La théorie des jeux

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• représenter un jeu sous forme normale (matrice) et sous forme extensive (arbre) ;
• éliminer les stratégies dominées et trouver un équilibre en stratégies dominantes ;
• déterminer les équilibres de Nash en stratégies pures et en stratégies mixtes ;
• résoudre un jeu séquentiel par induction à rebours (équilibre parfait en sous-jeux) ;
• expliquer comment la répétition du jeu permet la coopération.

6.1 Qu'est-ce qu'un jeu ?

La théorie des jeux, fondée par von Neumann et Morgenstern (1944) puis développée par John Nash (1950), étudie les situations d'interaction stratégique : le gain de chaque agent dépend de ses décisions et de celles des autres. Elle s'applique à l'oligopole (chapitre 7), aux négociations salariales, aux enchères, à la politique commerciale ou aux relations entre une administration et des contribuables.

Définition — Jeu : description d'une interaction par (1) un ensemble de joueurs, (2) l'ensemble des stratégies de chaque joueur, (3) les gains (paiements) de chaque joueur pour chaque combinaison de stratégies, (4) l'information dont dispose chaque joueur.

Un jeu est simultané si les joueurs décident sans connaître le choix des autres ; séquentiel s'ils jouent l'un après l'autre en observant les coups précédents. L'information est complète si chacun connaît les gains de tous.

6.2 La forme normale et la dominance

Un jeu simultané à deux joueurs se représente par une matrice : les lignes sont les stratégies du joueur 1, les colonnes celles du joueur 2, et chaque case contient le couple de gains (joueur 1 ; joueur 2).

Définition — Stratégie dominante : stratégie qui donne à un joueur un gain supérieur à celui de toute autre stratégie, quelle que soit la stratégie des autres joueurs.

Si chaque joueur a une stratégie dominante, la combinaison de ces stratégies est un équilibre en stratégies dominantes. Une stratégie dominée ne sera jamais jouée par un joueur rationnel : on peut l'éliminer et simplifier le jeu (élimination itérée des stratégies dominées).

Le dilemme du prisonnier est le jeu le plus célèbre : chaque joueur a une stratégie dominante (avouer, faire de la publicité, baisser son prix), mais l'équilibre obtenu est Pareto-dominé par la situation où les deux coopèrent. La rationalité individuelle conduit à un résultat collectivement inefficace.

6.3 L'équilibre de Nash

La plupart des jeux n'ont pas de stratégie dominante. Nash propose un concept plus général.

Définition — Équilibre de Nash : combinaison de stratégies telle qu'aucun joueur n'a intérêt à changer unilatéralement de stratégie, compte tenu des stratégies des autres. Chaque stratégie est une meilleure réponse aux autres.

Pour le trouver dans une matrice : pour chaque stratégie de l'adversaire, on souligne le meilleur gain du joueur ; une case où les deux gains sont soulignés est un équilibre de Nash. Un jeu peut avoir plusieurs équilibres (jeu de coordination : choisir la même norme technique) ou aucun en stratégies pures (jeu de pile ou face).

6.4 Les stratégies mixtes

Une stratégie mixte consiste à jouer chaque stratégie pure avec une certaine probabilité. Nash a démontré que tout jeu fini admet au moins un équilibre en stratégies mixtes.

À l'équilibre mixte, chaque joueur choisit ses probabilités de façon à rendre l'autre joueur indifférent entre ses stratégies pures. Sinon, l'autre jouerait sa meilleure stratégie pure avec certitude. C'est un résultat contre-intuitif : la probabilité choisie par un joueur dépend des gains de son adversaire, pas des siens.

Exemple typique : le contrôle fiscal ou douanier. Si l'administration contrôlait toujours, personne ne frauderait et les contrôles seraient inutiles ; si elle ne contrôlait jamais, tout le monde frauderait. L'équilibre combine des contrôles aléatoires et un taux de fraude positif.

6.5 Les jeux séquentiels et l'induction à rebours

Un jeu séquentiel se représente par un arbre (forme extensive) : chaque nœud est une décision, chaque branche une action, les gains figurent aux extrémités.

On le résout par induction à rebours : on commence par la dernière décision (le dernier joueur choisit sa meilleure action), puis on remonte. On obtient un équilibre parfait en sous-jeux (Selten, 1965), qui élimine les menaces non crédibles.

Exemple : une entreprise en place menace de déclencher une guerre des prix si un concurrent entre sur son marché. Si, une fois l'entrée réalisée, la guerre des prix lui coûte plus que l'accommodation, la menace n'est pas crédible : le concurrent, qui raisonne à rebours, entre. Pour rendre la menace crédible, l'entreprise doit s'engager à l'avance (capacités de production excédentaires, investissements irréversibles).

6.6 Les jeux répétés

Si le dilemme du prisonnier est joué un nombre fini et connu de fois, l'induction à rebours conduit à ne jamais coopérer. S'il est répété indéfiniment (ou sans date de fin connue), la coopération peut devenir un équilibre : chacun coopère tant que l'autre coopère et le punit s'il dévie (stratégie « donnant-donnant » ou stratégie de déclenchement). La coopération est soutenable si les joueurs accordent assez d'importance à l'avenir (facteur d'actualisation $\delta$ élevé) :

$$\frac{\text{gain de coopération}}{1 - \delta} \ge \text{gain de déviation} + \frac{\delta \times \text{gain de punition}}{1 - \delta}$$

Ce mécanisme explique la stabilité de certaines ententes, que les autorités de la concurrence (au Maroc, le Conseil de la concurrence) cherchent à détecter.

6.7 Méthode : résoudre un jeu

1. Identifier les joueurs, les stratégies, les gains et le caractère simultané ou séquentiel.
2. Jeu simultané : chercher les stratégies dominantes ; éliminer les stratégies dominées.
3. Souligner les meilleures réponses pour trouver les équilibres de Nash en stratégies pures.
4. S'il n'y en a pas (ou pour les trouver tous) : calculer l'équilibre mixte par la condition d'indifférence.
5. Jeu séquentiel : induction à rebours depuis les derniers nœuds ; vérifier la crédibilité des menaces.

Les pièges à éviter

• Confondre équilibre de Nash et optimum : un équilibre de Nash peut être Pareto-dominé.
• Calculer la probabilité d'un joueur à partir de ses gains : elle se calcule à partir des gains de l'adversaire.
• Croire qu'un équilibre de Nash est toujours unique.
• Oublier qu'une stratégie dominante doit être meilleure pour toutes les stratégies de l'autre.
• Dans un arbre, accepter une menace sans vérifier qu'elle est optimale au moment où elle doit être exécutée.