Équilibre général avec production et économie du bien-être
Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :
- énoncer les trois conditions de l'optimum de Pareto dans une économie avec production ;
- calculer le taux marginal de transformation à partir de la frontière des possibilités de production ;
- énoncer et interpréter les deux théorèmes fondamentaux de l'économie du bien-être ;
- comparer des fonctions de bien-être social (utilitariste, rawlsienne, de Nash) ;
- comprendre le théorème d'impossibilité d'Arrow et l'idée de second rang.
5.1 Les conditions de l'optimum avec production
Dans une économie avec production, une allocation est Pareto-optimale si trois conditions sont réunies :
- Efficacité de l'échange : tous les consommateurs ont le même TMS entre deux biens ($TMS^A = TMS^B$).
- Efficacité de la production : toutes les entreprises ont le même TMST entre deux facteurs ; sinon, réallouer les facteurs entre branches augmenterait la production d'un bien sans réduire celle de l'autre. L'ensemble de ces points forme la courbe des contrats de production, qui engendre la frontière des possibilités de production (FPP).
- Efficacité globale (combinaison des produits) : le taux auquel l'économie peut transformer un bien en un autre est égal au taux auquel les consommateurs acceptent de les substituer :
$$\boxed{TMT_{x,y} = TMS_{x,y}}$$
Définition — Taux marginal de transformation : $TMT_{x,y} = -dy/dx$ le long de la FPP, quantité de $y$ à laquelle il faut renoncer pour produire une unité de $x$ en plus. Il est égal au rapport des coûts marginaux : $TMT = Cm_x / Cm_y$.
Si la FPP est concave (vue de l'origine), le TMT est croissant : produire plus de $x$ coûte de plus en plus de $y$, parce que les facteurs les plus adaptés à $x$ sont utilisés en premier.
5.2 Le premier théorème du bien-être
Théorème 1 : tout équilibre général concurrentiel est un optimum de Pareto.
En concurrence, chaque consommateur égalise son TMS au rapport des prix, chaque entreprise égalise son TMST au rapport des prix des facteurs, et chaque entreprise produit jusqu'à $p = Cm$, donc $TMT = Cm_x / Cm_y = p_x / p_y$. Les trois conditions de Pareto sont alors vérifiées par le seul jeu des prix : c'est la formalisation de la main invisible d'Adam Smith.
Le théorème suppose : marchés complets, concurrence parfaite (agents preneurs de prix), absence d'externalités et de biens publics, information parfaite. Le chapitre 8 étudie ce qui se passe quand ces hypothèses tombent.
5.3 Le second théorème du bien-être
Théorème 2 : sous des hypothèses de convexité (préférences et technologies convexes), tout optimum de Pareto peut être obtenu comme un équilibre concurrentiel, à condition de procéder à des transferts forfaitaires appropriés des dotations initiales.
Ce théorème sépare efficacité et équité : l'État peut choisir l'optimum qu'il juge le plus juste, redistribuer les dotations par des transferts forfaitaires (qui ne dépendent pas des comportements), puis laisser le marché fonctionner. En pratique, les transferts sont rarement forfaitaires : l'impôt sur le revenu, la TVA ou les subventions modifient les prix relatifs et créent des distorsions. Le débat sur le ciblage des aides (registre social unifié au Maroc) illustre ce compromis entre efficacité et redistribution.
5.4 Choisir entre les optima : les fonctions de bien-être social
Le critère de Pareto ne permet pas de classer deux optima. On introduit une fonction de bien-être social $W(U^A, U^B)$, qui exprime un jugement de valeur :
| Fonction | Expression | Jugement de valeur |
|---|---|---|
| Utilitariste (Bentham) | $W = U^A + U^B$ | Maximiser la somme des utilités, indépendamment de leur répartition |
| Rawlsienne (maximin) | $W = \min(U^A, U^B)$ | Améliorer le sort du plus défavorisé |
| De Nash (multiplicative) | $W = U^A \times U^B$ | Compromis : pénalise les inégalités sans les interdire |
L'optimum social est le point de la frontière des possibilités d'utilité (ensemble des couples d'utilités Pareto-optimaux) qui maximise $W$, c'est-à-dire le point de tangence avec la plus haute courbe d'iso-bien-être.
5.5 Les limites : Arrow et le second rang
Théorème d'impossibilité d'Arrow (1951) : il n'existe pas de règle d'agrégation des préférences individuelles qui satisfasse à la fois l'universalité, l'unanimité (Pareto), l'indépendance vis-à-vis des options non pertinentes et l'absence de dictateur. Le paradoxe de Condorcet en est l'illustration : avec trois électeurs et trois options, le vote à la majorité peut donner des préférences collectives intransitives.
Théorie du second rang (Lipsey et Lancaster, 1956) : lorsqu'une condition d'optimalité ne peut pas être satisfaite (un monopole, une taxe inévitable), il n'est pas forcément souhaitable de satisfaire les autres. Supprimer une seule distorsion peut réduire le bien-être s'il en existe d'autres. Exemple : supprimer les droits de douane avec un seul partenaire peut détourner les échanges d'un fournisseur plus efficace (détournement de trafic).
5.6 Méthode : optimum de production et choix social
- À partir de la FPP $g(x, y) = 0$, calculer $TMT = g_x / g_y$.
- Calculer le TMS du consommateur représentatif.
- Résoudre $TMT = TMS$ avec l'équation de la FPP : combinaison optimale.
- Prix relatif de décentralisation : $p_x / p_y = TMT$ au point optimal.
- Pour le choix social : écrire la frontière des possibilités d'utilité, maximiser chaque fonction $W$ sur cette frontière et comparer.
Les pièges à éviter
- Croire que le premier théorème rend tout équilibre « juste » : il n'affirme que l'efficacité.
- Oublier les hypothèses des théorèmes (concurrence, pas d'externalités, convexité pour le second).
- Confondre la FPP (quantités de biens) et la frontière des possibilités d'utilité (niveaux d'utilité).
- Penser qu'une réforme qui supprime une distorsion améliore toujours le bien-être (second rang).
- Inverser $TMT$ : c'est $g_x / g_y$, pente de la FPP en valeur absolue.
Exercice 1 — Une économie insulaire à deux biens
Une petite économie produit des agrumes ($x$) et des tissus ($y$). Sa frontière des possibilités de production est $x^2 + y^2 = 200$. Les préférences collectives sont représentées par $U = xy$.
Travail à faire :
- Calculez le taux marginal de transformation. La FPP est-elle concave ?
- Déterminez la combinaison de production Pareto-optimale.
- Quel prix relatif permet de décentraliser cet optimum ? Vérifiez qu'une entreprise qui maximise la valeur de sa production le choisit.
- L'économie compte en réalité deux groupes, A et B, dont la frontière des possibilités d'utilité est $U^A + 2\,U^B = 120$. Déterminez l'optimum social selon les critères utilitariste, rawlsien et de Nash.
- Commentez.
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1) En différenciant la FPP : $2x\,dx + 2y\,dy = 0$, d'où $TMT = -dy/dx = \mathbf{x/y}$. Le TMT augmente quand on produit plus de $x$ (et moins de $y$) : la FPP est concave, les coûts d'opportunité sont croissants.
2) $TMS = U_x / U_y = y/x$. Condition $TMT = TMS$ : $x/y = y/x$, donc $x = y$. Dans la FPP : $2x^2 = 200$, $x = y = \mathbf{10}$, et $U = 100$.
3) $p_x / p_y = TMT = 10/10 = \mathbf{1}$. Une entreprise qui maximise $p_x x + p_y y$ sous $x^2 + y^2 = 200$ pose $x/y = p_x / p_y = 1$, d'où $x = y = 10$ . Le consommateur, face au même prix relatif, choisit $y/x = 1$ : le marché atteint l'optimum (premier théorème).
4) Sur la frontière $U^A = 120 - 2U^B$ :
- Utilitariste : $W = 120 - 2U^B + U^B = 120 - U^B$, maximale pour $U^B = 0$ : $(U^A, U^B) = (\mathbf{120} ; \mathbf{0})$ ;
- Rawlsien : on égalise les utilités, $3U = 120$ : $(\mathbf{40} ; \mathbf{40})$ ;
- Nash : $W = (120 - 2U^B)\,U^B$, $dW/dU^B = 120 - 4U^B = 0$ : $U^B = 30$, $(\mathbf{60} ; \mathbf{30})$.
5) Les trois points sont des optima de Pareto : le critère de Pareto seul ne permet pas de choisir. Le critère utilitariste avantage le groupe A, qui « transforme » le plus efficacement les ressources en utilité ; le critère rawlsien égalise les situations au prix d'une somme d'utilités plus faible (80 contre 120) ; le critère de Nash donne un compromis (somme 90). Le choix est un jugement de valeur ; le second théorème indique qu'une fois ce choix fait, des transferts forfaitaires permettent de l'atteindre par le marché.
Exercice 2 — Efficacité de la production
Deux branches utilisent 100 unités de capital et 100 unités de travail : $Q_x = K_x^{0,5} L_x^{0,5}$ et $Q_y = K_y^{0,25} L_y^{0,75}$. Actuellement, chaque branche dispose de 50 unités de chaque facteur.
- Calculez les productions et les TMST des deux branches. L'allocation est-elle efficace ?
- On transfère des facteurs : la branche $x$ reçoit $K_x = 62$ et $L_x = 40{,}5$. Calculez les nouvelles productions. Commentez.
- Écrivez l'équation de la courbe des contrats de production.
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1) $Q_x = Q_y = 50$. $TMST^x = K_x / L_x = 1$ ; $TMST^y = (0{,}75/0{,}25)\,K_y / L_y = 3$. Les TMST diffèrent : l'allocation est inefficace. La branche $y$ valorise davantage le travail (en termes de capital) : elle doit recevoir du travail et céder du capital.
2) $Q_x = \sqrt{62 \times 40{,}5} \approx \mathbf{50{,}11}$ ; $Q_y = 38^{0,25} \times 59{,}5^{0,75} \approx \mathbf{53{,}19}$. Les deux productions augmentent avec les mêmes ressources : c'est une amélioration au sens de Pareto. Les TMST (1,53 et 1,92) restent différents : on peut encore améliorer.
3) $TMST^x = TMST^y$ : $\dfrac{K_x}{L_x} = \dfrac{3\,(100 - K_x)}{100 - L_x}$. Par exemple, pour $L_x = 50$ : $K_x = 75$ (TMST communs égaux à 1,5).
Exercice 3 — Le paradoxe de Condorcet
Trois conseillers municipaux classent trois projets (école $E$, route $R$, hôpital $H$) :
- conseiller 1 : $E \succ R \succ H$ ;
- conseiller 2 : $R \succ H \succ E$ ;
- conseiller 3 : $H \succ E \succ R$.
- Organisez les trois votes à la majorité deux à deux. Que constatez-vous ?
- Quel lien avec le théorème d'Arrow ? Quel est le rôle de l'ordre du jour ?
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1) $E$ contre $R$ : $E$ gagne (conseillers 1 et 3). $R$ contre $H$ : $R$ gagne (1 et 2). $H$ contre $E$ : $H$ gagne (2 et 3). La préférence collective est $E \succ R \succ H \succ E$ : elle est intransitive, aucun projet ne bat tous les autres.
2) La majorité simple respecte Pareto, l'indépendance et l'absence de dictateur, mais viole l'universalité (elle ne donne pas toujours un classement transitif) : c'est une illustration du théorème d'impossibilité d'Arrow. Celui qui fixe l'ordre des votes détermine le résultat : en votant d'abord $R$ contre $H$, puis le gagnant contre $E$, c'est $E$ qui l'emporte.
L'essentiel — Production et bien-être
- Trois conditions de Pareto : $TMS^A = TMS^B$ (échange), $TMST^x = TMST^y$ (production), $TMT = TMS$ (combinaison des produits).
- $TMT = -dy/dx$ sur la FPP $= Cm_x / Cm_y$ ; FPP concave ⇔ coûts d'opportunité croissants.
- 1er théorème : tout équilibre concurrentiel est Pareto-optimal (hypothèses : concurrence, marchés complets, pas d'externalités ni de biens publics, information parfaite).
- 2e théorème : avec convexité, tout optimum est un équilibre concurrentiel après transferts forfaitaires.
- Efficacité ≠ équité ; fonctions de bien-être : utilitariste $U^A + U^B$, rawlsienne $\min(U^A, U^B)$, Nash $U^A U^B$.
- Optimum social = tangence entre la frontière des possibilités d'utilité et la plus haute courbe d'iso-bien-être.
- Arrow : pas de règle d'agrégation satisfaisant à la fois universalité, Pareto, indépendance et non-dictature ; paradoxe de Condorcet.
- Second rang : si une condition d'optimalité est violée, satisfaire les autres n'est pas forcément souhaitable.
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