L'estimation par intervalle de confiance

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• construire et interpréter un intervalle de confiance ;
• estimer une moyenne avec la loi normale ou avec la loi de Student ;
• estimer une proportion et une variance ;
• estimer la différence de deux moyennes ou de deux proportions ;
• déterminer la taille d'échantillon nécessaire pour une précision donnée.

5.1 Du point à l'intervalle

Une estimation ponctuelle donne un seul nombre et ne dit rien de sa précision. Annoncer « le taux de chômage de la ville est de 12,4 % » n'a pas le même sens selon que l'on a interrogé 200 ou 20 000 personnes. On préfère donc annoncer une fourchette, avec le risque de se tromper.

Définition — Intervalle de confiance : intervalle aléatoire $[A ; B]$, calculé à partir de l'échantillon, tel que $P(A \le \theta \le B) = 1 - \alpha$. La valeur $1 - \alpha$ est le niveau de confiance, souvent 95 %, et $\alpha$ le risque.

La construction part de la distribution d'échantillonnage. Si $\bar{X}$ suit $\mathcal{N}(\mu ; \sigma / \sqrt{n})$, alors :

$$P\left(-z_{\alpha/2} \le \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \le z_{\alpha/2}\right) = 1 - \alpha$$

En isolant $\mu$ au milieu, on obtient l'intervalle. Sa structure revient toujours :

$$\boxed{\text{estimation} \pm \text{valeur critique} \times \text{erreur type}}$$

Comment l'interpréter ? Le paramètre est fixe : c'est l'intervalle qui varie d'un échantillon à l'autre. Sur 100 échantillons, environ 95 intervalles contiendront la vraie valeur, et environ 5 la manqueront. Une fois l'intervalle calculé, il contient ou ne contient pas le paramètre : le « 95 % » qualifie la méthode.

5.2 L'intervalle de confiance d'une moyenne

Situation	Intervalle de confiance de $\mu$
$\sigma$ connu (population normale ou $n \ge 30$)	$\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$
$\sigma$ inconnu, $n \ge 30$	$\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{s}{\sqrt{n}}$
$\sigma$ inconnu, $n < 30$, population normale	$\bar{x} \pm t_{n-1 ;\, \alpha/2}\,\dfrac{s}{\sqrt{n}}$ (loi de Student)

Valeurs usuelles de $z_{\alpha/2}$ : 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Plus le niveau de confiance est élevé, plus l'intervalle est large : on gagne en sécurité ce que l'on perd en précision. Si le tirage est sans remise et que $n / N \ge 10\,\%$, on multiplie l'erreur type par le facteur d'exhaustivité du chapitre 3.

Exemple : une enquête auprès de 400 ménages donne une dépense alimentaire mensuelle moyenne de 3 200 DH, avec $s = 800$ DH. Au niveau 95 % : $3\,200 \pm 1{,}96 \times 800 / 20 = 3\,200 \pm 78{,}4$, soit [3 121,6 ; 3 278,4] DH.

5.3 L'intervalle de confiance d'une proportion

$$\boxed{f \pm z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{f\,(1 - f)}{n}}}$$

Comme $p$ est inconnu, on le remplace par $f$ dans l'erreur type. On vérifie que $nf \ge 5$ et $n(1 - f) \ge 5$.

Exemple : 240 consommateurs sur 600 connaissent une marque ($f = 0{,}4$). Au niveau 95 % : $0{,}4 \pm 1{,}96 \times \sqrt{0{,}24 / 600} = 0{,}4 \pm 0{,}0392$, soit [36,1 % ; 43,9 %].

5.4 L'intervalle de confiance d'une variance

Pour une population normale, la loi du khi-deux vue au chapitre 3 donne :

$$\boxed{\left[\frac{(n - 1)\,s^2}{\chi^2_{n - 1 ;\, \alpha/2}} \;;\; \frac{(n - 1)\,s^2}{\chi^2_{n - 1 ;\, 1 - \alpha/2}}\right]}$$

La plus grande valeur du khi-deux donne la borne inférieure, puisqu'elle est au dénominateur. Le khi-deux n'étant pas symétrique, cet intervalle n'est pas centré sur $s^2$.

Exemple : sur 25 sachets, $s^2 = 36$ g². Pour 24 ddl, on lit $\chi^2_{0{,}025} = 39{,}364$ et $\chi^2_{0{,}975} = 12{,}401$. L'intervalle à 95 % de $\sigma^2$ va de $24 \times 36 / 39{,}364 \approx 21{,}95$ à $24 \times 36 / 12{,}401 \approx 69{,}67$. En prenant les racines, $\sigma$ est compris entre 4,68 et 8,35 g.

5.5 L'intervalle de confiance d'une différence

Pour deux grands échantillons indépendants, la structure reste la même, et les variances s'additionnent :

$$\bar{x}_1 - \bar{x}_2 \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \qquad f_1 - f_2 \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{f_1(1 - f_1)}{n_1} + \frac{f_2(1 - f_2)}{n_2}}$$

Exemple (moyennes) : à Casablanca, 100 employés d'un secteur gagnent en moyenne 6 200 DH par mois ($s_1 = 1\,500$) ; à Fès, 144 employés du même secteur gagnent 5 600 DH ($s_2 = 1\,200$). L'erreur type vaut $\sqrt{22\,500 + 10\,000} \approx 180{,}3$. L'intervalle à 95 % de la différence est $600 \pm 353{,}3$, soit [246,7 ; 953,3] DH. Il ne contient pas 0 : l'écart observé n'est pas dû au seul hasard.

Exemple (proportions) : 180 clients sur 300 achètent en ligne à Rabat ($f_1 = 0{,}6$), contre 165 sur 330 à Tanger ($f_2 = 0{,}5$). L'erreur type vaut $\sqrt{0{,}24/300 + 0{,}25/330} \approx 0{,}0395$, et l'intervalle à 95 % est $0{,}10 \pm 0{,}077$, soit [2,3 ; 17,7] points.

5.6 La taille de l'échantillon

La marge d'erreur $E$ est la demi-largeur de l'intervalle. Pour l'obtenir, on inverse la formule :

$$n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2 \quad (\text{moyenne}) \qquad n = \frac{z_{\alpha/2}^2\,p\,(1 - p)}{E^2} \quad (\text{proportion})$$

Si $p$ est inconnu, on retient $p = 0{,}5$, cas le plus défavorable : pour une marge de ± 3 points à 95 %, $n = 1{,}96^2 \times 0{,}25 / 0{,}03^2 \approx 1\,067{,}1$, soit 1 068 personnes. C'est pourquoi beaucoup de sondages portent sur environ 1 000 personnes. On arrondit toujours $n$ à l'entier supérieur. Notez que la taille de la population n'intervient pas : au-delà d'un taux de sondage faible, c'est $n$ qui compte, et non $n / N$.

Vers les tests d'hypothèses : l'intervalle de confiance permet aussi de juger une affirmation. Si un fabricant annonce un poids moyen de 250 g et que l'intervalle de confiance calculé sur un échantillon ne contient pas 250, on rejette son affirmation au risque de 5 %. Cette démarche est formalisée au chapitre 6 sur les tests d'hypothèses.

5.7 Méthode : construire un intervalle de confiance

1. Identifier le paramètre (moyenne, proportion, variance, différence) et le niveau de confiance.
2. Calculer l'estimation ponctuelle ($\bar{x}$, $f$, $s^2$) et, si besoin, l'écart-type corrigé $s$.
3. Choisir la loi : normale ($z$) si $\sigma$ connu ou $n \ge 30$, Student ($t$) pour un petit échantillon, khi-deux pour une variance.
4. Calculer l'erreur type ($\sigma / \sqrt{n}$ ou $\sqrt{f(1 - f)/n}$), puis la marge d'erreur.
5. Écrire l'intervalle et l'interpréter en une phrase.

Les pièges à éviter

• Diviser par $n$ au lieu de $\sqrt{n}$ dans l'erreur type.
• Oublier de corriger la variance de l'échantillon ($n - 1$ au dénominateur).
• Dire « le paramètre a 95 % de chances d'être dans cet intervalle » : c'est la méthode qui réussit dans 95 % des échantillons.
• Utiliser 1,96 pour un petit échantillon à écart-type inconnu : il faut la loi de Student.
• Inverser les deux valeurs du khi-deux dans l'intervalle d'une variance : la borne inférieure utilise la plus grande.
• Arrondir la taille d'échantillon à l'entier inférieur.