Économétrie, Statistique et Modélisation Appliquées (ESMA)

Université Mohammed V de Rabat — Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales — Souissi

Test d'admission au Master ESMA — Année Universitaire 2016-2017 — Durée : 2 heures — N.B. : Chaque partie doit être traitée sur une feuille séparée

Partie 1 – Mathématiques

Exercice 1 : Soit f l'application de R³ dans R³ définie par f(x,y,z) = (x, -3y+4z, -2y+3z).

1. Montrez que f est une application linéaire de R³ dans R³ ;
2. Soit (e₁; e₂; e₃) la base canonique de R³, montrez que (f(e₁); f(e₂); f(e₃)) est une base de R³, en déduire que f est bijective.
3. Calculez f∘f ; en déduire l'expression de f⁻¹.

Exercice 2 : Soit la fonction f(x,y) = 4xy - 1

1. Déterminez les points critiques de f sous la contrainte x²+y²-1=0
2. Précisez la nature de ces points critiques.

Partie 2 – Statistique

Exercice 1 : On prend un échantillon de poids, et on trouve que la variance est proche de 0. Quelle est la signification de cette valeur ?

Exercice 2 : Soit X une variable aléatoire de variance σ², pour estimer cette variance, on utilise la variance empirique de X : S² = (1/n)Σ(Xᵢ-X̄)².

1. Montrez que S² est un estimateur biaisé de σ².
2. Pour rendre cet estimateur sans biais, on définit S'² = (n/(n-1))S², montrez que S'² est un estimateur sans biais de σ².

Partie 3 – Microéconomie

Exercice 1 : En économie industrielle, qu'est-ce qu'on entend par le paradoxe de Bertrand ? Et comment le contourner ?

Exercice 2 : Supposant que la fonction de coût total d'une entreprise est C(q) = 450 + 15q + 2q². C : le coût total ; q : la quantité produite. Si le prix de marché est de P = 15 et si l'entreprise est à l'optimum :

1. Déterminez la quantité produite par l'entreprise à l'optimum.
2. Déterminez le niveau de profit sur la partie de l'entreprise.
3. La demande du marché est donnée par : Qₐ = 900 - 10P

• a. Calculez le prix à l'équilibre de long terme.
• b. Quelle est la quantité globale demandée sur le long terme ?
• c. Quel est le nombre d'entreprises sur le marché ?
• d. Quel sera le profit de chaque entreprise ?

Partie 4 – Macroéconomie

On considère une économie à trois agents (les firmes, les ménages et l'État) comportant quatre marchés (marché des produits, de la monnaie, du travail et des capitaux). On suppose que l'État finance ses dépenses par l'emprunt ou la création monétaire uniquement. Les relations suivantes définissent les comportements et les équilibres caractéristiques de cette économie où H>0 représente (favorablement) la productivité du travail, où v>0 est le niveau de circulation de la masse monétaire, et où Nₛ est le niveau de la population active.

(1) Q=y=H√N (7) G=Ḡ (2) Nᵈ=(H²/4)(W/P)⁻² (8) S=I+G (3) Nˢ=N̄ₛ (9) Mᵈ=(1/v)Py (4) Nˢ=Nᵈ=N (10) Mˢ=M̄ (5) I=-2000i+1000 (11) Mᵈ=Mˢ (6) S=8000i-400

Q est la production en volume réel, I l'investissement des entreprises en volume, S l'épargne des ménages, G les dépenses publiques, N l'emploi, W le salaire nominal, P le niveau général des prix, i le taux d'intérêt réel. Les variables exogènes sont surmontées d'une barre (Ḡ et M̄). Nˢ représente la fonction d'offre de travail (demande d'emploi), Nᵈ la fonction de demande de travail (offre d'emploi), Mᵈ la fonction de demande de monnaie, Mˢ la fonction d'offre de monnaie.

1. Étudiez l'équilibre du marché du travail, et déterminez le niveau de salaire réel, de l'emploi et de la production d'équilibre de cette économie.
2. Étudiez l'équilibre du marché de la monnaie, et déterminez le niveau général des prix de cette économie.
3. Étudiez l'équilibre du marché des biens, et déterminez le taux d'intérêt réel de cette économie.

Corrigé avec calculs détaillés.

Partie 1 — Mathématiques

Exercice 1 : f(x,y,z)=(x, -3y+4z, -2y+3z), matrice M=[[1,0,0],[0,-3,4],[0,-2,3]].

1. f est linéaire car chaque composante est une combinaison linéaire de x, y, z.
2. Les images de la base canonique f(e₁)=(1,0,0), f(e₂)=(0,-3,-2), f(e₃)=(0,4,3) forment une famille libre (déterminant de M non nul : det(M)=1×(-9+8)=-1≠0), donc une base de R³ : f est bijective.
3. Calcul de f∘f : M²=I₃ (vérification directe par produit matriciel). Donc f∘f=id, c'est-à-dire f est une involution : f⁻¹=f. Ainsi f⁻¹(x,y,z)=(x, -3y+4z, -2y+3z), soit la même expression que f.

Exercice 2 : f(x,y)=4xy-1 sous contrainte x²+y²=1. Par la méthode des multiplicateurs de Lagrange (∇f=λ∇g) : 4y=2λx et 4x=2λy, d'où y²=x², donc y=±x. Avec x²+y²=1 : x=±√2/2.

• Points (√2/2,√2/2) et (-√2/2,-√2/2) : f=4×(1/2)-1=1 (maximum).
• Points (√2/2,-√2/2) et (-√2/2,√2/2) : f=4×(-1/2)-1=-3 (minimum).

Partie 2 — Statistique

Exercice 1 : Une variance proche de 0 signifie que les valeurs de l'échantillon sont très proches les unes des autres (quasi-homogénéité, dispersion quasi nulle autour de la moyenne).

Exercice 2 : S²=(1/n)Σ(Xᵢ-X̄)² a pour espérance E(S²)=((n-1)/n)σ² ≠ σ² : c'est un estimateur biaisé (biais = -σ²/n). En posant S'²=(n/(n-1))S², on a E(S'²)=(n/(n-1))×((n-1)/n)σ²=σ² : S'² est un estimateur sans biais de σ².

Partie 3 — Microéconomie

Exercice 1 : Le paradoxe de Bertrand : en concurrence par les prix avec produits homogènes et au moins deux firmes, l'équilibre théorique conduit au prix = coût marginal (comme en concurrence pure et parfaite), ce qui est contraire à l'intuition qu'un duopole exerce un pouvoir de marché. Solutions pour le contourner : différenciation des produits, contraintes de capacité de production, jeu répété permettant la collusion tacite.

Exercice 2 : C(q)=450+15q+2q², P=15.

• Optimum : Cm(q)=dC/dq=15+4q. À l'optimum P=Cm : 15=15+4q → q*=0. Le prix de marché égale exactement le coût variable moyen minimal (CVM(0)=15) : l'entreprise est à son seuil de fermeture. Profit = P×q - C(q) = -450 (perte égale aux coûts fixes).
• Demande de marché Qd=900-10P. À l'équilibre de long terme, P=CM minimal. CM(q)=450/q+15+2q ; minimiser : dCM/dq=-450/q²+2=0 → q²=225 → q=15. CM(15)=30+15+30=75 → prix d'équilibre de long terme P=75*.
• a. P*=75.
• b. Qd=900-10×75=150.
• c. Nombre d'entreprises = Qd/q* = 150/15=10.
• d. Profit de chaque entreprise à l'équilibre de long terme = 0 (entrée/sortie libre, P=CM minimal).

Partie 4 — Macroéconomie

1. Marché du travail : Nˢ=N̄ₛ (offre fixe) = Nᵈ=(H²/4)(W/P)⁻² ⟹ (W/P)* = H/(2√N̄ₛ), et N*=N̄ₛ, avec production d'équilibre Q*=H√N̄ₛ.

2. Marché de la monnaie : Mᵈ=Mˢ ⟹ (1/v)P·y*=M̄ ⟹ P* = vM̄/(H√N̄ₛ).

3. Marché des biens : S=I+G ⟹ 8000i-400 = -2000i+1000+Ḡ ⟹ 10000i = 1400+Ḡ ⟹ i* = (1400+Ḡ)/10000 = 0,14 + Ḡ/10000.