Actuariat & Finance

Université Mohammed V — Agdal — Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales — Rabat — Département des Sciences Économiques

Le test écrit d'admission au Master « Actuariat & Finance » — Année Universitaire 2015-2016 — Mercredi 16 septembre 2015 à 14h00

Contrôle des connaissances en Mathématiques

Exercice 1 : Pour quelle valeur du réel m la matrice

A = [[1,1,1],[1,2,4],[1,3,m]]

est-elle inversible ? Calculer dans ce cas son inverse.

Exercice 2 : Résoudre le système linéaire suivant :

x + y + z = 1 x + 2y + 4z = 2 x + 3y + 6z = 3

Exercice 3 : Vous placez un capital C₀ au taux d'intérêt annuel 2% pendant dix ans. On envisage les deux situations suivantes : (a) les intérêts sont simples (b) les intérêts sont composés.

1. De combien d'années faut-il prolonger votre placement pour doubler le montant des intérêts dans chacune des deux situations ?
2. Vos réponses auraient-elles été les mêmes avec un taux d'intérêt annuel de 4% ?

Exercice 4 : Si vous placez à intérêts composés 10 000,00 Dhs au taux d'intérêt annuel 3% pendant quatre ans puis au taux annuel 4% durant les trois années suivantes.

1. Quelle est la valeur de votre placement au terme des sept années ?
2. Quel est le taux moyen du placement ?

Contrôle des connaissances en Statistiques

Exercice 1 : La population du Maroc est passée de 29,6 millions d'habitants en 2004 à 33,8 millions d'habitants en 2014. Quel est le taux d'accroissement annuel moyen de cette population entre 2004 et 2014 ?

Exercice 2 : La moyenne d'âge d'un groupe constitué d'hommes et de femmes est de 40 ans. La moyenne d'âge des hommes est de 35 ans, celle des femmes de 50 ans. Quelle est la proportion d'hommes dans ce groupe ?

Exercice 3 : Dans une école, 40% des élèves ont une mauvaise vue ; 70% des élèves ayant une mauvaise vue portent des lunettes et les 30% restant ont des lentilles de contact. On choisit de façon aléatoire un élève dans cette école.

1. Quelle est la probabilité qu'il ait une bonne vue ?
2. Quelle est la probabilité qu'il ait une mauvaise vue et porte des lentilles ?

Exercice 4 : Au cours des élections, un candidat est élu avec 52% des voix. Plusieurs mois après l'élection, un institut de sondage interroge 1600 électeurs, dont 800 déclarent qu'ils voteraient en cas d'élection, pour le même candidat. On souhaite savoir si la popularité de l'élu a baissé. Le résultat du test statistique donne la valeur de décision 1,75 pour une valeur critique de la table de 1,65 au seuil de 5%. Formuler les hypothèses du test et donner une conclusion.

Contrôle des connaissances en Économie et Finance

Expliciter les risques auxquels est exposé le système financier marocain. Et quelles sont les méthodes de gestion de tels risques financiers ?

Corrigé avec calculs détaillés.

Mathématiques

Exercice 1 : A = [[1,1,1],[1,2,4],[1,3,m]]. Développement du déterminant : det(A) = 1(2m-12) - 1(m-4) + 1(3-2) = 2m-12-m+4+1 = m-7. La matrice est donc inversible si et seulement si m ≠ 7. Dans ce cas, l'inverse s'obtient par la méthode de Gauss-Jordan ou la comatrice (calcul non détaillé ici, fonction de m).

Exercice 2 : Système : x+y+z=1 ; x+2y+4z=2 ; x+3y+6z=3. En soustrayant l'équation 1 de l'équation 2 : y+3z=1. En soustrayant l'équation 2 de l'équation 3 : y+2z=1. Par différence : z=0, donc y=1, puis x=1-y-z=0. Solution unique : (x,y,z) = (0, 1, 0).

Exercice 3 : Intérêt simple sur 10 ans à 2% : I(10)=C₀×0,02×10=0,2C₀. Comme I(n)=C₀×r×n est linéaire en n, doubler l'intérêt (I(n)=0,4C₀) exige n=20 ans, soit prolonger le placement de 10 ans, et ce quel que soit le taux r (le taux se simplifie dans le rapport n/n₀=2) — la réponse serait donc la même à 4%. Intérêt composé : I(n)=C₀[(1+r)ⁿ-1]. À 2% : (1,02)¹⁰≈1,219 ; doubler l'intérêt exige (1,02)ⁿ=2×1,219-1=1,438, soit n=ln(1,438)/ln(1,02)≈18,3 ans → prolonger d'environ 8,3 ans. À 4% : (1,04)¹⁰≈1,480 ; cible=2×1,480-1=1,960, soit n=ln(1,960)/ln(1,04)≈17,2 ans → prolonger d'environ 7,2 ans. Les réponses diffèrent selon le taux pour les intérêts composés (contrairement aux intérêts simples).

Exercice 4 : 10 000 Dh à 3% pendant 4 ans : 10 000×(1,03)⁴≈11 255,09 Dh. Puis à 4% pendant 3 ans : 11 255,09×(1,04)³≈12 660,45 Dh. Valeur acquise après 7 ans ≈ 12 660,45 Dh. Taux moyen : (1+r̄)⁷=1,266045 → r̄=1,266045^(1/7)-1≈3,43%.

Statistiques

Exercice 1 : Taux d'accroissement annuel moyen : (33,8/29,6)^(1/10)-1 ≈ 1,34%/an.

Exercice 2 : Soit p la proportion d'hommes : 35p+50(1-p)=40 → -15p=-10 → p=2/3. Proportion d'hommes ≈ 66,7% (femmes : 33,3%).

Exercice 3 : P(bonne vue)=60%. P(mauvaise vue ET lentilles)=40%×30%=12%.

Exercice 4 : Test unilatéral sur une proportion, H₀: p=0,52 (popularité inchangée) contre H₁: p<0,52 (popularité en baisse). Statistique de test z=(p̂-p₀)/√(p₀(1-p₀)/n) avec p̂=800/1600=0,5, n=1600 → z≈-1,6, cohérent avec la valeur de décision fournie dans l'énoncé (1,75 en valeur absolue) supérieure à la valeur critique 1,65 au seuil de 5%. Conclusion : on rejette H₀ — la popularité du candidat a significativement baissé.

Économie et Finance

Plan indicatif : risques du système financier marocain — risque de crédit (défaut emprunteurs), risque de liquidité, risque de marché (taux, change), risque systémique (interconnexion bancaire). Méthodes de gestion : régulation prudentielle (ratios Bâle III, supervision Bank Al-Maghrib), diversification des portefeuilles, stress tests, mécanismes de garantie des dépôts, développement du marché de la couverture des risques (produits dérivés encadrés).