La théorie du producteur : technologie, coûts et offre

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• caractériser une technologie : productivités, TMST, rendements d'échelle, élasticité de substitution ;
• résoudre le programme de minimisation du coût et obtenir les demandes conditionnelles de facteurs ;
• construire les fonctions de coût de long terme et de court terme ;
• déterminer l'offre de la firme concurrentielle et son seuil de fermeture ;
• utiliser la dualité production-coût (lemme de Shephard).

3.1 La technologie de production

La fonction de production $Q = f(K, L)$ donne la quantité maximale produite avec $K$ unités de capital et $L$ unités de travail. On en tire :

• les productivités marginales $f_K$ et $f_L$, supposées positives et décroissantes (loi des rendements factoriels décroissants) ;
• le taux marginal de substitution technique $TMST_{L,K} = f_L / f_K$, pente (en valeur absolue) de l'isoquante ;
• les rendements d'échelle : si $f(tK, tL) = t^{h} f(K, L)$, la fonction est homogène de degré $h$, avec des rendements croissants si $h > 1$, constants si $h = 1$, décroissants si $h < 1$.

Définition — Élasticité de substitution : $\sigma = \dfrac{d \ln (K/L)}{d \ln TMST}$, variation en pourcentage de l'intensité capitalistique quand le TMST varie de 1 %. Elle mesure la facilité avec laquelle on remplace un facteur par l'autre.

Technologie	Forme	Élasticité de substitution
Leontief (facteurs complémentaires)	$Q = \min(aK, bL)$	$\sigma = 0$
Cobb-Douglas	$Q = A K^{\alpha} L^{\beta}$	$\sigma = 1$
CES	$Q = A[\delta K^{-\rho} + (1 - \delta) L^{-\rho}]^{-h/\rho}$	$\sigma = 1/(1 + \rho)$
Linéaire (substituts parfaits)	$Q = aK + bL$	$\sigma \to \infty$

Pour une Cobb-Douglas, la somme $\alpha + \beta$ donne directement le degré d'homogénéité. Une estimation économétrique de cette fonction (cours d'économétrie, forme log-linéaire) permet de tester les rendements d'échelle d'une branche.

3.2 Minimiser le coût de production

L'entreprise achète ses facteurs sur des marchés concurrentiels : le loyer du capital $r$ et le salaire $w$ sont donnés. Pour produire $Q$ au moindre coût, elle résout :

$$\min_{K, L}\; rK + wL \quad \text{sous} \quad f(K, L) = Q$$

La condition d'optimalité égalise la pente de l'isoquante et celle de l'isocoût :

$$\boxed{TMST_{L,K} = \frac{f_L}{f_K} = \frac{w}{r}} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{f_L}{w} = \frac{f_K}{r}$$

Le dernier dirham dépensé doit rapporter la même production quel que soit le facteur. Les solutions $K^*(r, w, Q)$ et $L^*(r, w, Q)$ sont les demandes conditionnelles de facteurs (conditionnelles au niveau de production). La fonction de coût est $C(r, w, Q) = rK^* + wL^*$.

Définition — Lemme de Shephard (producteur) : $L^* = \partial C / \partial w$ et $K^* = \partial C / \partial r$. Comme pour le consommateur, la fonction valeur contient toute l'information sur les choix optimaux.

Cette dualité est symétrique de celle du chapitre 1 : la minimisation du coût joue le rôle de la minimisation de la dépense, et les demandes conditionnelles celui des demandes hicksiennes.

3.3 Rendements d'échelle et forme des coûts

À long terme, tous les facteurs sont variables. La forme du coût moyen de long terme $CM(Q) = C(Q)/Q$ reflète les rendements d'échelle :

• rendements croissants : $CM$ décroissant (économies d'échelle), fréquent dans les industries à forts coûts fixes (cimenterie, raffinage, télécommunications) ;
• rendements constants : $CM$ constant et égal au coût marginal ;
• rendements décroissants : $CM$ croissant (déséconomies d'échelle, coûts de coordination).

À court terme, le capital est fixé à $\bar{K}$ : le coût total se décompose en un coût fixe $r\bar{K}$ et un coût variable $wL(Q)$. La courbe de coût de court terme est toujours au-dessus de celle de long terme, sauf au point où $\bar{K}$ est précisément le capital optimal pour $Q$ : la courbe de long terme est l'enveloppe des courbes de court terme.

3.4 L'offre de la firme concurrentielle

En concurrence pure et parfaite, la firme est preneuse de prix et maximise son profit $\pi(Q) = pQ - C(Q)$. Les conditions sont :

• premier ordre : $p = Cm(Q)$ ;
• second ordre : $Cm$ croissant au point retenu ;
• condition de participation : à court terme, la firme produit si $p \ge \min CVM$ (seuil de fermeture) ; à long terme, si $p \ge \min CM$ (seuil de rentabilité).

La courbe d'offre de court terme est donc la partie croissante du coût marginal située au-dessus du minimum du coût variable moyen. On peut aussi résoudre directement la maximisation du profit en $K$ et $L$ : les conditions $p\,f_L = w$ et $p\,f_K = r$ (valeur de la productivité marginale égale au prix du facteur) donnent les demandes inconditionnelles de facteurs.

Lemme de Hotelling : si $\Pi(p, w, r)$ est la fonction de profit maximal, $\partial \Pi / \partial p = Q^*$ (offre) et $\partial \Pi / \partial w = -L^*$.

3.5 Méthode : de la fonction de production à l'offre

1. Calculer les productivités marginales, le TMST et le degré d'homogénéité.
2. Poser $TMST = w/r$ pour obtenir le sentier d'expansion (relation entre $K$ et $L$).
3. Remplacer dans $f(K, L) = Q$ : demandes conditionnelles, puis $C(Q)$.
4. Court terme : fixer $\bar{K}$, exprimer $L$ en fonction de $Q$, puis $CT = r\bar{K} + wL(Q)$, $Cm$, $CVM$.
5. Offre : $p = Cm$ sur la partie de $Cm$ supérieure au minimum du $CVM$ ; calculer le profit.

Les pièges à éviter

• Confondre rendements factoriels (un seul facteur varie) et rendements d'échelle (tous les facteurs varient dans la même proportion).
• Écrire $TMST = w/r$ en inversant le rapport : vérifier avec $f_L/w = f_K/r$.
• Chercher une offre de long terme avec une Cobb-Douglas à rendements constants : le coût marginal est constant, l'offre est horizontale au niveau $p = CM$, la taille de la firme est indéterminée.
• Oublier le coût fixe dans le profit de court terme (il n'influence pas la quantité, mais bien le profit).
• Confondre seuil de fermeture ($\min CVM$) et seuil de rentabilité ($\min CM$).