Choix intertemporels et choix en situation d'incertitude

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• écrire la contrainte budgétaire intertemporelle et résoudre le modèle de Fisher ;
• expliquer l'effet d'une hausse du taux d'intérêt sur l'épargne ;
• représenter un choix risqué par une loterie et calculer une espérance d'utilité ;
• distinguer aversion, neutralité et goût pour le risque ;
• calculer l'équivalent certain, la prime de risque et la prime d'assurance maximale.

2.1 Le modèle de Fisher : consommer aujourd'hui ou demain

Un ménage vit deux périodes. Il perçoit les revenus $y_1$ et $y_2$ et peut prêter ou emprunter au taux $r$. Ce qu'il épargne en période 1, $s = y_1 - c_1$, lui rapporte $(1 + r)s$ en période 2 : $c_2 = y_2 + (1 + r)(y_1 - c_1)$. En divisant par $(1 + r)$, on obtient la contrainte budgétaire intertemporelle :

$$\boxed{c_1 + \frac{c_2}{1 + r} = y_1 + \frac{y_2}{1 + r} = W}$$

La valeur actuelle des consommations est égale à la valeur actuelle des revenus, la richesse $W$. Le prix relatif de la consommation présente est $(1 + r)$ : consommer 1 DH aujourd'hui, c'est renoncer à $(1 + r)$ DH demain.

Définition — Taux de préférence pour le présent : avec une utilité $U = u(c_1) + \beta\,u(c_2)$, le facteur d'escompte psychologique $\beta = 1 / (1 + \rho)$ mesure l'impatience ; $\rho$ est le taux de préférence pour le présent.

À l'optimum, le TMS intertemporel est égal au prix relatif :

$$\frac{u'(c_1)}{\beta\,u'(c_2)} = 1 + r$$

C'est l'équation d'Euler : si $r > \rho$, le ménage a intérêt à reporter sa consommation ($c_2 > c_1$). Avec $U = \ln c_1 + \beta \ln c_2$, on obtient $c_1 = W / (1 + \beta)$.

2.2 L'effet d'une hausse du taux d'intérêt

Une hausse de $r$ rend la consommation présente plus chère : l'effet de substitution pousse toujours à épargner davantage. L'effet revenu dépend de la position du ménage :

• un prêteur (épargnant) s'enrichit : il consomme plus aux deux périodes, ce qui réduit son épargne ; l'effet total sur l'épargne est ambigu ;
• un emprunteur s'appauvrit : les deux effets réduisent $c_1$, il emprunte moins.

C'est pourquoi les études empiriques trouvent souvent une faible élasticité de l'épargne au taux d'intérêt : une hausse du taux directeur de Bank Al-Maghrib agit davantage par le crédit que par l'épargne des ménages.

2.3 Représenter le risque : les loteries

Un choix risqué se représente par une loterie $L = (x_1, \pi_1 ; \ldots ; x_n, \pi_n)$ : le résultat $x_i$ survient avec la probabilité $\pi_i$. Son espérance mathématique est $E(L) = \sum \pi_i x_i$.

Le critère de l'espérance seule ne suffit pas : le paradoxe de Saint-Pétersbourg (Bernoulli, 1738) montre qu'un jeu d'espérance infinie ne vaut, pour un individu, qu'une somme modeste. Von Neumann et Morgenstern (1944) ont montré que, sous certains axiomes (complétude, transitivité, continuité, indépendance), les choix se représentent par l'espérance d'utilité :

$$\boxed{EU(L) = \sum_i \pi_i\,u(x_i)}$$

La fonction $u$ (dite de Bernoulli ou de VNM) est, contrairement à l'utilité du chapitre 1, définie à une transformation affine croissante près : sa courbure a un sens.

2.4 Les attitudes face au risque

On compare l'utilité de l'espérance $u(E(L))$ et l'espérance de l'utilité $EU(L)$ :

Attitude	Comparaison	Forme de $u$	Exemple
Aversion pour le risque	$u(E(L)) > EU(L)$	Concave ($u'' < 0$)	$u = \sqrt{x}$, $u = \ln x$
Neutralité	$u(E(L)) = EU(L)$	Linéaire	$u = x$
Goût du risque	$u(E(L)) < EU(L)$	Convexe ($u'' > 0$)	$u = x^2$

Définition — Équivalent certain : somme certaine $EC$ qui procure la même utilité que la loterie : $u(EC) = EU(L)$.

Définition — Prime de risque : $PR = E(L) - EC$, la somme que l'individu est prêt à abandonner sur l'espérance pour supprimer le risque. Elle est positive pour un individu averse au risque.

L'intensité de l'aversion se mesure par le coefficient d'aversion absolue d'Arrow-Pratt $A(x) = -u''(x) / u'(x)$, et, pour un petit risque de variance $\sigma^2$, $PR \approx \tfrac{1}{2} A(x)\,\sigma^2$.

2.5 Application : la demande d'assurance

Un individu de richesse $W$ risque de perdre $D$ avec la probabilité $\pi$. Une assurance complète lui garantit $W - P$ quelle que soit la situation, $P$ étant la prime. Il accepte de s'assurer tant que $u(W - P) \ge EU$, c'est-à-dire tant que $W - P \ge EC$. La prime maximale est donc :

$$P_{max} = W - EC = \pi D + PR$$

La prime actuarielle (ou pure) est l'espérance de perte $\pi D$. L'écart entre $P_{max}$ et $\pi D$ est la prime de risque : c'est la marge qui permet à une compagnie d'assurance de couvrir ses frais de gestion et de dégager un profit. La mutualisation repose sur la loi des grands nombres : en assurant beaucoup de risques indépendants, l'assureur rend son résultat presque certain.

2.6 Méthode : traiter un exercice de choix risqué

1. Écrire la loterie : résultats en richesse finale et probabilités (la somme des probabilités vaut 1).
2. Calculer $E(L)$, puis $EU(L) = \sum \pi_i u(x_i)$.
3. Inverser $u$ pour obtenir l'équivalent certain $EC = u^{-1}(EU)$.
4. Calculer la prime de risque $E(L) - EC$ et conclure sur l'attitude face au risque.
5. Pour l'assurance : prime maximale $W - EC$, à comparer à la prime proposée.

Les pièges à éviter

• Raisonner sur les pertes au lieu de la richesse finale dans $u$.
• Calculer $u(E(L))$ au lieu de $E(u(L))$ pour l'espérance d'utilité.
• Oublier d'actualiser $y_2$ dans la contrainte intertemporelle.
• Affirmer qu'une hausse des taux augmente forcément l'épargne : l'effet revenu d'un prêteur va en sens inverse.
• Confondre prime pure (espérance de perte) et prime maximale (qui inclut la prime de risque).