Actuariat & Finance

Département des Sciences Économiques — Université Mohammed V-Agdal

Le test écrit d'admission au Master « Actuariat & Finance » — Mercredi 01 Octobre 2014 à 08h30 — Durée : 3 h — Chaque partie est traitée dans une feuille d'examen appropriée

Partie I : Épreuve d'analyse mathématique et mathématiques financières

Exercice 1 : Pour un capital donné, vous avez le choix entre trois placements sur 2 ans, sans risque. Hiérarchisez-les.

1. Avec intérêts composés, capitalisation annuelle et taux annuel de 6%.
2. Avec intérêts simples et taux annuel de 6,2%.
3. Avec intérêts composés, capitalisation mensuelle et taux mensuel de 0,49%.

Exercice 2 : Une société X remet à l'escompte le 10 Janvier trois effets de commerce de valeurs nominales 45 000 dhs, 26 000 dhs et 12 000 dhs et d'échéances respectives 20 Mars, 15 Février et 30 Janvier. Le taux était 12%.

1. Calculer pour chaque effet l'escompte et la valeur actuelle.
2. Déterminer l'échéance moyenne des trois effets.

Exercice 3 : Pour combien de mois faut-il verser 100 dhs pour avoir une valeur acquise de 2000 dhs sachant que le taux de capitalisation est de 1%.

Exercice 4 : Soient les deux matrices réelles suivantes : A = [[1,0,1],[2,1,-1],[0,1,0]] et B = [[2,-1,-2],[3,4,-3],[0,1,2]].

1. Construire deux matrices carrées symétriques à partir de la matrice A ;
2. Calculer la partie symétrique et la partie antisymétrique de la matrice B ;
3. Déterminer l'inverse de la matrice B.

Partie II : Épreuve de statistique et de probabilité

1. La population d'un pays est passée de 14,85 millions d'habitants en 2002 à 19,9 millions d'habitants en 2012. Quel est le taux d'accroissement annuel moyen de cette population entre 2002 et 2012 ?

2. Dans un sondage, 50% des personnes interrogées ne sont pas encore fixées sur leur choix aux élections présidentielles, 24% optent pour le candidat A, 21% pour le candidat B, les autres se partagent sur les autres candidats. Combien le candidat A obtiendra-t-il de voix (en pourcentage) si 30% des personnes non encore fixées votent pour lui ?

3. La sortie d'une régression multiple du type Y = a0 + a1 X1 + a2 X2 donne les résultats suivants : R² = 0,81 ; (Pr>F) = 0,049 ; (Pr>|t|) = 0,050 pour a0 ; (Pr>|t|) = 0,005 pour a1 ; (Pr>|t|) = 0,19 pour a2. Interpréter ces résultats.

4. Vous voulez savoir s'il existe un lien entre les motivations d'achat des consommateurs et leur statut matrimonial. Quelle méthode statistique préconisez-vous ?

Partie III : Traiter le sujet suivant

Quel est le rôle de la Bourse des valeurs mobilières dans une économie nationale ?

Corrigé avec calculs détaillés.

Partie I — Analyse mathématique et mathématiques financières

Exercice 1 — Comparaison de 3 placements sur 2 ans :

1. Composé, capitalisation annuelle, 6%/an : (1,06)²=1,1236 → rendement 2 ans = 12,36%.
2. Simple, 6,2%/an : 1+2×0,062=1,124 → 12,40%.
3. Composé, capitalisation mensuelle, 0,49%/mois (24 mois) : (1,0049)²⁴≈1,1244 → 12,44%. Classement (du meilleur au moins bon) : placement 3 > placement 2 > placement 1.

Exercice 2 — Escompte de 3 effets remis le 10 janvier, taux 12% :

• Effet 1 (45 000 Dh, échéance 20 mars) : 69 jours. Escompte=45000×0,12×69/360≈1 035 Dh ; valeur actuelle≈43 965 Dh.
• Effet 2 (26 000 Dh, échéance 15 février) : 36 jours. Escompte=26000×0,12×36/360=312 Dh ; valeur actuelle=25 688 Dh.
• Effet 3 (12 000 Dh, échéance 30 janvier) : 20 jours. Escompte=12000×0,12×20/360=80 Dh ; valeur actuelle=11 920 Dh.
• Échéance moyenne (pondérée par les montants) : (45000×69+26000×36+12000×20)/83000 ≈ 51,6 jours après le 10 janvier, soit autour du 3 mars.

Exercice 3 : Versements mensuels de 100 Dh, taux de capitalisation 1%/mois, valeur acquise visée 2000 Dh : 100×[(1,01)ⁿ-1]/0,01=2000 → (1,01)ⁿ=1,2 → n=ln(1,2)/ln(1,01)≈18,3, soit 19 mois (arrondi au mois supérieur).

Exercice 4 : A=[[1,0,1],[2,1,-1],[0,1,0]], B=[[2,-1,-2],[3,4,-3],[0,1,2]].

1. Deux matrices symétriques à partir de A : (A+Aᵗ)/2 = [[1, 1, 0.5],[1, 1, 0],[0.5, 0, 0]], et AᵗA = [[5,2,-1],[2,2,-1],[-1,-1,2]] (les deux sont symétriques par construction).
2. Partie symétrique de B = (B+Bᵗ)/2 = [[2,1,-1],[1,4,-1],[-1,-1,2]]. Partie antisymétrique de B = (B-Bᵗ)/2 = [[0,-2,-1],[2,0,-2],[1,2,0]].
3. det(B)=22. B⁻¹ = (1/22)×[[11,0,11],[-6,4,0],[3,-2,11]], soit B⁻¹≈[[0,5 ; 0 ; 0,5],[-0,273 ; 0,182 ; 0],[0,136 ; -0,091 ; 0,5]].

Partie II — Statistique et probabilité

1. Population 14,85M (2002) → 19,9M (2012) : taux d'accroissement annuel moyen = (19,9/14,85)^(1/10)-1 ≈ 2,97%/an.
2. 50% indécis, 24% pour A. Si 30% des indécis votent pour A : 24%+0,30×50%=24%+15%=39% pour le candidat A.
3. R²=0,81 (bon ajustement), Pr>F=0,049 (modèle globalement significatif au seuil 5%), a1 significatif (p=0,005), a2 non significatif (p=0,19 > 0,05) — a2 pourrait être retiré du modèle ; a0 à la limite de significativité (p=0,050).
4. Lien entre motivations d'achat (qualitative) et statut matrimonial (qualitative) : préconiser un test du Khi-deux d'indépendance sur tableau de contingence.

Partie III — Rôle de la Bourse des valeurs mobilières

Plan indicatif : financement de l'économie (mobilisation de l'épargne vers l'investissement productif), valorisation et liquidité des entreprises cotées, diversification des sources de financement (alternative au crédit bancaire), indicateur avancé de la conjoncture économique, vecteur de bonne gouvernance (transparence, discipline de marché) pour les entreprises cotées.