Master Spécialisé Actuariat et Prévoyance

Université Mohammed V Agdal — Faculté des Sciences Juridiques Économiques et Sociales, Rabat Département des Sciences Économiques

Master spécialisé « Actuariat et prévoyance » Epreuve du test écrit — Durée : 3 heures

Partie 1 : Mathématiques

Exercice 1 : Calculer le déterminant de la matrice suivante :

$$M=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&1\\-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1\end{pmatrix}$$

Exercice 2 : On considère les deux matrices carrées d'ordre 3 données par :

$$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-2&1\\-1&1&0\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}1&-1&-2\\1&-1&-1\\2&1&2\end{pmatrix} \quad \text{et } I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

1. Calculer les matrices $(I_3-A)$, $(A+2I_3)$, $(I_3-A)(A+2I_3)$ et puis $AB$.
2. En déduire que la matrice $A$ est inversible, puis déterminer son inverse $A^{-1}$.
3. Montrer que la matrice $A$ vérifie la relation : $A^3+A^2-2A+3I_3=0_3$.
4. À l'aide de la relation établie à la question 3, donner l'expression de la matrice inverse $A^{-1}$.
5. À l'aide de la méthode des cofacteurs, retrouver la matrice inverse $A^{-1}$.

Exercice 3 : Résoudre le système linéaire suivant (m est un paramètre réel) :

$$\begin{cases}x-y+(1-m)=0\\x+(1-m)y-z=0\\(1-m)x+y+z=0\end{cases}$$

Partie 2 : Statistique et probabilité

Question 1 Dans une école, 40% des élèves ont une mauvaise vue ; 70% des élèves ayant une mauvaise vue portent des lunettes et les 30% restant ont des lentilles de contact. Dans cette école, on compte 21 paires de lunettes. Donner le nombre d'élèves de l'école.

Question 2 La moyenne d'âge d'un groupe constitué d'hommes et de femmes est de 40 ans. La moyenne d'âge des hommes est de 35 ans, celle des femmes 50 ans. Quelle est la proportion d'hommes dans ce groupe ?

Question 3 On veut étudier l'existence d'un lien entre la parité et le sexe. Le test Khi deux sur un échantillon donne la valeur de décision 0.45 pour une valeur critique de la table de 3.84 à un seuil de 5%. Formuler les hypothèses du test et donner une conclusion.

Question 4 Pour se rendre à son travail, un ouvrier a le choix entre deux chemins A et B. La durée du parcours exprimée en minutes est une variable aléatoire normale de moyenne et d'écart type respectivement 27 mn et 5 mn pour le chemin A, et 30 mn et 2 mn pour le chemin B. À votre avis quel chemin cet ouvrier doit-il choisir pour ne pas arriver en retard s'il dispose de 30 mn ? On donne les valeurs de la table de la loi normale centrée réduite : $Z_{0,5}=0$ ; $Z_{0,7257}=0,6$.

Question 5 Pour répondre à la question suivante, quelle procédure statistique mettez-vous en œuvre : la rentabilité d'un actif exprimée en % dépend-elle de la durée de placement en jours et du risque exprimé par la variance du cours observée pendant la durée du placement ?

Partie 3 : Traitez le sujet suivant

Comment la prévoyance parviendra-t-elle à faire face au vieillissement de la population au Maroc ?

NB : Chaque partie est traitée dans une copie à part.

Corrigé avec calculs détaillés.

Partie 1 — Mathématiques

Exercice 1 — déterminant de M : On effectue les opérations élémentaires $L_2 \leftarrow L_2-L_1$, $L_3 \leftarrow L_3+L_1$, $L_4 \leftarrow L_4-L_1$ (qui ne changent pas la valeur du déterminant) :

$$\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&-2&0&0\\0&2&0&2\\0&-2&0&-2\end{pmatrix}$$

En développant selon la première colonne, il ne reste que le terme en $L_1$ multiplié par le mineur $3\times3$ formé des colonnes 2,3,4 des lignes 2 à 4 : $$\begin{vmatrix}-2&0&0\\2&0&2\\-2&0&-2\end{vmatrix}$$ La deuxième colonne de ce mineur est entièrement nulle, donc ce déterminant vaut 0. Conclusion : $\det(M)=0$.

Exercice 2 :

1. Calculs : $$I_3-A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&3&-1\\1&-1&1\end{pmatrix} \qquad A+2I_3=\begin{pmatrix}3&0&1\\0&0&1\\-1&1&2\end{pmatrix}$$

$$(I_3-A)(A+2I_3)=\begin{pmatrix}1&-1&-2\\1&-1&1\\2&1&2\end{pmatrix}$$

$$AB=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&3&4\\0&0&1\end{pmatrix}$$

2. Le déterminant de A (calculé par la règle de Sarrus) vaut : $$\det(A)=1\times[(-2)(0)-(1)(1)]-0+1\times[(0)(1)-(-2)(-1)]=(-1)+(-2)=-3\neq0$$ Donc A est inversible.

Par la méthode des cofacteurs (voir question 5) : $$A^{-1}=\begin{pmatrix}1/3&-1/3&-2/3\\1/3&-1/3&1/3\\2/3&1/3&2/3\end{pmatrix}$$

3. Le polynôme caractéristique de A est $\chi_A(x)=x^3-\mathrm{tr}(A)x^2+\sigma_2(A)x-\det(A)$ avec $\mathrm{tr}(A)=1-2+0=-1$, $\sigma_2(A)=M_{11}+M_{22}+M_{33}=(-1)+1+(-2)=-2$, $\det(A)=-3$ : $$\chi_A(x)=x^3+x^2-2x+3$$ D'après le théorème de Cayley-Hamilton, A vérifie son polynôme caractéristique : $$A^3+A^2-2A+3I_3=0_3$$

4. De cette relation, on tire : $A(A^2+A-2I_3)=-3I_3$, soit $$A\times\left[-\frac{1}{3}(A^2+A-2I_3)\right]=I_3 \Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{3}(2I_3-A-A^2)$$ En calculant $A^2=\begin{pmatrix}0&1&1\\-1&5&-2\\-1&-2&0\end{pmatrix}$, on retrouve bien : $$A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-1&-2\\1&-1&1\\2&1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1/3&-1/3&-2/3\\1/3&-1/3&1/3\\2/3&1/3&2/3\end{pmatrix}$$ (ce qui confirme le résultat de la question 2).

5. Méthode des cofacteurs : on calcule la comatrice de A puis $A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\,^t\mathrm{Com}(A)$. Les cofacteurs sont : $A_{11}=-1,\ A_{12}=-1,\ A_{13}=-2,\ A_{21}=1,\ A_{22}=1,\ A_{23}=-1,\ A_{31}=2,\ A_{32}=-1,\ A_{33}=-2$. La transposée de la comatrice divisée par $\det(A)=-3$ redonne exactement la matrice trouvée ci-dessus.

Exercice 3 : Notons $a=1-m$. Le système s'écrit : $$x-y=-a,\qquad x+ay-z=0,\qquad ax+y+z=0$$ En additionnant les deux dernières équations : $(1+a)(x+y)=0$.

• Si $a\neq-1$ (c'est-à-dire $m\neq2$) : alors $x+y=0$, soit $y=-x$. En reportant dans la première équation : $2x=-a$, donc $$x=\frac{m-1}{2},\qquad y=\frac{1-m}{2},\qquad z=x+ay=\frac{m(m-1)}{2}$$ (solution unique, vérifiée dans la 3ᵉ équation).

• Si $a=-1$ (c'est-à-dire $m=2$) : le système devient $x-y=1$, $x-y-z=0$, $-x+y+z=0$ (2 équations indépendantes). On a $z=x-y=1$ et $y$ libre : une infinité de solutions $(y+1,\,y,\,1)$, $y\in\mathbb{R}$.

Partie 2 — Statistiques

Q1. Soit N l'effectif total. Élèves à mauvaise vue $=0,4N$ ; parmi eux, ceux qui portent des lunettes $=0,7\times0,4N=0,28N=21$ $$N=\frac{21}{0,28}=75\text{ élèves}$$

Q2. Soit p la proportion d'hommes : $35p+50(1-p)=40 \Rightarrow -15p=-10 \Rightarrow p=\dfrac{2}{3}\approx66,7\%$ d'hommes (et 33,3% de femmes).

Q3. $H_0$ : il y a indépendance entre le sexe et la variable étudiée (parité). $H_1$ : il existe un lien entre les deux variables. Comme $\chi^2_{calculé}=0,45 < \chi^2_{critique}=3,84$, on ne rejette pas $H_0$ : au seuil de 5%, on conclut à l'indépendance entre le sexe et la parité (l'écart observé n'est pas statistiquement significatif).

Q4. Chemin A : $Z=\dfrac{30-27}{5}=0,6 \Rightarrow P(T_A\le30)=\Phi(0,6)=0,7257$ (72,57%). Chemin B : $Z=\dfrac{30-30}{2}=0 \Rightarrow P(T_B\le30)=\Phi(0)=0,5$ (50%). Conclusion : malgré une durée moyenne plus longue, le chemin A offre une probabilité bien plus élevée d'arriver à temps (72,6% contre 50%) : l'ouvrier doit choisir le chemin A.

Q5. La rentabilité (variable à expliquer, quantitative) dépend de deux variables explicatives quantitatives (durée de placement, variance/risque) : il faut mettre en œuvre une régression linéaire multiple, complétée par les tests de significativité des coefficients et le coefficient de détermination $R^2$.

Partie 3 — Le vieillissement de la population et la prévoyance au Maroc (plan indicatif)

Introduction : transition démographique marocaine (baisse de la fécondité, allongement de l'espérance de vie) → augmentation du ratio de dépendance des personnes âgées ; enjeu de soutenabilité des régimes de retraite (CNSS, CMR, RCAR).

I. Un système de prévoyance actuellement fragilisé face au vieillissement

• Régimes par répartition menacés par la baisse du ratio actifs cotisants/retraités.
• Faible taux de couverture sociale (secteur informel important).
• Déséquilibres actuariels des caisses de retraite marocaines (CMR notamment).

II. Les leviers d'adaptation de la prévoyance

• Réforme paramétrique des régimes de retraite (âge de départ, taux de cotisation, mode de calcul des pensions).
• Généralisation de la couverture sociale (chantier de la protection sociale généralisée engagé au Maroc depuis 2021).
• Développement de la capitalisation individuelle et de l'épargne retraite complémentaire (produits d'assurance-vie, plans d'épargne retraite).
• Développement des services de dépendance et de prise en charge médico-sociale des personnes âgées (silver economy).

Conclusion : la prévoyance marocaine doit conjuguer réformes structurelles des régimes de retraite, élargissement de l'assiette des cotisants et diversification des mécanismes de financement (répartition + capitalisation) pour absorber le choc du vieillissement démographique à moyen et long terme.