ge 30$, et elle l'est plus tôt si la loi de départ est à peu près symétrique. C'est le résultat le plus important du cours : il explique pourquoi la loi normale apparaît partout (une grandeur qui résulte de nombreuses petites causes indépendantes est approximativement normale) et il fonde toute l'estimation par intervalle du chapitre 7.

Exemple : les montants des 100 sinistres déclarés à une agence d'assurance dans l'année sont indépendants, de moyenne 12 000 DH et d'écart-type 6 000 DH, de loi inconnue (et certainement pas normale : beaucoup de petits sinistres, quelques très gros). Leur total suit approximativement $\mathcal{N}(1\,200\,000 ; 60\,000)$. La probabilité qu'il dépasse 1,3 million de DH est $1 - \Phi(1{,}67) \approx 0{,}048$.

6.5 Les approximations de lois

Loi exacte	Conditions usuelles	Approximation	Justification
Hypergéométrique $\mathcal{H}(N, n, p)$	$n / N \le 0{,}1$	Binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$	Sans remise ≈ avec remise dans une grande population
Binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$	$n \ge 30$, $p \le 0{,}1$, $np < 15$	Poisson $\mathcal{P}(np)$	Événement rare
Binomiale $\mathcal{B}(n ; p)$	$np \ge 5$ et $n(1 - p) \ge 5$	Normale $\mathcal{N}\left(np ; \sqrt{np(1 - p)}\right)$	TCL (somme de $n$ Bernoulli)
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$	$\lambda \ge 20$ environ	Normale $\mathcal{N}(\lambda ; \sqrt{\lambda})$	TCL

On garde toujours la même espérance (et, pour la normale, le même écart-type) que la loi exacte : l'approximation ne change pas les paramètres, elle change seulement la forme de la loi.

Exemple (Poisson) : 150 contrats d'assurance habitation, chacun sinistré avec la probabilité 0,02. Le nombre de sinistres suit $\mathcal{B}(150 ; 0{,}02)$, approchée par $\mathcal{P}(3)$ : $P(N \le 1) \approx e^{-3}(1 + 3) \approx 0{,}199$, contre 0,196 pour la valeur exacte.

6.6 La correction de continuité

Approcher une loi discrète (valeurs entières) par une loi continue impose de « répartir » chaque valeur entière $k$ sur l'intervalle $[k - 0{,}5 ; k + 0{,}5]$ :

Probabilité discrète	Approximation continue
$P(X = k)$	$P(k - 0{,}5 < Y < k + 0{,}5)$
$P(X \le k)$	$P(Y < k + 0{,}5)$
$P(X < k) = P(X \le k - 1)$	$P(Y < k - 0{,}5)$
$P(X \ge k)$	$P(Y > k - 0{,}5)$

Exemple : $X \sim \mathcal{B}(50 ; 0{,}4)$, approchée par $\mathcal{N}(20 ; \sqrt{12} \approx 3{,}464)$. Pour $P(X \le 24)$ : avec correction, $\Phi(4{,}5 / 3{,}464) = \Phi(1{,}30) \approx 0{,}903$ ; sans correction, $\Phi(4 / 3{,}464) = \Phi(1{,}15) \approx 0{,}876$. La valeur exacte est 0,902 : la correction fait passer l'erreur de près de 3 points à moins de 0,1 point. Elle permet aussi de calculer $P(X = 20) \approx 2\,\Phi(0{,}144) - 1 \approx 0{,}115$, alors que sans elle on obtiendrait 0.

6.7 Méthode : choisir et appliquer une approximation

1. Identifier la loi exacte et ses paramètres ($N$, $n$, $p$ ou $\lambda$).
2. Vérifier les conditions de l'approximation envisagée et les écrire sur la copie.
3. Calculer les paramètres de la loi approchée : même espérance, même variance.
4. Pour une approximation normale d'une loi discrète, appliquer la correction de continuité, puis centrer-réduire et lire la table.
5. Pour une somme ou une moyenne de variables de loi inconnue, invoquer le TCL ($n \ge 30$) ; sans aucune hypothèse, se contenter de Tchebychev.

⚠️ Les pièges à éviter

• Appliquer une approximation sans vérifier ses conditions (par exemple la normale avec $np = 2$).
• Prendre $np$ comme écart-type de la loi normale approchée : l'écart-type est $\sqrt{np(1 - p)}$.
• Oublier la correction de continuité, ou la faire dans le mauvais sens pour $P(X \ge k)$.
• Croire que le TCL rend chaque $X_i$ normale : c'est la somme (ou la moyenne) qui devient normale.
• Présenter la borne de Tchebychev comme une probabilité exacte : c'est un majorant.