Les lois de probabilité utiles à l'inférence

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• expliquer ce que fait l'inférence statistique et pourquoi elle a besoin de lois de probabilité ;
• calculer rapidement avec les lois binomiale, de Poisson et normale ;
• définir les lois du khi-deux, de Student et de Fisher à partir de la loi normale ;
• lire une valeur critique dans chaque table sans vous tromper de colonne ;
• choisir la loi qui convient à la situation posée.

1.1 De l'échantillon à la population : l'inférence

La statistique descriptive résume les données que l'on a sous les yeux. L'inférence statistique va plus loin : à partir d'une partie observée, elle tire une conclusion sur l'ensemble. Une telle conclusion n'est jamais certaine, puisqu'un autre échantillon aurait donné d'autres chiffres. Toute la discipline consiste à mesurer cette incertitude, et c'est pour cela qu'elle a besoin des lois de probabilité.

Définition — Inférence statistique : ensemble des méthodes qui permettent d'énoncer, avec un risque d'erreur chiffré, une conclusion sur une population à partir d'un échantillon.

Le raisonnement fait intervenir deux niveaux. Au niveau de la population, une loi inconnue dépend de paramètres fixes. Au niveau de l'échantillon, chaque observation est le résultat d'un tirage, donc la réalisation d'une variable aléatoire. On note $X_1, \dots, X_n$ ces variables et $x_1, \dots, x_n$ les valeurs observées. Ce chapitre rassemble les lois dont on se servira ensuite. Leur construction détaillée figure dans le cours de Probabilités (S3) ; ici, on les prend comme des outils.

1.2 Les lois qui décrivent la population

Loi	Quand l'utiliser	$P(X = k)$	$E(X)$	$V(X)$
Binomiale $\mathcal{B}(n, p)$	$n$ épreuves indépendantes à deux issues	$C_n^k\,p^k (1 - p)^{n - k}$	$np$	$np(1 - p)$
Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$	Événements rares par unité de temps ou d'espace	$e^{-\lambda}\lambda^k / k!$	$\lambda$	$\lambda$
Normale $\mathcal{N}(\mu ; \sigma)$	Grandeur continue, ou somme de nombreux petits effets	densité en cloche	$\mu$	$\sigma^2$

Exemple (binomiale) : dans une agence de crédit à Tanger, 5 % des dossiers présentent un retard. On tire 20 dossiers. La probabilité de n'en trouver aucun vaut $0{,}95^{20} \approx 0{,}3585$. La probabilité d'en trouver au plus un vaut $0{,}3585 + 20 \times 0{,}05 \times 0{,}95^{19} \approx 0{,}7358$.

Exemple (Poisson) : un service client de Fès reçoit en moyenne 3 réclamations graves par semaine. $P(X = 0) = e^{-3} \approx 0{,}0498$ et $P(X \le 2) = e^{-3}(1 + 3 + 4{,}5) \approx 0{,}4232$.

Exemple (normale) : le salaire $X$ des employés d'une entreprise suit $\mathcal{N}(8\,000 ; 1\,500)$. On centre et on réduit avec $Z = (X - \mu)/\sigma$, qui suit $\mathcal{N}(0 ; 1)$ :

$$P(X < 6\,500) = P(Z < -1) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}1587$$

Le travail peut aussi se faire dans l'autre sens : le salaire dépassé par 5 % des employés seulement vaut $8\,000 + 1{,}645 \times 1\,500 = 10\,467{,}5$ DH.

1.3 La notation des valeurs critiques

Dans tout ce cours, une valeur critique porte en indice la probabilité laissée à sa droite. Ainsi $z_{0{,}025} = 1{,}96$ signifie $P(Z > 1{,}96) = 0{,}025$. Comme la loi normale est symétrique, $P(-1{,}96 < Z < 1{,}96) = 0{,}95$.

$\alpha$ (à droite)	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005
$z_\alpha$	1,282	1,645	1,96	2,326	2,576

Certaines tables donnent au contraire la probabilité à gauche : $t_{0{,}975}$ d'une telle table est le $t_{0{,}025}$ de ce cours. Regardez toujours le petit dessin ou la phrase en tête de table avant de lire.

1.4 Les lois dérivées de la loi normale

Trois lois reviennent sans cesse dans l'inférence. Elles sont toutes construites à partir de variables normales centrées réduites indépendantes, et elles dépendent d'un nombre de degrés de liberté (ddl), noté $\nu$.

Définition — Loi du khi-deux : si $Z_1, \dots, Z_\nu$ sont indépendantes et suivent $\mathcal{N}(0 ; 1)$, alors $\chi^2 = Z_1^2 + \dots + Z_\nu^2$ suit une loi du khi-deux à $\nu$ ddl. Son espérance vaut $\nu$ et sa variance $2\nu$.

Cette loi ne prend que des valeurs positives et n'est pas symétrique. Elle sert pour tout ce qui ressemble à une somme de carrés : une variance, ou une somme d'écarts entre effectifs observés et théoriques.

Définition — Loi de Student : si $Z$ suit $\mathcal{N}(0 ; 1)$ et $Q$ suit un khi-deux à $\nu$ ddl, indépendants, alors $T = Z / \sqrt{Q / \nu}$ suit une loi de Student à $\nu$ ddl.

Elle a la même forme en cloche que la loi normale, centrée sur 0, mais avec des queues plus épaisses. Elle apparaît lorsqu'on remplace l'écart-type inconnu de la population par son estimation : on ajoute une incertitude, et les valeurs extrêmes deviennent plus probables. Quand $\nu$ dépasse 30, elle se confond presque avec la loi normale ($t_{30 ;\, 0{,}025} = 2{,}042$ contre $1{,}96$).

Définition — Loi de Fisher : si $Q_1$ et $Q_2$ sont des khi-deux indépendants à $\nu_1$ et $\nu_2$ ddl, alors $F = \dfrac{Q_1 / \nu_1}{Q_2 / \nu_2}$ suit une loi de Fisher à $(\nu_1, \nu_2)$ ddl.

C'est la loi d'un rapport de deux variances. Elle sert à comparer deux dispersions, et elle revient en économétrie pour tester un modèle dans son ensemble. L'ordre des ddl compte : on a la relation

$$F_{\nu_1, \nu_2 ;\, 1 - \alpha} = \frac{1}{F_{\nu_2, \nu_1 ;\, \alpha}}$$

Elle permet d'obtenir les petites valeurs que les tables ne donnent pas. Par exemple, $F_{5, 10 ;\, 0{,}95} = 1 / F_{10, 5 ;\, 0{,}05} = 1 / 4{,}74 \approx 0{,}211$.

1.5 Lire les tables

Valeur cherchée	Lecture	Résultat
$t_{9 ;\, 0{,}025}$	ligne 9 ddl, colonne 0,025	2,262
$t_{24 ;\, 0{,}025}$	ligne 24 ddl, colonne 0,025	2,064
$\chi^2_{9 ;\, 0{,}025}$	ligne 9 ddl, colonne 0,025	19,023
$\chi^2_{9 ;\, 0{,}975}$	ligne 9 ddl, colonne 0,975	2,700
$F_{5, 10 ;\, 0{,}05}$	colonne 5, ligne 10	3,33

Le khi-deux n'étant pas symétrique, il faut lire deux valeurs pour encadrer 95 % de la loi : 2,700 et 19,023 pour 9 ddl. Ce n'est pas le cas pour Student, où $-t$ et $+t$ suffisent.

1.6 Méthode : choisir la bonne loi

1. Repérer la nature de la grandeur : un comptage (binomiale, Poisson) ou une mesure continue (normale).
2. Repérer ce que l'on étudie : une moyenne ou une proportion (normale ou Student), une variance (khi-deux), un rapport de variances (Fisher).
3. Regarder si l'écart-type de la population est connu. S'il ne l'est pas et que l'échantillon est petit : Student.
4. Calculer le nombre de ddl : $n - 1$ en général pour un seul échantillon.
5. Lire la table en vérifiant le sens de la probabilité (à droite ou à gauche).

Les pièges à éviter

• Confondre $\mu$ et $\sigma^2$ dans la notation $\mathcal{N}(\mu ; \sigma)$. Ce cours donne l'écart-type en second ; d'autres ouvrages donnent la variance. Vérifiez l'énoncé.
• Lire une table de Student dans la mauvaise colonne : un seuil de 5 % bilatéral correspond à la colonne 0,025.
• Prendre le symétrique d'une valeur du khi-deux ou de Fisher : ces lois ne sont pas symétriques.
• Oublier que l'ordre des ddl compte dans la loi de Fisher.
• Utiliser la table de la loi normale pour $n = 10$ quand $\sigma$ est inconnu.