Les indices statistiques
Introduction
Dire que le PIB est passé de 1 150 à 1 190 milliards de DH ou que le panier d'un ménage coûte plus cher ne suffit pas : il faut comparer des grandeurs dans le temps, parfois exprimées dans des unités différentes. L'indice statistique ramène cette comparaison à une base simple : 100. C'est aussi l'outil qui permet de mesurer l'inflation et de suivre les prix d'un panier de biens.
I. L'indice élémentaire
Un indice élémentaire mesure l'évolution d'une seule grandeur (un prix, une quantité, un salaire) entre une période de base et une période courante.
$$I_{t/0} = \frac{V_t}{V_0} \times 100$$
avec $V_0$ la valeur à la date de base et $V_t$ la valeur à la date courante.
Lien avec le taux de variation :
$$t = I_{t/0} - 100$$
Exemple : un prix passe de 40 à 46 DH. $I = \frac{46}{40} \times 100 = 115$ : le prix a augmenté de 15 % entre les deux dates.
Lecture : un indice de 115 ne signifie pas « 115 % de hausse » ; un indice de 92 signifie une baisse de 8 %.
II. Les propriétés utiles
1. Enchaîner deux indices (circularité)
$$I_{2/0} = \frac{I_{2/1} \times I_{1/0}}{100}$$
Si les prix augmentent de 10 % puis de 5 % : $\frac{105 \times 110}{100} = 115{,}5$. La hausse totale est de 15,5 %, et non de 15 % : les hausses se cumulent.
2. Changer de base
Pour passer d'une base 0 à une nouvelle base $b$, on divise chaque indice par l'indice de la nouvelle année de base :
$$I_{t/b} = \frac{I_{t/0}}{I_{b/0}} \times 100$$
Exemple : l'indice vaut 120 en 2024 et 125 en 2025, en base 100 en 2017. En base 100 en 2024, l'année 2025 vaut $\frac{125}{120} \times 100 \approx 104{,}17$ : le prix a augmenté d'environ 4,17 % entre 2024 et 2025.
III. Les indices synthétiques
Un panier contient plusieurs biens qui n'ont ni le même prix ni la même importance. On ne peut pas additionner des kilos de farine et des litres de lait : on raisonne donc en valeur ($P \times Q$), en gardant fixe soit les prix, soit les quantités.
Notations : $P_0$ et $Q_0$ sont les prix et quantités de l'année de base ; $P_t$ et $Q_t$ ceux de l'année courante.
| Indice | Ce qu'il mesure | Pondération | Formule |
|---|---|---|---|
| Laspeyres-prix ($L_P$) | Évolution des prix | Quantités de l'année de base | $\frac{\sum P_t Q_0}{\sum P_0 Q_0} \times 100$ |
| Paasche-prix ($P_P$) | Évolution des prix | Quantités de l'année courante | $\frac{\sum P_t Q_t}{\sum P_0 Q_t} \times 100$ |
| Laspeyres-quantités ($L_Q$) | Évolution des quantités | Prix de l'année de base | $\frac{\sum Q_t P_0}{\sum Q_0 P_0} \times 100$ |
| Paasche-quantités ($P_Q$) | Évolution des quantités | Prix de l'année courante | $\frac{\sum Q_t P_t}{\sum Q_0 P_t} \times 100$ |
Comment retenir les formules
- Laspeyres pondère par l'année de base ; Paasche pondère par l'année courante ;
- dans un indice de prix, seuls les prix changent entre le numérateur et le dénominateur ; les quantités restent les mêmes ;
- dans un indice de quantités, seules les quantités changent ; les prix restent les mêmes.
L'indice de valeur
Il mesure l'évolution de la dépense totale, due à la fois aux prix et aux quantités :
$$V = \frac{\sum P_t Q_t}{\sum P_0 Q_0} \times 100$$
Il se décompose ainsi :
$$V = \frac{L_P \times P_Q}{100} = \frac{P_P \times L_Q}{100}$$
IV. Les indices dans l'analyse économique
1. L'indice des prix à la consommation
L'IPC, publié par le HCP, suit les prix d'un panier représentatif de la consommation des ménages. Le panier étant fixé à l'année de base, il repose sur le principe de Laspeyres. Les sujets récents le présentent en base 100 en 2017. Il sert à calculer l'inflation.
2. Passer de la valeur nominale à la valeur réelle
Pour retirer l'effet de la hausse des prix, on déflate une grandeur nominale :
$$\text{Valeur réelle} = \frac{\text{valeur nominale}}{\text{indice des prix}} \times 100$$
3. L'indice du pouvoir d'achat
$$\text{Indice du pouvoir d'achat} = \frac{\text{indice du revenu nominal}}{\text{indice des prix}} \times 100$$
V. Ce qui tombe à l'examen
Au national, ces indices apparaissent surtout de trois façons :
- un QCM demande de reconnaître la bonne formule (par exemple Laspeyres-prix entre 2022 et 2023) ;
- un QCM demande ce qu'exprime un indice (quelle grandeur évolue, quelle pondération) ;
- un document donne des indices, et il faut les lire ou en déduire un taux de variation.
Méthode de lecture : « Entre [année de base] et [année courante], [la grandeur] a augmenté (ou baissé) de …% ».
Exercice 1 — Indices élémentaires et changement de base (données fictives)
La production d'une entreprise évolue ainsi :
| Année | 2020 | 2022 | 2024 |
|---|---|---|---|
| Production (milliers d'unités) | 400 | 460 | 506 |
- Calculez les indices en base 100 en 2020 et lisez celui de 2024.
- Calculez l'indice de 2024 en base 100 en 2022, de deux façons.
Voir le corrigé
- $I_{2022/2020} = \frac{460}{400} \times 100 = 115$ ; $I_{2024/2020} = \frac{506}{400} \times 100 = 126{,}5$. Lecture : entre 2020 et 2024, la production a augmenté de 26,5 %.
- À partir des valeurs : $\frac{506}{460} \times 100 = 110$. À partir des indices : $\frac{126{,}5}{115} \times 100 = 110$. La production a augmenté de 10 % entre 2022 et 2024.
Exercice 2 — Indices synthétiques (données fictives)
Un panier contient trois biens :
| Bien | $P_0$ (2023) | $Q_0$ (2023) | $P_t$ (2024) | $Q_t$ (2024) |
|---|---|---|---|---|
| A | 10 | 100 | 12 | 90 |
| B | 20 | 50 | 22 | 60 |
| C | 5 | 200 | 5,5 | 220 |
- Calculez $\sum P_0 Q_0$, $\sum P_t Q_0$, $\sum P_0 Q_t$ et $\sum P_t Q_t$.
- Calculez les indices de Laspeyres et de Paasche, des prix et des quantités.
- Calculez l'indice de valeur et vérifiez sa décomposition.
Voir le corrigé
- Calcul des sommes :
| Bien | $P_0 Q_0$ | $P_t Q_0$ | $P_0 Q_t$ | $P_t Q_t$ |
|---|---|---|---|---|
| A | 1 000 | 1 200 | 900 | 1 080 |
| B | 1 000 | 1 100 | 1 200 | 1 320 |
| C | 1 000 | 1 100 | 1 100 | 1 210 |
| Total | 3 000 | 3 400 | 3 200 | 3 610 |
- Indices :
- $L_P = \frac{3\,400}{3\,000} \times 100 \approx 113{,}33$ ;
- $P_P = \frac{3\,610}{3\,200} \times 100 \approx 112{,}81$ ;
- $L_Q = \frac{3\,200}{3\,000} \times 100 \approx 106{,}67$ ;
- $P_Q = \frac{3\,610}{3\,400} \times 100 \approx 106{,}18$.
- $V = \frac{3\,610}{3\,000} \times 100 \approx 120{,}33$. Vérification : $\frac{113{,}33 \times 106{,}18}{100} \approx 120{,}33$ et $\frac{112{,}81 \times 106{,}67}{100} \approx 120{,}33$.
Lecture : avec le panier de 2023, les prix ont augmenté d'environ 13,33 % entre 2023 et 2024.
Exercice 3 — Salaire réel et pouvoir d'achat (données fictives)
Le salaire mensuel d'un employé passe de 5 000 DH en 2023 à 5 600 DH en 2024. L'indice des prix passe de 100 à 108.
- Calculez le salaire de 2024 exprimé en DH de 2023.
- Calculez l'indice du pouvoir d'achat et interprétez-le.
Voir le corrigé
- Salaire réel $= \frac{5\,600}{108} \times 100 \approx 5\,185{,}19$ DH.
- Indice du salaire $= \frac{5\,600}{5\,000} \times 100 = 112$ ; indice du pouvoir d'achat $= \frac{112}{108} \times 100 \approx 103{,}70$. Le pouvoir d'achat a augmenté d'environ 3,70 % : le salaire a progressé plus vite que les prix.
L'essentiel — Les indices statistiques
- Indice élémentaire : $I_{t/0} = \frac{V_t}{V_0} \times 100$ ; taux de variation : $t = I - 100$.
- Enchaînement : $I_{2/0} = \frac{I_{2/1} \times I_{1/0}}{100}$.
- Changement de base : $I_{t/b} = \frac{I_{t/0}}{I_{b/0}} \times 100$.
- Laspeyres : pondération par l'année de base ; Paasche : pondération par l'année courante.
- Prix : $L_P = \frac{\sum P_t Q_0}{\sum P_0 Q_0} \times 100$ ; $P_P = \frac{\sum P_t Q_t}{\sum P_0 Q_t} \times 100$.
- Quantités : $L_Q = \frac{\sum Q_t P_0}{\sum Q_0 P_0} \times 100$ ; $P_Q = \frac{\sum Q_t P_t}{\sum Q_0 P_t} \times 100$.
- Valeur : $V = \frac{\sum P_t Q_t}{\sum P_0 Q_0} \times 100 = \frac{L_P \times P_Q}{100}$.
- Valeur réelle $= \frac{\text{valeur nominale}}{\text{indice des prix}} \times 100$.