Chapitre 1 · Semestre 5

La théorie du consommateur et la dualité

Microéconomie Approfondie

Cours Exercices Résumé QCM

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

énoncer les axiomes des préférences et le rôle de la fonction d'utilité ;

calculer les demandes marshalliennes par le lagrangien et la fonction d'utilité indirecte ;

poser le problème dual de minimisation de la dépense et obtenir les demandes hicksiennes ;

utiliser l'identité de Roy et le lemme de Shephard ;

décomposer l'effet d'une variation de prix par l'équation de Slutsky et mesurer la variation compensatrice.

1.1 Des préférences à la fonction d'utilité

Le consommateur compare des paniers $(x, y)$. Ses préférences sont supposées :

complètes : il peut toujours comparer deux paniers ;
transitives : si $A \succeq B$ et $B \succeq C$, alors $A \succeq C$ ;
continues, monotones (plus est préféré à moins) et convexes (il préfère les mélanges aux extrêmes).

Définition — Fonction d'utilité : fonction $U(x, y)$ qui attribue un nombre plus grand à un panier préféré. Elle est ordinale : toute transformation croissante de $U$ (par exemple $\ln U$ ou $U^2$) représente les mêmes préférences et donne les mêmes choix.

Le taux marginal de substitution mesure la quantité de $y$ que le consommateur accepte de céder pour une unité de $x$ supplémentaire, à utilité constante :

$$TMS_{x,y} = -\frac{dy}{dx}\bigg|_{U = cte} = \frac{U_x}{U_y}$$

La convexité des préférences se traduit par un TMS décroissant le long d'une courbe d'indifférence.

1.2 Le problème primal : maximiser l'utilité

Avec un revenu $R$ et des prix $p_x$, $p_y$, le consommateur résout :

$$\max_{x, y}\; U(x, y) \quad \text{sous} \quad p_x x + p_y y = R$$

Le lagrangien $\mathcal{L} = U(x, y) + \lambda (R - p_x x - p_y y)$ donne les conditions du premier ordre $U_x = \lambda p_x$, $U_y = \lambda p_y$, d'où la condition d'équilibre :

$$\boxed{TMS_{x,y} = \frac{U_x}{U_y} = \frac{p_x}{p_y}}$$

Les solutions $x^M(p_x, p_y, R)$ et $y^M(p_x, p_y, R)$ sont les demandes marshalliennes (ou non compensées). Le multiplicateur $\lambda$ est l'utilité marginale du revenu.

Définition — Fonction d'utilité indirecte : $V(p_x, p_y, R) = U(x^M, y^M)$, l'utilité maximale atteignable avec les prix et le revenu donnés. Elle est décroissante en prix, croissante en revenu et homogène de degré 0 en $(p_x, p_y, R)$.

Exemple Cobb-Douglas. Pour $U = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$, le consommateur consacre une part fixe de son revenu à chaque bien :

$$x^M = \frac{\alpha R}{p_x} \qquad y^M = \frac{(1 - \alpha) R}{p_y}$$

Une étudiante de Rabat dispose de 1 200 DH par mois pour deux postes : repas ($x$, 10 DH l'unité) et transport ($y$, 20 DH le trajet), avec $U = x^{0,5} y^{0,5}$. Elle achète $x = 0{,}5 \times 1\,200 / 10 = 60$ repas et $y = 0{,}5 \times 1\,200 / 20 = 30$ trajets.

Identité de Roy : on retrouve la demande marshallienne à partir de $V$ :

$$x^M = -\frac{\partial V / \partial p_x}{\partial V / \partial R}$$

1.3 Le problème dual : minimiser la dépense

On peut poser le problème « à l'envers » : quelle est la dépense minimale qui permet d'atteindre un niveau d'utilité $\bar{U}$ ?

$$\min_{x, y}\; p_x x + p_y y \quad \text{sous} \quad U(x, y) = \bar{U}$$

La condition d'optimalité est la même ($TMS = p_x / p_y$), mais les solutions dépendent des prix et de l'utilité, pas du revenu : ce sont les demandes hicksiennes (ou compensées) $x^H(p_x, p_y, \bar{U})$.

Définition — Fonction de dépense : $e(p_x, p_y, \bar{U}) = p_x x^H + p_y y^H$, la dépense minimale pour atteindre $\bar{U}$. Elle est croissante et concave en prix, homogène de degré 1 en prix.

Lemme de Shephard : la dérivée de la fonction de dépense par rapport à un prix donne la demande hicksienne de ce bien :

$$x^H = \frac{\partial e}{\partial p_x}$$

Les deux problèmes sont liés par des identités de dualité : $e(p, V(p, R)) = R$ et $V(p, e(p, \bar{U})) = \bar{U}$. Autrement dit, la dépense minimale pour obtenir l'utilité maximale permise par $R$ est exactement $R$.

	Problème primal	Problème dual
Objectif	Maximiser $U$	Minimiser la dépense
Contrainte	Budget $R$	Utilité $\bar{U}$
Demandes	Marshalliennes $x^M(p, R)$	Hicksiennes $x^H(p, \bar{U})$
Fonction valeur	Utilité indirecte $V(p, R)$	Dépense $e(p, \bar{U})$
Lien	Identité de Roy	Lemme de Shephard

1.4 L'équation de Slutsky

Quand le prix de $x$ augmente, la demande varie pour deux raisons :

l'effet de substitution : $x$ devient relativement plus cher, le consommateur se reporte sur $y$ à utilité constante ; cet effet est toujours négatif (pente de la demande hicksienne) ;
l'effet revenu : le pouvoir d'achat baisse ; pour un bien normal, la demande diminue encore.

L'équation de Slutsky formalise cette décomposition :

$$\boxed{\frac{\partial x^M}{\partial p_x} = \underbrace{\frac{\partial x^H}{\partial p_x}}_{\text{substitution} \;<\; 0} - \underbrace{x \,\frac{\partial x^M}{\partial R}}_{\text{revenu}}}$$

Pour un bien inférieur ($\partial x / \partial R < 0$), l'effet revenu joue en sens inverse. Si ce dernier l'emporte sur l'effet de substitution, la demande augmente avec le prix : c'est le cas, rare, du bien Giffen.

1.5 Mesurer le bien-être : variations compensatrice et équivalente

Une hausse de prix appauvrit le consommateur. On mesure cette perte en dirhams avec la fonction de dépense :

variation compensatrice (VC) : somme qu'il faudrait donner au consommateur, aux nouveaux prix, pour qu'il retrouve son utilité initiale : $VC = e(p^1, U^0) - R$ ;
variation équivalente (VE) : somme qu'il faudrait lui retirer, aux anciens prix, pour lui infliger la même perte d'utilité que la hausse : $VE = R - e(p^0, U^1)$.

Pour un bien normal, $VE < \Delta SC < VC$ : la variation du surplus du consommateur (aire sous la demande marshallienne) est comprise entre les deux mesures. C'est l'outil de base pour évaluer une réforme, par exemple la décompensation progressive du gaz butane au Maroc.

1.6 Méthode : résoudre un exercice de dualité

Écrire le lagrangien du problème primal, poser $TMS = p_x / p_y$ et la contrainte de budget : obtenir $x^M$, $y^M$.
Remplacer dans $U$ pour obtenir $V(p, R)$ ; vérifier avec l'identité de Roy.
Poser le problème dual : $TMS = p_x / p_y$ et $U(x, y) = \bar{U}$ ; obtenir $x^H$, $y^H$ puis $e(p, \bar{U})$.
Pour une variation de prix : calculer la demande finale (effet total), la demande hicksienne au nouveau prix et à l'utilité initiale (effet de substitution), puis l'effet revenu par différence.
Calculer la VC avec $e(p^1, U^0) - R$.

Les pièges à éviter

Confondre demande marshallienne (fonction du revenu) et demande hicksienne (fonction de l'utilité).
Calculer l'effet de substitution à l'ancien prix : la demande hicksienne se calcule au nouveau prix et à l'utilité initiale.
Oublier le signe moins dans l'équation de Slutsky ou dans l'identité de Roy.
Donner une interprétation cardinale à l'utilité (« le panier A donne deux fois plus de satisfaction ») : seule la comparaison compte.
Croire que tout bien inférieur est un bien Giffen : il faut en plus que l'effet revenu domine.

Exercice 1 — Hausse du prix du thé pour un ménage de Fès

Un ménage consacre un budget mensuel $R = 400$ DH à deux biens : le thé ($x$, prix $p_x = 4$ DH l'unité) et le sucre ($y$, prix $p_y = 5$ DH l'unité). Ses préférences sont représentées par $U(x, y) = x\,y$.

Travail à faire :

Déterminez les demandes marshalliennes, le panier optimal et l'utilité atteinte.
Calculez la fonction d'utilité indirecte et vérifiez l'identité de Roy pour le bien $x$.
Déterminez les demandes hicksiennes et la fonction de dépense.
Le prix du thé passe à 5 DH. Calculez le nouvel optimum et décomposez la variation de la demande de thé en effet de substitution et effet revenu.
Calculez la variation compensatrice et la variation équivalente. Commentez.

Voir le corrigé

1) Demandes marshalliennes

$TMS = U_x / U_y = y / x = p_x / p_y$, donc $p_y y = p_x x$ : le ménage dépense autant pour chaque bien. Avec le budget :

$$x^M = \frac{R}{2 p_x} \qquad y^M = \frac{R}{2 p_y}$$

Soit $x = 400 / 8 = \mathbf{50}$ unités de thé, $y = 400 / 10 = \mathbf{40}$ unités de sucre, et $U^0 = 50 \times 40 = \mathbf{2\,000}$.

2) Utilité indirecte

$$V = \frac{R}{2 p_x} \cdot \frac{R}{2 p_y} = \frac{R^2}{4 p_x p_y}$$

Identité de Roy : $\partial V / \partial p_x = - R^2 / (4 p_x^2 p_y)$ et $\partial V / \partial R = R / (2 p_x p_y)$, d'où $- \dfrac{\partial V / \partial p_x}{\partial V / \partial R} = \dfrac{R^2 / (4 p_x^2 p_y)}{R / (2 p_x p_y)} = \dfrac{R}{2 p_x}$ .

3) Problème dual

$TMS = p_x / p_y$ donne $y = p_x x / p_y$ ; avec $x y = \bar{U}$ : $x^2 p_x / p_y = \bar{U}$, d'où :

$$x^H = \sqrt{\frac{\bar{U}\,p_y}{p_x}} \qquad y^H = \sqrt{\frac{\bar{U}\,p_x}{p_y}} \qquad e(p_x, p_y, \bar{U}) = 2\sqrt{\bar{U}\,p_x\,p_y}$$

Vérification : $e(4, 5, 2\,000) = 2\sqrt{40\,000} = 400 = R$ (identité de dualité). Et $\partial e / \partial p_x = \sqrt{\bar{U} p_y / p_x} = x^H$ (Shephard).

4) Décomposition de Slutsky-Hicks ($p_x = 5$)

Nouvel optimum : $x^1 = 400 / 10 = 40$, $y^1 = 40$, $U^1 = 1\,600$. Effet total : $40 - 50 = -10$.
Demande hicksienne au nouveau prix et à l'utilité initiale : $x^H = \sqrt{2\,000 \times 5 / 5} = \sqrt{2\,000} \approx 44{,}72$.
Effet de substitution : $44{,}72 - 50 = \mathbf{-5{,}28}$ (négatif, comme toujours).
Effet revenu : $40 - 44{,}72 = \mathbf{-4{,}72}$ (négatif : le thé est un bien normal).

Vérification : $-5{,}28 - 4{,}72 = -10$ .

5) Mesures du bien-être

$VC = e(5, 5, 2\,000) - 400 = 2\sqrt{50\,000} - 400 \approx 447{,}21 - 400 = \mathbf{47{,}21}$ DH ;
$VE = 400 - e(4, 5, 1\,600) = 400 - 2\sqrt{32\,000} \approx 400 - 357{,}77 = \mathbf{42{,}23}$ DH.

La hausse du prix du thé équivaut à une perte de pouvoir d'achat comprise entre 42 et 47 DH par mois. La VC est supérieure à la VE car le thé est un bien normal ; la variation du surplus marshallien ($\int_4^5 200/p \, dp = 200 \ln 1{,}25 \approx 44{,}63$ DH) se situe bien entre les deux.

Exercice 2 — Demandes et utilité indirecte

Un consommateur a pour utilité $U = x^{0,25} y^{0,75}$, un revenu $R = 2\,400$ DH et fait face aux prix $p_x = 30$ DH et $p_y = 45$ DH.

Calculez les demandes marshalliennes et les parts de budget.
Le revenu augmente de 10 %. Calculez l'élasticité-revenu de la demande de $x$.
Le prix de $y$ baisse. Que devient la demande de $x$ ? Commentez.

Voir le corrigé

1) Fonction Cobb-Douglas : $x = 0{,}25 \times 2\,400 / 30 = \mathbf{20}$ ; $y = 0{,}75 \times 2\,400 / 45 = \mathbf{40}$. Parts de budget : 25 % pour $x$ ($20 \times 30 = 600$ DH) et 75 % pour $y$ ($40 \times 45 = 1\,800$ DH).

2) Avec $R = 2\,640$ : $x = 0{,}25 \times 2\,640 / 30 = 22$, soit + 10 %. L'élasticité-revenu vaut $\mathbf{1}$ : avec une Cobb-Douglas, la demande est proportionnelle au revenu.

3) $x^M = 0{,}25 R / p_x$ ne dépend pas de $p_y$ : l'élasticité-prix croisée est nulle. Les effets de substitution et de revenu croisés se compensent exactement, ce qui est une propriété (restrictive) de la Cobb-Douglas.

Exercice 3 — Biens complémentaires parfaits

Un automobiliste consomme toujours 1 litre d'huile ($y$) pour 50 litres de carburant ($x$) : $U = \min(x / 50 ;\, y)$. Prix : $p_x = 14$ DH, $p_y = 80$ DH, budget $R = 3\,000$ DH.

Déterminez le panier optimal.
Calculez la fonction de dépense et la demande hicksienne de carburant. Que vaut l'effet de substitution ?
Le prix du carburant passe à 15 DH. Calculez la variation compensatrice.

Voir le corrigé

1) À l'optimum, $x = 50 y$. Budget : $14 \times 50 y + 80 y = 780 y = 3\,000$, d'où $y \approx \mathbf{3{,}85}$ litres d'huile et $x \approx \mathbf{192{,}3}$ litres de carburant ; $U \approx 3{,}85$.

2) Pour atteindre $\bar{U}$, il faut $x = 50 \bar{U}$ et $y = \bar{U}$ : $e = (50 p_x + p_y)\,\bar{U}$. La demande hicksienne $x^H = 50 \bar{U}$ ne dépend pas des prix : l'effet de substitution est nul (pas de substitution possible), toute la variation passe par l'effet revenu.

3) $U^0 = 3\,000 / 780 \approx 3{,}846$. $e(15, 80, U^0) = (750 + 80) \times 3{,}846 \approx 3\,192{,}3$ DH. $VC \approx 3\,192{,}3 - 3\,000 = \mathbf{192{,}3}$ DH, soit exactement 1 DH par litre de carburant consommé initialement : sans substitution, la compensation est égale à la hausse de prix multipliée par la quantité initiale.

L'essentiel — Consommateur et dualité

Préférences complètes, transitives, continues, monotones, convexes ; utilité ordinale.
$TMS_{x,y} = U_x / U_y$ ; à l'optimum $TMS = p_x / p_y$ et $p_x x + p_y y = R$.
Demandes marshalliennes $x^M(p, R)$ ; utilité indirecte $V(p, R)$ ; identité de Roy : $x^M = -V_{p_x} / V_R$.
Problème dual : minimiser la dépense sous $U = \bar{U}$ ; demandes hicksiennes $x^H(p, \bar{U})$ ; fonction de dépense $e(p, \bar{U})$.
Lemme de Shephard : $x^H = \partial e / \partial p_x$ ; dualité : $e(p, V(p, R)) = R$.
Cobb-Douglas $x^{\alpha} y^{1-\alpha}$ : $x^M = \alpha R / p_x$ (part de budget constante).
Slutsky : $\partial x^M / \partial p_x = \partial x^H / \partial p_x - x\,\partial x^M / \partial R$ ; effet de substitution toujours négatif.
Bien inférieur : effet revenu inverse ; bien Giffen si l'effet revenu domine.
$VC = e(p^1, U^0) - R$ ; $VE = R - e(p^0, U^1)$ ; bien normal : $VE < \Delta SC < VC$.

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