L'ajustement linéaire

Introduction

L'épargne nationale augmente-t-elle avec le revenu ? Le chômage recule-t-il quand la croissance s'accélère ? Pour étudier le lien entre deux grandeurs économiques et faire des prévisions, on résume leur évolution par une droite : c'est l'ajustement linéaire. Cette question revient très souvent dans les sujets nationaux d'économie générale et statistiques.

I. La série statistique à deux variables

On observe deux variables sur $n$ périodes : les couples $(x_i ; y_i)$.

• $x$ est la variable explicative (par exemple le revenu) ;
• $y$ est la variable expliquée (par exemple l'épargne).

Représentés dans un repère, ces couples forment un nuage de points. Si les points sont presque alignés, on peut remplacer le nuage par une droite d'ajustement.

Les moyennes donnent le point moyen $G(\bar{x} ; \bar{y})$ :

$$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \qquad \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n}$$

II. La droite d'ajustement

$$y = ax + b$$

• $a$ est le coefficient directeur : la variation de $y$ quand $x$ augmente d'une unité ;
• $b$ est l'ordonnée à l'origine : la valeur de $y$ quand $x = 0$.

III. La méthode des moindres carrés (méthode développée)

La méthode des moindres carrés retient la droite qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs de la droite.

$$a = \frac{\sum x_i y_i - n\,\bar{x}\,\bar{y}}{\sum x_i^2 - n\,\bar{x}^2} \qquad\qquad b = \bar{y} - a\,\bar{x}$$

La droite obtenue passe par le point moyen $G$ : c'est ce qui donne la formule de $b$.

Les étapes

1. Repérer $x$, $y$ et le nombre d'observations $n$ ;
2. Calculer (ou relever) $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\sum x_i y_i$ et $\sum x_i^2$ ;
3. Calculer $a$ ;
4. Calculer $b$ ;
5. Écrire l'équation $y = ax + b$ ;
6. Interpréter le résultat, puis faire la prévision demandée.

IV. La présentation attendue à l'examen

Le sujet donne le plus souvent les sommes et les moyennes, et il demande de remplir un tableau :

Attention aux pièges :

• le $n$ n'est pas toujours écrit : comptez les années du document ;
• $n\,\bar{x}^2$ se calcule en élevant d'abord $\bar{x}$ au carré ;
• avec des valeurs négatives, gardez les parenthèses : $-8\,874{,}66 - [6 \times 240{,}03 \times (-6{,}53)]$ ;
• arrondissez $a$ comme le demande le sujet, en général à deux décimales.

V. Interpréter et prévoir

1. L'interprétation

Elle repose sur le signe de $a$ :

On peut préciser l'ampleur : si $a = 0{,}25$, une hausse d'une unité de $x$ s'accompagne en moyenne d'une hausse de 0,25 unité de $y$.

2. La prévision

On remplace $x$ par la valeur donnée dans l'équation. Pour $y = 0{,}25x + 12$ et $x = 1\,600$ :

$$y = 0{,}25 \times 1\,600 + 12 = 412$$

3. Les limites

• Une droite n'est qu'un résumé : elle n'explique pas tout ;
• Un lien statistique ne prouve pas à lui seul une cause ;
• Une prévision est moins fiable quand $x$ s'éloigne beaucoup des valeurs observées ;
• Avec peu d'années d'observation, le résultat reste fragile.