Échantillonnage et Estimation

FORMULAIRE FINAL — ÉCHANTILLONNAGE ET ESTIMATION

Distributions d'échantillonnage

$$E(\bar{X}) = \mu \qquad \sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \qquad \text{sans remise : } \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{N - n}{N - 1}} \qquad E(F) = p \qquad \sigma(F) = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}$$

$$\frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t_{n-1} \qquad \frac{(n - 1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1} \qquad \frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \sim F(n_1 - 1 ; n_2 - 1)$$

Estimation ponctuelle

$$s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum (x_i - \bar{x})^2 \qquad B(T) = E(T) - \theta \qquad EQM(T) = V(T) + B(T)^2$$

Intervalles de confiance

Paramètre	Intervalle
Moyenne, grand échantillon	$\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\, s / \sqrt{n}$
Moyenne, petit échantillon normal	$\bar{x} \pm t_{n-1 ;\, \alpha/2}\, s / \sqrt{n}$
Proportion	$f \pm z_{\alpha/2} \sqrt{f(1 - f)/n}$
Variance (population normale)	$\left[(n - 1)s^2 / \chi^2_{\alpha/2} \;;\; (n - 1)s^2 / \chi^2_{1 - \alpha/2}\right]$
Taille d'échantillon	$n = (z\sigma / E)^2$ ou $n = z^2 p(1 - p) / E^2$

Statistiques de test

$$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \qquad T = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} \qquad Z = \frac{f - p_0}{\sqrt{p_0(1 - p_0)/n}} \qquad \chi^2 = \frac{(n - 1)s^2}{\sigma_0^2} \qquad F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \qquad \chi^2 = \sum \frac{(O - T)^2}{T}$$

Extrait des tables

Toutes les valeurs ci-dessous laissent la probabilité indiquée à leur droite.

Student : ddl	0,10	0,05	0,025	0,005
5	1,476	2,015	2,571	4,032
9	1,383	1,833	2,262	3,250
10	1,372	1,812	2,228	3,169
15	1,341	1,753	2,131	2,947
20	1,325	1,725	2,086	2,845
30	1,310	1,697	2,042	2,750
Loi normale	1,282	1,645	1,960	2,576

Khi-deux : ddl	0,975	0,95	0,05	0,025
4	0,484	0,711	9,488	11,143
9	2,700	3,325	16,919	19,023
15	6,262	7,261	24,996	27,488
19	8,907	10,117	30,144	32,852
24	12,401	13,848	36,415	39,364
29	16,047	17,708	42,557	45,722

CONSEILS POUR L'EXAMEN

1. Repérez le sens de la question : si la population est connue, c'est de l'échantillonnage (chapitre 3) ; si l'échantillon est connu, c'est de l'estimation ou un test.
2. Écrivez les données avec leurs symboles avant de calculer : $n$, $\bar{x}$, $s$ ou $\sigma$, $f$. Ne confondez pas la variance et l'écart-type donnés dans l'énoncé.
3. Justifiez le choix de la loi en citant la condition vérifiée : $n \ge 30$, population normale, $nf \ge 5$. Ces lignes rapportent souvent des points.
4. Soignez la lecture des tables : seuil unilatéral ou bilatéral, nombre de ddl, probabilité à droite ou à gauche.
5. Montrez l'erreur type comme un calcul à part : une faute à ce niveau se repère facilement, et le correcteur peut vous suivre.
6. Tests : hypothèses sur les paramètres, sens du test fixé par la question, conclusion rédigée dans les termes du problème.
7. Terminez par une phrase : un intervalle ou une décision sans interprétation reste incomplet.

Aux concours de master (finance, audit, actuariat, économétrie, marketing), les exercices portent surtout sur la loi d'une moyenne, les estimateurs sans biais, les intervalles de confiance, la taille d'échantillon et les tests sur une moyenne ou une proportion. Les lois de base sont dans le cours de Probabilités (S3) et les bases descriptives dans le cours de Statistique descriptive (S2).