Master ESMA (Économétrie, Statistique et Modélisation Appliquée)

Université Mohammed V de Rabat — Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales — Souissi

Test d'admission au Master ESMA — Année Universitaire : 2017-2018 — Durée : 2 heures

N.B. : Chaque partie doit être traitée sur une feuille séparée

Partie 1 — Macroéconomie

Supposons que le Maroc comprend une entreprise représentative dont la fonction de production est donnée par : y = f(N) = 2N − (1/2)N² sachant que N est la taille de l'emploi.

1. Écrire le profit de cette entreprise sachant que le prix du bien est P, et que le salaire est W.
2. Déterminer la demande de travail (l'offre d'emploi) qui est la taille optimale de cette entreprise.
3. En déduire la taille de production optimale (en volume) qu'est, l'offre optimale en volume du bien produit de cette entreprise, et commenter.
4. Supposons que l'offre totale de travail (la demande totale d'emploi) est exogène, et est donnée par : Nˢ = (W/P). Définir alors la notion d'équilibre du marché du travail, et calculer le salaire réel d'équilibre de cette économie.
5. À cet équilibre général, calculer la production totale (en volume), la masse salariale réelle totale, le total des profits réels (profits déflatés par le prix) et commenter la répartition dans cette économie.

Partie 2 — Microéconomie

La production d'un bien A est possible grâce à une technologie ayant pour fonction de coût total : C(q) = 50 + q² où q est la quantité offerte par une entreprise. La demande du bien A est donnée par : P(Q) = 40 − Q où Q est la quantité offerte par la branche.

1. Comment distingue-t-on entre le court terme et le long terme dans une entreprise ?
2. Déterminez l'équilibre de concurrence de long terme ;
3. Déterminez l'équilibre du monopole ;
4. Calculez le surplus du consommateur et du producteur à l'équilibre concurrentiel de long terme ;
5. Comparez le surplus net à l'équilibre concurrentiel de long terme par rapport à celui du monopole et concluez.
6. Dans quelles conditions un monopole peut être préférable à la concurrence en termes d'efficacité ?

Partie 3 — Statistique

Exercice 1

Soit X une variable aléatoire, et X₁, X₂, X₃ sont des variables aléatoires représentant un échantillon de X dont sont de même loi que X et qui sont indépendantes deux à deux. Pour l'estimation de la moyenne m de X, on utilise la fonction suivante :

Y = 0,6 × X₁ + 0,1 × X₂ + X₃

Avec : c ∈ ℝ

• Quelle est la condition pour que Y soit un estimateur biaisé de la moyenne m de X ?

Exercice 2

Soit Y une série chronologique, les données de cette série sur quatre trimestres et sur deux années, sont représentées dans le tableau ci-dessous :

Le modèle de cette série est supposé additif : Cₜ = Ĉₜ + Sₜ + Eₜ, avec Ĉₜ = 0,25t + 0,25

1. Calculer les quatre coefficients saisonniers de cette série.

Partie 4 — Mathématique

Exercice 1 : (08 points)

Montrer que l'ensemble E = {(x, y, z) / z=0} est sous-espace vectoriel de ℝ³ ?

Exercice 2 : (12 points)

Soit f la fonction de deux variables définie par : f(x,y) = xy(1−x−y)

1. Justifier en une phrase que f est de classe C²
2. Déterminer les points critiques de f ;
3. Préciser la nature des points critiques de f.

Corrigé indicatif rédigé à partir du programme standard de macro/microéconomie, statistique et mathématiques — aucune grille de correction officielle disponible pour ce sujet.

Partie 1 — Macroéconomie

1. Profit : π(N) = P×f(N) − W×N = P×[2N − (1/2)N²] − W×N.

2. Demande de travail : maximisation de π par rapport à N → dπ/dN = P×(2 − N) − W = 0 → N* = 2 − W/P.

3. Production optimale : y* = f(N*) = 2N* − (1/2)N² = 2(2 − W/P) − (1/2)(2 − W/P)². En posant w = W/P (salaire réel), y = 2(2−w) − (1/2)(2−w)². Commentaire : la production optimale décroît quand le salaire réel augmente, ce qui traduit la loi des rendements décroissants du travail combinée au coût croissant de la main-d'œuvre.

4. L'équilibre du marché du travail est atteint lorsque l'offre de travail égale la demande de travail : Nˢ = Nᵈ. Ici Nˢ = W/P et Nᵈ = N* = 2 − W/P. À l'équilibre : W/P = 2 − W/P → 2×(W/P) = 2 → (W/P) = 1* (salaire réel d'équilibre).

5. À l'équilibre : N* = (W/P)* = 1. Production totale : y* = 2(1) − (1/2)(1)² = 2 − 0,5 = 1,5. Masse salariale réelle : (W/P)×N = 1×1 = 1. Profit réel : π/P = y* − (W/P)×N = 1,5 − 1 = 0,5. Commentaire : sur une production totale de 1,5, les deux tiers (1) reviennent aux travailleurs sous forme de salaires et un tiers (0,5) revient à l'entreprise sous forme de profit — une répartition cohérente avec les rendements décroissants du facteur travail dans cette fonction de production.

Partie 2 — Microéconomie

1. Le court terme est la période durant laquelle au moins un facteur de production est fixe (l'entreprise ne peut ajuster que sa quantité produite avec sa capacité existante) ; le long terme est la période durant laquelle tous les facteurs sont variables, y compris la capacité de production et le nombre d'entreprises sur le marché (libre entrée/sortie).

2. Équilibre de concurrence de long terme : le prix s'établit au minimum du coût moyen (profit nul à l'entrée libre). Coût marginal : Cm(q) = 2q. Coût moyen : CM(q) = 50/q + q, minimisé quand Cm = CM → 2q = 50/q + q → q = 50/q → q² = 50 → q* = √50 ≈ 7,07. Prix d'équilibre : P* = Cm(q*) = 2×7,07 ≈ 14,14. Quantité de marché : Q* = 40 − P* ≈ 25,86, soit un nombre d'entreprises n* = Q*/q* ≈ 3,66 (à arrondir selon le contexte).

3. Équilibre de monopole : recette marginale Rm = 40 − 2Q (dérivée de la recette totale R = PQ = (40−Q)Q) égalée au coût marginal Cm = 2Q (au niveau de la branche) : 40 − 2Q = 2Q → Q_m = 10, et P_m = 40 − 10 = 30.

4. À l'équilibre concurrentiel (P*≈14,14 ; Q*≈25,86) : Surplus du consommateur = (1/2)×(40 − P*)×Q* = (1/2)×25,86×25,86 ≈ 334,4. Surplus du producteur (à long terme, profit nul par construction) ≈ 0 (les profits sont nuls à l'équilibre concurrentiel de long terme, toute rente étant dissipée par l'entrée de nouvelles entreprises).

5. Sous monopole (Q_m=10, P_m=30) : Surplus du consommateur = (1/2)×(40−30)×10 = 50, nettement inférieur à celui de la concurrence. Le surplus net total (CS+PS) est maximal en concurrence pure et parfaite de long terme, le monopole créant une perte sèche de bien-être (deadweight loss) en restreignant la quantité produite pour maintenir un prix plus élevé.

6. Un monopole peut être préférable en termes d'efficacité dynamique lorsque des rendements d'échelle croissants importants (monopole naturel, coûts fixes très élevés comme les réseaux d'infrastructure) rendent la duplication de plusieurs producteurs inefficiente, ou lorsque la rente de monopole finance une innovation ou une R&D que la concurrence pure ne permettrait pas de rentabiliser (argument schumpétérien).

Partie 3 — Statistique

Exercice 1. Y = 0,6X₁ + 0,1X₂ + X₃ est estimateur sans biais de m si et seulement si E(Y) = m, soit (0,6+0,1+1)×m = m, ce qui exige que la somme des coefficients soit égale à 1. Or 0,6+0,1+1 = 1,7 ≠ 1 : Y est donc biaisé dès lors que la somme de ses coefficients diffère de 1 — c'est précisément la condition demandée : Y est un estimateur biaisé de m tant que 0,6+0,1+c₃ ≠ 1 (ici avec c₃=1 fixé dans l'énoncé, le biais vaut E(Y)−m = 0,7×m).

Exercice 2. Tendance Ĉₜ = 0,25t + 0,25, avec t=1,2,3,4 pour 2006 et t=5,6,7,8 pour 2008 (en admettant une numérotation continue des 2 années considérées comme années 1 et 3 de la série, faute de trimestres 2007 fournis) : les coefficients saisonniers s'obtiennent par Sₜ = Cₜ − Ĉₜ pour chaque trimestre, puis en moyennant les écarts obtenus pour un même trimestre sur les deux années disponibles. Par exemple pour T1 : écarts (0,5 − Ĉ₁) et (1,1 − Ĉ₅) moyennés donnent le coefficient saisonnier S₁, et ainsi de suite pour T2, T3, T4 — la méthode exacte des valeurs numériques dépend de la convention retenue pour numéroter t sur la période manquante (2007), non fournie dans le scan disponible.

Partie 4 — Mathématiques

Exercice 1. E = {(x,y,z) ∈ ℝ³ / z=0}. E est un sous-espace vectoriel de ℝ³ car : (i) le vecteur nul (0,0,0) appartient à E (z=0 vérifié) ; (ii) E est stable par combinaison linéaire : si u=(x₁,y₁,0) et v=(x₂,y₂,0) appartiennent à E et λ,μ∈ℝ, alors λu+μv = (λx₁+μx₂, λy₁+μy₂, 0) a bien sa troisième composante nulle, donc appartient à E. E est donc bien un sous-espace vectoriel de ℝ³ (c'est le plan (x,y)).

Exercice 2. f(x,y) = xy(1−x−y) = xy − x²y − xy².

1. f est un polynôme en (x,y), donc indéfiniment dérivable ; toutes ses dérivées partielles sont continues, donc f est de classe C² (et même C^∞).

2. Points critiques : ∂f/∂x = y − 2xy − y² = y(1−2x−y) = 0 et ∂f/∂y = x − x² − 2xy = x(1−x−2y) = 0. En résolvant ce système, les solutions sont : (0,0), (1,0), (0,1), et (1/3, 1/3) (obtenu en résolvant simultanément 1−2x−y=0 et 1−x−2y=0, qui donne x=y=1/3).

3. Nature des points critiques (via le hessien : r=f''ₓₓ=−2y, t=f''ᵧᵧ=−2x, s=f''ₓᵧ=1−2x−2y) :

   • En (0,0) : r=0, t=0, s=1 → rt−s² = −1 < 0 → point-selle.
   • En (1,0) : r=0, t=−2, s=−1 → rt−s² = −1 < 0 → point-selle.
   • En (0,1) : r=−2, t=0, s=−1 → rt−s² = −1 < 0 → point-selle.
   • En (1/3,1/3) : r=−2/3, t=−2/3, s=1−2/3−2/3=−1/3 → rt−s² = 4/9 − 1/9 = 3/9 > 0 et r<0 → **maximum local** (f(1/3,1/3) = (1/3)(1/3)(1/3) = 1/27 > 0).