Chapitre 4 · Semestre 5

L'équilibre général d'une économie d'échange

Microéconomie Approfondie

Cours Exercices Résumé QCM

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

distinguer équilibre partiel et équilibre général ;

représenter une économie d'échange pur dans la boîte d'Edgeworth ;

définir l'optimum de Pareto et tracer la courbe des contrats ;

calculer un équilibre walrasien (prix relatifs, allocations) ;

énoncer et utiliser la loi de Walras.

4.1 De l'équilibre partiel à l'équilibre général

Les chapitres précédents étudiaient un marché à la fois, « toutes choses égales par ailleurs » : c'est l'équilibre partiel (Marshall). Or les marchés sont interdépendants : une hausse du prix du blé modifie la demande de pain, de farine, le revenu des agriculteurs, donc leur demande d'autres biens. L'équilibre général, formalisé par Léon Walras (1874), étudie la détermination simultanée de tous les prix et de toutes les quantités.

Définition — Équilibre général concurrentiel (walrasien) : système de prix et allocation tels que chaque consommateur maximise son utilité sous sa contrainte budgétaire, chaque producteur maximise son profit, et tous les marchés sont équilibrés (offre = demande).

Arrow et Debreu (1954) ont démontré l'existence d'un tel équilibre sous des hypothèses générales (préférences convexes et continues, rendements non croissants). Ce chapitre étudie le cas le plus simple : l'échange pur, sans production.

4.2 L'économie d'échange et la boîte d'Edgeworth

Deux consommateurs, A et B, possèdent des dotations initiales de deux biens : $\omega^A = (\omega_x^A, \omega_y^A)$ et $\omega^B = (\omega_x^B, \omega_y^B)$. Les quantités totales sont fixes : $\bar{x} = \omega_x^A + \omega_x^B$ et $\bar{y} = \omega_y^A + \omega_y^B$.

La boîte d'Edgeworth est un rectangle de largeur $\bar{x}$ et de hauteur $\bar{y}$. L'origine de A est en bas à gauche, celle de B en haut à droite. Chaque point de la boîte représente une allocation réalisable : ce que A ne consomme pas revient à B. On y trace les courbes d'indifférence des deux agents, celles de B étant « retournées ».

Au point de dotation initiale $\omega$, si les courbes d'indifférence se coupent, il existe une zone en forme de lentille où les deux agents sont mieux lotis : l'échange est mutuellement avantageux.

4.3 L'optimum de Pareto et la courbe des contrats

Définition — Optimum de Pareto : allocation réalisable à partir de laquelle on ne peut plus améliorer la situation d'un agent sans détériorer celle d'au moins un autre.

Dans la boîte d'Edgeworth, les optima de Pareto sont les points où les courbes d'indifférence de A et B sont tangentes :

$$\boxed{TMS_{x,y}^A = TMS_{x,y}^B}$$

L'ensemble de ces points forme la courbe des contrats, qui relie les deux origines. La partie de cette courbe située à l'intérieur de la lentille issue de $\omega$ s'appelle le noyau (ou cœur) : ce sont les allocations efficaces que les deux agents acceptent volontairement par rapport à leur dotation.

Il faut souligner que l'optimum de Pareto est un critère d'efficacité, pas de justice : l'allocation où A possède tout et B rien est un optimum de Pareto.

4.4 L'équilibre walrasien

Supposons maintenant que les deux agents échangent sur des marchés concurrentiels aux prix $p_x$ et $p_y$. Chacun vend sa dotation et la rachète : son revenu est la valeur de sa dotation $R^i = p_x \omega_x^i + p_y \omega_y^i$. Il choisit le panier qui maximise son utilité sous $p_x x^i + p_y y^i = R^i$.

À l'équilibre, la demande nette (ou excédentaire) de chaque bien est nulle :

$$z_x(p) = x^A(p) + x^B(p) - \bar{x} = 0 \qquad z_y(p) = y^A(p) + y^B(p) - \bar{y} = 0$$

Les demandes sont homogènes de degré 0 en prix : seul le prix relatif $p_x / p_y$ est déterminé. On choisit un numéraire dont le prix vaut 1.

À l'équilibre, chaque agent égalise son TMS au rapport des prix ; tous les agents ont donc le même TMS : l'équilibre walrasien est un optimum de Pareto (c'est le premier théorème du bien-être, étudié au chapitre 5).

4.5 La loi de Walras

En additionnant les contraintes budgétaires de tous les agents, on obtient pour tout système de prix :

$$\boxed{p_x\,z_x(p) + p_y\,z_y(p) = 0}$$

La valeur des demandes nettes est toujours nulle : si un marché est en excès de demande, un autre est forcément en excès d'offre. Conséquence pratique : avec $n$ marchés, si $n - 1$ sont équilibrés, le dernier l'est aussi. Il suffit donc de résoudre l'équilibre sur un seul marché dans une économie à deux biens.

Walras imaginait un commissaire-priseur qui annonce des prix, recueille les demandes nettes et ajuste : il augmente le prix des biens en excès de demande (processus de tâtonnement). La stabilité de ce processus n'est garantie que sous certaines conditions (substituabilité brute).

4.6 Méthode : calculer un équilibre d'échange

Choisir un numéraire (par exemple $p_y = 1$) et noter $p = p_x / p_y$.
Calculer le revenu de chaque agent : valeur de sa dotation.
Calculer ses demandes (fonctions de $p$).
Écrire l'équilibre d'un marché ; en déduire $p$ (loi de Walras pour l'autre marché).
Calculer les allocations, vérifier l'équilibre du second marché et l'égalité des TMS.
Comparer les utilités à celles de la dotation initiale.

Les pièges à éviter

Oublier que le revenu dépend des prix (valeur de la dotation), contrairement au chapitre 1.
Chercher des prix absolus : seul le prix relatif est déterminé.
Résoudre les deux marchés et trouver deux prix différents : c'est le signe d'une erreur de calcul (loi de Walras).
Confondre optimum de Pareto et allocation juste.
Oublier de vérifier que les allocations d'équilibre appartiennent à la boîte (quantités positives).

Exercice 1 — Échange entre un agriculteur du Gharb et un éleveur de l'Oriental

Un agriculteur (A) et un éleveur (B) échangent deux biens : du blé ($x$, en quintaux) et de la viande ($y$, en dizaines de kg). Dotations : $\omega^A = (9 ; 1)$, $\omega^B = (3 ; 5)$. Utilités : $U^A = x^A y^A$ et $U^B = x^B y^B$.

Travail à faire :

Calculez les TMS au point de dotation. L'échange est-il avantageux ? Dans quel sens ?
Déterminez l'équation de la courbe des contrats.
En prenant la viande comme numéraire ($p_y = 1$, $p_x = p$), calculez l'équilibre walrasien : prix relatif et allocations.
Vérifiez la loi de Walras et l'optimalité au sens de Pareto.
Comparez les utilités avant et après échange.

Voir le corrigé

1) $TMS^A = y^A / x^A = 1/9 \approx 0{,}11$ ; $TMS^B = y^B / x^B = 5/3 \approx 1{,}67$. Les TMS diffèrent : la dotation n'est pas un optimum de Pareto. B valorise davantage le blé (il céderait 1,67 unité de viande pour un quintal) que A (0,11) : A doit vendre du blé à B contre de la viande.

2) Optimum : $\dfrac{y^A}{x^A} = \dfrac{6 - y^A}{12 - x^A}$, soit $y^A(12 - x^A) = x^A(6 - y^A)$, d'où $12\,y^A = 6\,x^A$ :

$$y^A = \frac{x^A}{2}$$

La courbe des contrats est la diagonale de la boîte (préférences identiques et homothétiques).

3) Revenus : $R^A = 9p + 1$, $R^B = 3p + 5$. Avec $U = xy$, chaque agent dépense la moitié de son revenu pour chaque bien : $x^i = R^i / (2p)$, $y^i = R^i / 2$.

Équilibre du marché du blé : $\dfrac{9p + 1 + 3p + 5}{2p} = 12 \Rightarrow 12p + 6 = 24p \Rightarrow p = \mathbf{0{,}5}$.

Un quintal de blé s'échange contre une demi-unité de viande. Allocations :

$R^A = 5{,}5$ : $x^A = 5{,}5$, $y^A = 2{,}75$ ;
$R^B = 6{,}5$ : $x^B = 6{,}5$, $y^B = 3{,}25$.

A vend $9 - 5{,}5 = 3{,}5$ quintaux de blé et achète $1{,}75$ unité de viande, ce qui vaut bien $3{,}5 \times 0{,}5$.

4) Marché de la viande : $2{,}75 + 3{,}25 = 6 = \bar{y}$ (loi de Walras). Les TMS sont égaux : $2{,}75/5{,}5 = 3{,}25/6{,}5 = 0{,}5 = p$ , et l'allocation vérifie $y^A = x^A/2$ : elle est sur la courbe des contrats, c'est un optimum de Pareto.

5) $U^A$ passe de $9 \times 1 = 9$ à $5{,}5 \times 2{,}75 = \mathbf{15{,}125}$ ; $U^B$ passe de $3 \times 5 = 15$ à $6{,}5 \times 3{,}25 = \mathbf{21{,}125}$. Les deux agents gagnent à l'échange : l'équilibre appartient au noyau.

Exercice 2 — Préférences différentes

A a pour utilité $U^A = (x^A)^2 y^A$ et une dotation $(6 ; 0)$ ; B a pour utilité $U^B = x^B (y^B)^2$ et une dotation $(0 ; 6)$. On pose $p_y = 1$.

Calculez les demandes de chaque agent en fonction de $p = p_x$.
Déterminez l'équilibre walrasien.
Vérifiez l'égalité des TMS.

Voir le corrigé

1) A consacre 2/3 de son revenu $6p$ à $x$ : $x^A = (2/3)(6p)/p = 4$ et $y^A = (1/3)(6p) = 2p$. B consacre 1/3 de son revenu $6$ à $x$ : $x^B = 2/p$ et $y^B = 4$.

2) Marché de $x$ : $4 + 2/p = 6 \Rightarrow p = \mathbf{1}$. Allocations : A $(4 ; 2)$, B $(2 ; 4)$. Marché de $y$ : $2 + 4 = 6$ .

3) $TMS^A = 2y^A / x^A = 4/4 = 1$ ; $TMS^B = y^B / (2x^B) = 4/4 = 1$ ; égaux au prix relatif . Chaque agent consomme davantage du bien qu'il préfère.

Exercice 3 — Demandes nettes et tâtonnement

Dans l'économie de l'exercice du cours (blé et viande, $p_y = 1$), la demande nette de blé est $z_x(p) = \dfrac{12p + 6}{2p} - 12$.

Simplifiez $z_x(p)$ et déduisez $z_y(p)$ de la loi de Walras.
Le commissaire-priseur annonce $p = 1$. Quels sont les déséquilibres ? Comment doit-il ajuster le prix ?
Même question pour $p = 0{,}25$.

Voir le corrigé

1) $z_x(p) = 6 + 3/p - 12 = \mathbf{3/p - 6}$. Loi de Walras : $p\,z_x + z_y = 0$, d'où $z_y = -p\,z_x = \mathbf{6p - 3}$.

2) $z_x(1) = -3$ : excès d'offre de blé ; $z_y(1) = +3$ : excès de demande de viande. Le prix relatif du blé est trop élevé : il faut le baisser.

3) $z_x(0{,}25) = 12 - 6 = +6$ : excès de demande de blé ; $z_y = -1{,}5$. Il faut augmenter $p$. Le tâtonnement converge vers $p = 0{,}5$, où $z_x = z_y = 0$.

L'essentiel — Équilibre général d'échange

Équilibre partiel (un marché) ≠ équilibre général (tous les marchés simultanément, Walras 1874 ; existence : Arrow-Debreu 1954).
Boîte d'Edgeworth : dimensions = quantités totales ; chaque point = allocation réalisable.
Optimum de Pareto : impossible d'améliorer un agent sans en détériorer un autre ⇔ $TMS^A = TMS^B$.
Courbe des contrats : ensemble des optima ; noyau : partie acceptée par les deux agents par rapport à la dotation.
Revenu = valeur de la dotation : $R^i = p_x \omega_x^i + p_y \omega_y^i$.
Seul le prix relatif est déterminé ; on fixe un numéraire.
Loi de Walras : $p_x z_x + p_y z_y = 0$ ; avec 2 biens, un seul marché à résoudre.
À l'équilibre, $TMS^A = TMS^B = p_x / p_y$ : l'équilibre est Pareto-optimal.
Pareto = efficacité, pas équité.

S'entraîner sur des sujets réels

Des sujets réels de concours (master, licence d'excellence) avec une épreuve de Microéconomie Approfondie : énoncé complet et corrigé indicatif.

Voir les 28 sujets de concours en Microéconomie Approfondie →