Les distributions d'échantillonnage

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• distinguer un paramètre fixe d'une statistique qui varie d'un échantillon à l'autre ;
• donner l'espérance, l'écart-type et la loi de la moyenne $\bar{X}$ ;
• appliquer le facteur d'exhaustivité à un tirage sans remise ;
• donner la loi de la fréquence $F$ et celle de la variance corrigée ;
• étudier la différence de deux moyennes ou de deux fréquences ;
• calculer la probabilité qu'un échantillon donne un résultat éloigné de la population.

3.1 L'idée centrale : une statistique est une variable aléatoire

Imaginez que l'on tire 36 employés et que l'on calcule leur salaire moyen, puis que l'on recommence avec 36 autres, et ainsi de suite. On obtiendrait une moyenne différente à chaque tirage. L'ensemble de ces moyennes possibles forme une distribution : c'est la distribution d'échantillonnage.

Définition — Statistique : toute grandeur calculée à partir de l'échantillon, comme $\bar{X}$, $F$ ou $S^2$. Avant le tirage, c'est une variable aléatoire, notée en majuscule. Après le tirage, c'est un nombre, noté en minuscule.

	Population (inconnu, fixe)	Échantillon (calculé, variable)
Taille	$N$	$n$
Moyenne	$\mu$	$\bar{x}$
Écart-type	$\sigma$	$s$
Proportion	$p$	$f$

Ce chapitre répond à une question : si l'on connaît la population, que peut-on attendre de l'échantillon ? Il va de la population vers l'échantillon. Les chapitres 4 et 5 suivront le chemin inverse. On suppose ici un sondage aléatoire simple, tel que défini au chapitre 2.

3.2 La distribution d'échantillonnage de la moyenne

La moyenne de l'échantillon vise juste en moyenne, et elle varie d'autant moins que l'échantillon est grand :

$$\boxed{E(\bar{X}) = \mu \qquad \sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$$

L'écart-type $\sigma / \sqrt{n}$ s'appelle l'erreur type. Pour le diviser par 2, il faut quadrupler $n$ : la précision coûte cher.

Quelle est la loi de $\bar{X}$ ? Deux cas conduisent à une loi normale :

Situation	Loi de $\bar{X}$
Population normale, $n$ quelconque	Exactement $\mathcal{N}(\mu ; \sigma / \sqrt{n})$
Population de loi quelconque, $n \ge 30$	Approximativement $\mathcal{N}(\mu ; \sigma / \sqrt{n})$, par le théorème central limite

Exemple : un torréfacteur de Meknès remplit des paquets de 250 g, avec $\sigma = 6$ g. Un contrôleur pèse 36 paquets. L'erreur type vaut $6 / 6 = 1$ g, et $\bar{X}$ suit approximativement $\mathcal{N}(250 ; 1)$. La probabilité d'obtenir une moyenne inférieure à 248 g est $P(Z < -2) \approx 0{,}0228$. Un seul paquet à 248 g n'a rien d'étonnant ; une moyenne de 248 g sur 36 paquets, si.

Lorsque $\sigma$ est inconnu et remplacé par $S$, la variable centrée réduite ne suit plus une loi normale :

$$T = \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \text{ suit une loi de Student à } n - 1 \text{ ddl si la population est normale}$$

3.3 Le facteur d'exhaustivité

Dans un tirage sans remise au sein d'une petite population, chaque unité tirée apporte une information nouvelle, et la variabilité diminue. On multiplie alors l'erreur type par le facteur d'exhaustivité :

$$\sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \times \sqrt{\frac{N - n}{N - 1}}$$

Il est négligeable lorsque $n / N < 10\,\%$. Exemple : pour $N = 500$, $n = 100$ et $\sigma = 20$, on a $\sqrt{400 / 499} \approx 0{,}8953$, et l'erreur type passe de 2 à 1,79.

Si l'on interrogeait toute la population ($n = N$), le facteur vaudrait 0 : il n'y aurait plus d'erreur d'échantillonnage. La formule traduit bien cette évidence.

3.4 La distribution d'échantillonnage d'une fréquence

Soit $p$ la proportion d'unités qui possèdent un caractère. La fréquence $F$ est une moyenne de variables valant 0 ou 1. Les résultats précédents s'appliquent :

$$\boxed{E(F) = p \qquad \sigma(F) = \sqrt{\frac{p\,(1 - p)}{n}}}$$

Si $np \ge 5$ et $n(1 - p) \ge 5$, alors $F$ suit approximativement $\mathcal{N}\left(p ; \sqrt{p(1 - p)/n}\right)$.

Exemple : 30 % des clients d'une banque détiennent une carte premium. Sur 400 clients tirés au hasard, l'erreur type vaut $\sqrt{0{,}21 / 400} \approx 0{,}0229$. La probabilité d'observer plus de 35 % est $P(Z > 0{,}05 / 0{,}0229) = P(Z > 2{,}18) \approx 0{,}0146$.

3.5 La distribution d'échantillonnage de la variance

La variance corrigée $S^2 = \frac{1}{n - 1} \sum (X_i - \bar{X})^2$ suit, pour une population normale, une loi liée au khi-deux :

$$\boxed{\frac{(n - 1)\,S^2}{\sigma^2} \text{ suit un } \chi^2 \text{ à } n - 1 \text{ ddl}}$$

On perd un degré de liberté, car les $n$ écarts à $\bar{X}$ ont une somme nulle : le dernier est déterminé par les autres.

Exemple : pour $n = 16$ et $\sigma^2 = 25$, quelle valeur de $S^2$ n'est dépassée que dans 5 % des échantillons ? On lit $\chi^2_{15 ;\, 0{,}05} = 24{,}996$, donc $S^2 = 24{,}996 \times 25 / 15 \approx 41{,}66$.

Contrairement à la moyenne, ce résultat est sensible à la normalité de la population : le théorème central limite ne le protège pas.

3.6 Comparer deux échantillons indépendants

On compare souvent deux populations : salaires de deux régions, taux de défaut de deux agences. La différence de deux variables indépendantes a pour espérance la différence des espérances, et pour variance la somme des variances :

$$\bar{X}_1 - \bar{X}_2 \approx \mathcal{N}\left(\mu_1 - \mu_2 \,;\, \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right) \qquad F_1 - F_2 \approx \mathcal{N}\left(p_1 - p_2 \,;\, \sqrt{\frac{p_1 q_1}{n_1} + \frac{p_2 q_2}{n_2}}\right)$$

avec $q = 1 - p$. Pour deux populations normales, le rapport des variances suit une loi de Fisher :

$$\frac{S_1^2 / \sigma_1^2}{S_2^2 / \sigma_2^2} \text{ suit } F(n_1 - 1 ;\, n_2 - 1)$$

Exemple : une enseigne a deux magasins de paniers moyens $\mu_1 = 505$ DH et $\mu_2 = 500$ DH, avec $\sigma_1 = 12$, $\sigma_2 = 15$. On tire $n_1 = 64$ et $n_2 = 100$ tickets. L'écart-type de la différence vaut $\sqrt{144/64 + 225/100} = \sqrt{4{,}5} \approx 2{,}12$. La probabilité que l'échantillon inverse le classement est $P(\bar{X}_1 - \bar{X}_2 < 0) = P(Z < -5 / 2{,}12) = P(Z < -2{,}36) \approx 0{,}0092$.

3.7 Méthode : calculer une probabilité sur un échantillon

1. Identifier la statistique en jeu : $\bar{X}$, $F$, $S^2$ ou une différence.
2. Vérifier les conditions : $n \ge 30$ ou population normale ; $np \ge 5$ et $n(1 - p) \ge 5$.
3. Calculer l'erreur type, avec le facteur d'exhaustivité si $n / N \ge 10\,\%$.
4. Centrer et réduire la statistique.
5. Lire la table et conclure en une phrase, dans les termes de l'énoncé.

Les pièges à éviter

• Diviser par $\sigma$ au lieu de $\sigma / \sqrt{n}$ en centrant une moyenne d'échantillon.
• Écrire que l'écart-type de $\bar{X}$ est $\sigma / n$ : c'est la variance qui est divisée par $n$.
• Soustraire les variances d'une différence : elles s'additionnent toujours.
• Oublier le facteur d'exhaustivité pour $n / N \ge 10\,\%$.
• Appliquer le théorème central limite à la variance corrigée.