Chapitre 2 · Semestre 4

Les techniques d'échantillonnage

Échantillonnage et Estimation

Cours Exercices Résumé QCM

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

définir population, base de sondage, unité statistique et taux de sondage ;

expliquer pourquoi on sonde au lieu de recenser ;

décrire les méthodes aléatoires : sondage simple, systématique, stratifié, en grappes, à plusieurs degrés ;

distinguer ces méthodes de la méthode des quotas et des autres méthodes empiriques ;

répartir un échantillon entre des strates et mesurer le gain de précision ;

séparer l'erreur d'échantillonnage des autres erreurs d'une enquête.

2.1 Recenser ou sonder ?

Un recensement interroge toute la population, comme le Recensement général de la population et de l'habitat conduit par le HCP en 2024. Il donne une image complète, mais il coûte très cher et demande plusieurs mois de travail. Un sondage n'interroge qu'une partie de la population : il est moins coûteux, plus rapide et, parfois, plus fiable, car un petit nombre d'enquêteurs bien formés commet moins d'erreurs qu'une armée d'agents recrutés pour l'occasion. Dans certains cas, il est même le seul moyen possible : pour contrôler la solidité d'une pièce ou la durée de vie d'une lampe, le test détruit le produit.

Définition — Vocabulaire du sondage : la population est l'ensemble étudié, de taille $N$ ; l'unité statistique est chacun de ses éléments (un ménage, une PME, une facture) ; l'échantillon est la partie observée, de taille $n$ ; le taux de sondage est le rapport $n / N$ ; la base de sondage est la liste qui permet d'identifier et de contacter les unités.

La qualité de la base décide souvent de celle de l'enquête. Un fichier clients à jour, le registre des assurés ou les listes issues du recensement permettent un tirage propre. Une base incomplète exclut d'emblée une partie de la population : un sondage fait uniquement par internet oublie les personnes non connectées.

Un échantillon doit être représentatif, c'est-à-dire reproduire les traits de la population qui comptent pour l'étude. On ne le décrète pas : on s'en approche par la méthode de tirage. Le mot essentiel est hasard : seul un tirage aléatoire permet de calculer une marge d'erreur.

2.2 Le sondage aléatoire simple

Définition — Sondage aléatoire simple : tirage de $n$ unités de façon que chaque échantillon de taille $n$ ait la même probabilité d'être choisi. Chaque unité a alors la probabilité $n / N$ d'être retenue.

Le tirage peut se faire avec remise, une unité pouvant sortir deux fois, ou sans remise, ce qui est le cas réel des enquêtes. Les calculs des chapitres suivants supposent des observations indépendantes, ce qui est exact avec remise et presque exact sans remise si le taux de sondage reste faible, en dessous de 10 %.

En pratique, on numérote la base de 1 à $N$, puis un générateur de nombres aléatoires donne les numéros retenus. La méthode est simple et sert de référence pour toutes les autres. Elle a toutefois deux limites : elle exige une base complète, et elle peut disperser les enquêtés sur tout le territoire, donc coûter cher en déplacements.

2.3 Le sondage systématique

On calcule un pas de sondage $K = N / n$, on tire au hasard un point de départ entre 1 et $K$, puis on prend une unité toutes les $K$ positions. Pour un fichier de 5 000 clients et un échantillon de 200, le pas vaut 25 : si le départ tiré est 7, on retient les clients 7, 32, 57, 82, etc.

Le procédé est commode, car un seul tirage suffit. Le danger vient d'une périodicité cachée dans la liste. Si un fichier de ventes quotidiennes est parcouru avec un pas de 7, on observe toujours le même jour de la semaine, et les résultats sont faussés.

2.4 Le sondage stratifié

On découpe d'abord la population en groupes homogènes, les strates, puis on tire un échantillon aléatoire dans chacune d'elles. Les enquêtes du HCP auprès des ménages sont en général stratifiées, notamment par région et par milieu, urbain ou rural.

La méthode est efficace parce que la variabilité entre strates disparaît de l'erreur : seule la variabilité à l'intérieur des strates compte. Plus les strates sont homogènes, plus le gain de précision est grand.

La moyenne stratifiée pondère chaque strate par son poids $w_h = N_h / N$, et sa variance s'en déduit :

$$\bar{x}_{st} = \sum_h w_h\,\bar{x}_h \qquad V(\bar{x}_{st}) = \sum_h w_h^2\,\frac{\sigma_h^2}{n_h}$$

Reste à répartir l'échantillon entre les strates :

Répartition	Règle	Idée
Proportionnelle	$n_h = n \times N_h / N$	L'échantillon reproduit le poids de chaque strate
Optimale (Neyman)	$n_h = n \times \dfrac{N_h \sigma_h}{\sum_k N_k \sigma_k}$	On interroge plus là où la dispersion est forte

Exemple : une enseigne compte 6 000 clients fidèles ($\sigma = 2\,000$ DH), 3 000 clients réguliers ($\sigma = 1\,000$ DH) et 1 000 clients occasionnels ($\sigma = 500$ DH). Pour $n = 500$, la répartition proportionnelle donne 300, 150 et 50. La répartition optimale calcule $N_h \sigma_h$ : 12, 3 et 0,5 millions, soit 15,5 millions au total. Elle donne 387, 97 et 16 : on interroge beaucoup plus les clients fidèles, car leurs dépenses sont les plus dispersées.

2.5 Le sondage en grappes et à plusieurs degrés

Une grappe est un groupe d'unités déjà réunies : un quartier, un immeuble, une classe, une agence. On tire au hasard quelques grappes et on interroge toutes les unités de chacune. Cela réduit les déplacements et ne demande pas de liste complète des individus. En revanche, les membres d'une même grappe se ressemblent, et l'on perd de la précision par rapport à un sondage simple de même taille.

Le contraste avec la stratification est important : les strates doivent être homogènes à l'intérieur, et toutes sont représentées ; les grappes devraient être hétérogènes à l'intérieur, et seules certaines sont retenues.

Le sondage à plusieurs degrés enchaîne les tirages : des communes d'abord, puis des quartiers, puis des ménages. C'est la solution habituelle des grandes enquêtes nationales.

2.6 Les méthodes empiriques

Lorsqu'il n'y a pas de base de sondage, ou lorsque le budget est serré, on utilise des méthodes non aléatoires.

Méthode	Principe	Limite
Quotas	Reproduire la structure connue de la population (sexe, âge, région, CSP) ; l'enquêteur choisit les personnes	L'enquêteur va vers les plus accessibles
Convenance	Interroger qui est disponible : clients à la sortie du magasin	Échantillon très sélectif
Jugement	Choisir des personnes jugées typiques	Dépend de l'avis de l'expert
Boule de neige	Chaque enquêté en désigne d'autres	Réseaux proches, utile pour les populations rares

La méthode des quotas donne souvent de bons résultats et elle reste très utilisée dans les études de marché. Mais sans tirage aléatoire, la marge d'erreur annoncée n'a qu'une valeur indicative : les formules de ce cours supposent le hasard.

2.7 Les erreurs d'une enquête

Type	Origine	Se réduit par
Erreur d'échantillonnage	On n'observe qu'une partie : un autre tirage donnerait autre chose	Un $n$ plus grand, la stratification
Erreur de couverture	La base oublie une partie de la population	Une meilleure base
Non-réponse	Certaines unités refusent ou sont absentes	Relances, redressement
Erreur de mesure	Question mal posée, réponse fausse, saisie erronée	Questionnaire testé, enquêteurs formés

Seule la première est mesurée par les formules du cours. Les autres s'ajoutent, et augmenter $n$ ne les corrige pas : si les ménages les plus aisés refusent de répondre, un échantillon deux fois plus grand reste faussé de la même manière. C'est un biais de sélection.

2.8 Méthode : choisir un plan de sondage

Définir précisément la population et l'unité statistique.
Vérifier s'il existe une base de sondage fiable. Si non : grappes ou quotas.
Repérer une variable connue et liée au sujet d'étude (taille, région) pour stratifier.
Choisir la répartition : proportionnelle par défaut, optimale si les dispersions sont connues et différentes.
Calculer la taille utile (chapitre 5), puis prévoir la non-réponse : si 75 % des personnes répondent et qu'il faut 300 réponses, on en contacte $300 / 0{,}75 = 400$.

Les pièges à éviter

Croire qu'un grand échantillon compense un mauvais tirage : la taille réduit l'erreur d'échantillonnage, jamais le biais.
Inverser strates et grappes : on tire dans chaque strate, mais on tire des grappes.
Calculer la moyenne d'un échantillon stratifié sans pondérer lorsque les strates ne sont pas représentées selon leur poids.
Annoncer une marge d'erreur classique pour un sondage de convenance.
Oublier d'arrondir $n_h$ de façon que la somme donne bien $n$.

Exercice 1 — Enquête sur les dépenses des clients d'Atlas Distribution

Atlas Distribution veut estimer la dépense annuelle moyenne de ses 10 000 clients, avec un échantillon de 500 personnes. Le fichier distingue trois segments :

Segment	Effectif $N_h$	Dépense moyenne $\mu_h$ (DH)	Écart-type $\sigma_h$ (DH)
Clients fidèles	6 000	6 000	2 000
Clients réguliers	3 000	4 500	1 000
Clients occasionnels	1 000	3 000	500

Calculez le taux de sondage et la dépense moyenne $\mu$ de l'ensemble des clients.
Déterminez la répartition proportionnelle et la répartition optimale de l'échantillon.
Calculez l'écart-type de la moyenne $\bar{x}_{st}$ dans les deux cas (on négligera le facteur d'exhaustivité).
La variance totale de la population vaut $\sigma^2 = 3\,737\,500$. Calculez l'écart-type de la moyenne pour un sondage aléatoire simple de 500 clients. Concluez.
Le service envisage plutôt de tirer 10 des 50 magasins et d'interroger tous leurs clients. Comment s'appelle cette méthode ? Quel en serait l'avantage et l'inconvénient ?

Voir le corrigé

1) Taux de sondage : $500 / 10\,000 = \mathbf{5\,\%}$. Moyenne : $\mu = 0{,}6 \times 6\,000 + 0{,}3 \times 4\,500 + 0{,}1 \times 3\,000 = \mathbf{5\,250}$ DH.

Segment	Proportionnelle	$N_h \sigma_h$	Optimale
Clients fidèles	300	12 000 000	$500 \times 12 / 15{,}5 \approx$ 387
Clients réguliers	150	3 000 000	$500 \times 3 / 15{,}5 \approx$ 97
Clients occasionnels	50	500 000	$500 \times 0{,}5 / 15{,}5 \approx$ 16
Total	500	15 500 000	500

3) Répartition proportionnelle :

$$V(\bar{x}_{st}) = \frac{0{,}6^2 \times 2\,000^2}{300} + \frac{0{,}3^2 \times 1\,000^2}{150} + \frac{0{,}1^2 \times 500^2}{50} = 4\,800 + 600 + 50 = 5\,450$$

soit un écart-type de 73,8 DH. Répartition optimale : $V = \left(\sum w_h \sigma_h\right)^2 / n = 1\,550^2 / 500 = 4\,805$, soit 69,3 DH.

4) Sondage simple : $V(\bar{x}) = 3\,737\,500 / 500 = 7\,475$, soit 86,5 DH. La stratification proportionnelle réduit l'écart-type d'environ 15 % et la répartition optimale d'environ 20 %, sans une seule interview de plus. Le gain vient de ce que les segments ont des moyennes très différentes : cette variabilité entre strates sort de l'erreur.

5) C'est un sondage en grappes, le magasin étant la grappe. Avantage : la collecte est plus simple et moins chère. Inconvénient : les clients d'un même magasin se ressemblent, et un échantillon de même taille donne une estimation moins précise.

Exercice 2 — Identifier la méthode

Pour chaque situation, nommez la méthode et donnez sa principale limite.

Une marque interroge 300 personnes à la sortie d'un centre commercial de Rabat, jusqu'à obtenir 150 femmes et 150 hommes, dont 40 % de moins de 30 ans.
Un auditeur prend une facture sur 50 dans un fichier chronologique, à partir d'un numéro tiré au hasard.
Une enquête tire 30 communes, puis 20 ménages dans chacune.
Un ministère tire au hasard 200 lycées et interroge tous leurs élèves de terminale.

Voir le corrigé

1) Quotas. Le choix des personnes est laissé à l'enquêteur et le lieu est sélectif ; la marge d'erreur n'a qu'une valeur indicative.

2) Systématique, avec un pas de 50. Limite : une périodicité du fichier, comme des factures de fin de mois, fausserait l'échantillon.

3) Sondage à plusieurs degrés (deux degrés). Limite : les ménages d'une même commune se ressemblent, ce qui réduit la précision.

4) Sondage en grappes, chaque lycée étant une grappe. Limite : les élèves d'un même lycée se ressemblent.

Exercice 3 — Répartir un échantillon et prévoir la non-réponse

Une fédération professionnelle compte 2 000 petites entreprises, 1 500 moyennes et 500 grandes, avec des écarts-types de chiffre d'affaires de 1, 2 et 8 millions de DH. Elle veut 400 réponses.

Calculez la répartition proportionnelle.
Calculez la répartition optimale. Commentez.
Le taux de réponse attendu est de 80 %. Combien d'entreprises faut-il contacter ?

Voir le corrigé

1) Taux de sondage $400 / 4\,000 = 10\,\%$ : 200, 150 et 50.

2) $N_h \sigma_h$ : 2 000, 3 000 et 4 000, soit 9 000 au total. Répartition : $400 \times 2/9 \approx$ 89, $400 \times 3/9 \approx$ 133 et $400 \times 4/9 \approx$ 178. Les grandes entreprises, très dispersées, sont fortement surreprésentées : il faudra pondérer les résultats par $w_h$.

3) $400 / 0{,}8 =$ 500 entreprises.

L'essentiel — Techniques d'échantillonnage

Sonder coûte moins cher et va plus vite qu'un recensement ; c'est le seul moyen pour un contrôle destructif.
Base de sondage : liste des unités ; taux de sondage : $n / N$.
Aléatoire simple : chaque échantillon a la même probabilité ; chaque unité a la probabilité $n / N$.
Systématique : pas $K = N / n$ ; danger : une périodicité cachée dans la liste.
Stratifié : strates homogènes, tirage dans chacune ; $\bar{x}_{st} = \sum w_h \bar{x}_h$ ; la variabilité entre strates sort de l'erreur.
Répartition proportionnelle : $n_h = n N_h / N$ ; optimale de Neyman : $n_h$ proportionnel à $N_h \sigma_h$.
Grappes : on tire des groupes entiers ; moins cher, mais moins précis.
Quotas : méthode empirique qui reproduit la structure de la population, sans vraie marge d'erreur.
Erreur d'échantillonnage, réduite par $n$ ; erreurs de couverture, de non-réponse et de mesure, que $n$ ne corrige pas.

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