Actuariat & Finance

Université Mohammed V-Agdal — Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et Sociales — Rabat — Département des Sciences Économiques

Le test écrit d'admission au Master Spécialisé « Actuariat & Finance » — Pour l'année universitaire 2016-2017 — Mercredi 21 Septembre 2016 à 14h00 — Chaque partie doit être rédigée sur une copie à part

Sujet de dissertation en économie :

La protection sociale enjeux et perspective pour le Royaume du Maroc.

Exercices en statistique :

Question 1 : La moyenne d'âge d'un groupe constitué d'hommes et de femmes est de 40 ans. La moyenne d'âge des hommes est de 35 ans, celle des femmes de 50 ans. Quelle est la proportion d'hommes dans ce groupe ?

Question 2 : Dans un établissement scolaire il y a 960 élèves. Un tiers des élèves sont en deuxième année. 60% des élèves du lycée sont des filles. 55% des élèves de deuxième année sont des filles.

1/ Compléter le tableau suivant :

2/ On interroge un élève au hasard : a) Quelle est la probabilité que cela soit un élève de première année ? b) Quelle est la probabilité que cela ne soit pas un élève de Terminale ?

Question 3 : On veut étudier l'existence d'un lien entre la parité et le sexe. Le test Khi-deux sur un échantillon donne la valeur de décision 0,45 pour une valeur critique de la table de 3,84 au seuil de 5%. Formuler les hypothèses du test et donner une conclusion.

Exercices en mathématiques et mathématiques financières :

Question 1 : Discuter, suivant le paramètre réel m, le système linéaire suivant : (3-m)x+z=1 ; 2x+(1-m)y+z=1 ; -x+y+(1-m)z=1.

Question 2 : On considère une matrice carrée A d'ordre n vérifiant A³ - Iₙ = 0ₙ. 1/ Exprimer (A+Iₙ)³ en fonction de la matrice A ; 2/ En déduire que la matrice (A+Iₙ) est inversible (on exprimera l'inverse (A+Iₙ)⁻¹ en fonction de A.)

Question 3 : Quelle sera la valeur acquise d'une série de versements de 500,00 Dh versés en fin de période pendant 8 ans au taux de 5,15 % par an ?

Corrigé avec calculs détaillés.

Sujet de dissertation en économie

Plan indicatif — Protection sociale, enjeux et perspectives pour le Maroc : (I) état des lieux — couverture fragmentée (CNSS, CMR, RAMED puis AMO généralisée), taux de couverture historiquement limité, notamment dans l'informel et le monde rural ; (II) enjeux — soutenabilité financière face au vieillissement et à l'élargissement de la couverture, équité territoriale et sociale, articulation avec la lutte contre la pauvreté ; (III) perspectives — chantier de généralisation de la protection sociale (AMO, allocations familiales, retraite, indemnité pour perte d'emploi) lancé à partir de 2020-2021, nécessitant une réforme de la gouvernance des caisses et un élargissement de l'assiette de financement.

Exercices en statistique

Q1 : Moyenne d'âge 40 ans, hommes 35, femmes 50. Soit p la proportion d'hommes : 35p+50(1-p)=40 → -15p=-10 → p=2/3 ≈ 66,7% d'hommes (33,3% de femmes).

Q2 : 960 élèves, 1/3 en 2ème année (=320), 60% de filles au total (576 filles, 384 garçons), 55% des élèves de 2ème année sont des filles (176 filles, 144 garçons en 2ème année), Garçons Terminale=140, Total 1ère année=300 (donné).

• Garçons 1ère année = 384-144-140=100 ; Filles 1ère année=300-100=200.
• Total Terminale=960-320-300=340 ; Filles Terminale=340-140=200 (cohérent : 176+200+200=576 filles ✓).

2a) P(1ère année) = 300/960 = 31,25%. 2b) P(pas Terminale) = 1 - 340/960 = 64,58%.

Q3 : Khi-deux : valeur de décision 0,45 < valeur critique 3,84 (seuil 5%) ⟹ on ne rejette pas H₀ (indépendance) : pas de lien significatif entre parité et sexe.

Exercices en mathématiques et mathématiques financières

Q1 — Discussion selon m : Déterminant du système = (3-m)(m-1)².

• Si m∉{1,3} : solution unique.
• Si m=1 : le système se réduit à 2x+z=1 et y=1+x (équations dépendantes) ⟹ infinité de solutions (x, 1+x, 1-2x), x∈R.
• Si m=3 : le système devient contradictoire (x=y d'une part, y-x=3 d'autre part) ⟹ aucune solution.

Q2 : A³=Iₙ. (A+Iₙ)³ = A³+3A²+3A+Iₙ = 3A²+3A+2Iₙ (car A et I commutent, et A³=Iₙ). Inversibilité : (A+Iₙ)(A²-A+Iₙ) = A³-A²+A+A²-A+Iₙ = A³+Iₙ = 2Iₙ. Donc (A+Iₙ)⁻¹ = (1/2)(A²-A+Iₙ).

Q3 : Valeur acquise d'une annuité de 500 Dh pendant 8 ans à 5,15% : FV=500×[(1,0515)⁸-1]/0,0515 ≈ 500×(1,4944-1)/0,0515 ≈ 4 799,6 Dh.