Les emprunts obligataires
🎯 Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :
- définir une obligation et son vocabulaire (nominal, prix d'émission, prix de remboursement, coupon) ;
- présenter le tableau d'un emprunt obligataire remboursable in fine ou par séries ;
- calculer le nombre d'obligations amorties chaque année et les annuités effectives ;
- calculer le taux de rendement actuariel pour le souscripteur et le coût pour l'émetteur ;
- évaluer une obligation sur le marché secondaire et expliquer le lien entre prix et taux.
9.1 Qu'est-ce qu'un emprunt obligataire ?
Une grande entreprise ou l'État qui a besoin de sommes importantes ne s'adresse pas à une seule banque : il divise l'emprunt en titres de faible montant, les obligations, souscrits par de nombreux prêteurs (banques, compagnies d'assurances, caisses de retraite, OPCVM, particuliers).
Définition — Obligation. Titre de créance négociable, représentant une fraction d'un emprunt, qui donne à son porteur le droit de recevoir des intérêts périodiques (coupons) et le remboursement du capital selon les conditions fixées à l'émission.
Au Maroc, le Trésor émet des bons du Trésor par adjudication, et les grandes entreprises (offices publics, banques, groupes cotés) émettent des obligations sous le contrôle de l'AMMC, qui vise le prospectus d'émission. Les obligations peuvent être cotées à la Bourse de Casablanca ou négociées de gré à gré.
9.2 Le vocabulaire
| Élément | Notation | Définition |
|---|---|---|
| Nombre d'obligations | $N$ | Nombre de titres émis |
| Valeur nominale | $C$ | Montant sur lequel sont calculés les intérêts |
| Prix d'émission | $E$ | Prix payé par le souscripteur ; au pair si $E = C$ ; au-dessous du pair si $E < C$ (prime d'émission $C - E$) |
| Prix de remboursement | $R$ | Somme remboursée par titre ; au pair si $R = C$ ; au-dessus du pair si $R > C$ (prime de remboursement $R - C$) |
| Taux nominal | $i$ | Taux facial, appliqué au nominal |
| Coupon | $c = C \times i$ | Intérêt annuel par obligation |
| Date de jouissance | Date à partir de laquelle les intérêts courent |
Les primes d'émission et de remboursement augmentent le rendement du souscripteur au-delà du taux nominal : elles servent à rendre l'emprunt attractif sans afficher un taux élevé.
9.3 Les modes de remboursement
- In fine (le plus fréquent aujourd'hui) : coupons annuels, remboursement de toutes les obligations à l'échéance.
- Par séries, avec annuités constantes : chaque année, un certain nombre d'obligations, désignées par tirage au sort, est remboursé ; l'annuité (coupons + remboursements) est à peu près constante.
- Par séries, avec amortissements constants : le même nombre d'obligations est remboursé chaque année.
9.4 L'emprunt obligataire in fine
Chaque année, l'émetteur verse $N \times c$ de coupons ; à l'échéance, il verse en plus $N \times R$.
Exemple : 20 000 obligations de nominal 1 000 DH, taux 5 %, remboursables au pair dans 5 ans. Coupons annuels : $20\,000 \times 50 = 1\,000\,000$ DH ; la 5ᵉ année, l'émetteur verse $1\,000\,000 + 20\,000\,000 = 21\,000\,000$ DH.
9.5 L'emprunt remboursé par séries à annuités constantes (au pair)
Tout se passe comme pour un emprunt indivis de montant $N \times C$ (chapitre 7), mais les amortissements doivent correspondre à un nombre entier d'obligations.
$$a = N\,C \times \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}} \qquad N_1 = N \times \frac{i}{(1+i)^n - 1} \qquad N_{k+1} = N_k\,(1+i)$$
Les nombres théoriques $N_k$ ne sont pas entiers : on les arrondit en veillant à ce que leur somme soit égale à $N$. Les annuités effectives (coupons sur les obligations vivantes + remboursements) sont alors seulement voisines de l'annuité théorique.
Exemple : 10 000 obligations de 500 DH, taux 6 %, remboursables au pair en 5 ans par annuités constantes.
$$a = 5\,000\,000 \times \frac{0{,}06}{1 - 1{,}06^{-5}} \approx 1\,186\,982\ DH \qquad N_1 = 10\,000 \times \frac{0{,}06}{1{,}06^5 - 1} \approx 1\,773{,}96$$
| Année | Obligations vivantes | Coupons (30 DH par titre) | Obligations amorties | Remboursement | Annuité effective |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 10 000 | 300 000 | 1 774 | 887 000 | 1 187 000 |
| 2 | 8 226 | 246 780 | 1 880 | 940 000 | 1 186 780 |
| 3 | 6 346 | 190 380 | 1 993 | 996 500 | 1 186 880 |
| 4 | 4 353 | 130 590 | 2 113 | 1 056 500 | 1 187 090 |
| 5 | 2 240 | 67 200 | 2 240 | 1 120 000 | 1 187 200 |
| Total | 10 000 | 5 000 000 |
(Nombres théoriques : 1 773,96 ; 1 880,40 ; 1 993,23 ; 2 112,82 ; 2 239,59, arrondis à l'entier le plus proche.)
9.6 Le taux de rendement actuariel
Pour le souscripteur, le taux de rendement actuariel $t$ est le taux qui égalise le prix payé et la valeur actuelle de ce qu'il recevra :
$$\boxed{E = c \times \frac{1 - (1+t)^{-n}}{t} + R\,(1+t)^{-n}} \quad (\text{obligation in fine})$$
Si $E = C = R$ (émission et remboursement au pair), $t = i$. Une prime d'émission ou de remboursement porte $t$ au-dessus du taux nominal.
Pour l'émetteur, le coût actuariel se calcule de la même façon, mais à partir de la somme nette qu'il encaisse (prix d'émission moins frais d'émission : commissions des banques, frais de publicité, visa) : il est supérieur au rendement du souscripteur.
9.7 Le prix d'une obligation sur le marché secondaire
Après l'émission, l'obligation s'échange sur le marché à un prix qui dépend des taux du moment. Son prix est la valeur actuelle, au taux du marché $t_m$, des flux restant à recevoir :
$$P = c \times \frac{1 - (1+t_m)^{-n'}}{t_m} + R\,(1+t_m)^{-n'}$$
($n'$ = nombre d'années restant à courir, juste après le paiement d'un coupon).
Relation fondamentale : quand les taux montent, le prix des obligations existantes baisse, et inversement. Une obligation à 5 % devient moins attrayante si de nouvelles obligations rapportent 6 % : son prix doit baisser jusqu'à offrir, elle aussi, un rendement de 6 %. C'est le risque de taux supporté par les détenteurs d'obligations.
9.8 Méthode : traiter un exercice d'emprunt obligataire
- Relever $N$, $C$, $E$, $R$, $i$, $n$ et le mode de remboursement.
- Calculer le coupon $c = C \times i$ (toujours sur le nominal).
- Pour un remboursement par séries : calculer $a$ et $N_1$, puis les $N_k$, arrondir en respectant $\sum N_k = N$, et présenter le tableau avec les annuités effectives.
- Pour un taux actuariel : écrire l'équation d'équivalence et procéder par essais et interpolation.
- Pour un prix de marché : actualiser les flux restants au taux du marché.
⚠️ Les pièges à éviter
- Calculer le coupon sur le prix d'émission ou de remboursement : il porte sur le nominal.
- Oublier que les coupons de l'année $k$ portent sur les obligations encore vivantes en début d'année.
- Arrondir les $N_k$ sans vérifier que leur somme est égale à $N$.
- Confondre le rendement du souscripteur (à partir de $E$) et le coût de l'émetteur (à partir de $E$ moins les frais).
- Croire que le prix d'une obligation est fixe : il varie en sens inverse des taux.
Exercice 1 — L'émission obligataire d'Atlas Énergie
La société « Atlas Énergie » émet 20 000 obligations de nominal 1 000 DH, au prix de 980 DH, remboursables au pair in fine dans 5 ans. Taux nominal : 5 % ; coupon annuel.
Travail à faire :
- Calculez le montant brut levé, la prime d'émission par titre, le coupon annuel par obligation et la charge annuelle de coupons pour l'émetteur.
- Calculez le taux de rendement actuariel pour un souscripteur (sachant que la valeur actuelle des flux est de 982,87 DH à 5,4 % et de 978,65 DH à 5,5 %).
- Les frais d'émission s'élèvent à 10 DH par titre, supportés par l'émetteur. Calculez son coût actuariel (valeur actuelle des flux : 970,27 DH à 5,7 % et 966,12 DH à 5,8 %).
- Deux ans plus tard, juste après le paiement du coupon, le taux du marché pour ce type de titre est de 6 %. À quel prix l'obligation se négocie-t-elle ? Expliquez.
Voir le corrigé
1) Données de l'émission
- Montant brut levé : $20\,000 \times 980 = \mathbf{19\,600\,000\ DH}$ ;
- Prime d'émission : $1\,000 - 980 = \mathbf{20\ DH}$ par titre ;
- Coupon : $1\,000 \times 5\,\% = \mathbf{50\ DH}$ par obligation ;
- Charge annuelle de coupons : $20\,000 \times 50 = \mathbf{1\,000\,000\ DH}$ (calculée sur le nominal, pas sur les 980 DH encaissés).
2) Taux de rendement actuariel du souscripteur
On cherche $t$ tel que $980 = 50 \times \dfrac{1 - (1+t)^{-5}}{t} + 1\,000\,(1+t)^{-5}$.
$$t \approx 5{,}4\,\% + 0{,}1\,\% \times \frac{982{,}87 - 980}{982{,}87 - 978{,}65} \approx \mathbf{5{,}47\,\%}$$
Grâce à la prime d'émission de 20 DH, le souscripteur obtient 5,47 %, plus que le taux nominal de 5 %.
3) Coût actuariel pour l'émetteur
L'émetteur ne reçoit que $980 - 10 = 970$ DH par titre. On cherche $t$ tel que la valeur actuelle des flux versés égale 970 DH :
$$t \approx 5{,}7\,\% + 0{,}1\,\% \times \frac{970{,}27 - 970}{970{,}27 - 966{,}12} \approx \mathbf{5{,}71\,\%}$$
Les frais d'émission augmentent le coût de l'emprunt d'environ 0,24 point par rapport au rendement du souscripteur.
4) Prix sur le marché secondaire
Il reste 3 coupons de 50 DH et le remboursement de 1 000 DH. Au taux du marché de 6 % :
$$P = 50 \times \frac{1 - 1{,}06^{-3}}{0{,}06} + 1\,000 \times 1{,}06^{-3} \approx 133{,}65 + 839{,}62 = \mathbf{973{,}27\ DH}$$
Le prix est inférieur au nominal : les taux du marché (6 %) dépassent le taux de l'obligation (5 %), si bien qu'un acheteur n'accepte de la détenir que si son prix baisse jusqu'à lui offrir un rendement de 6 %. C'est le risque de taux.
Exercice 2 — Remboursement par séries égales
Une société émet 6 000 obligations de nominal 1 000 DH, au taux de 7 %, remboursables au pair en 4 ans, par séries égales (même nombre d'obligations chaque année).
- Combien d'obligations sont remboursées chaque année ?
- Présentez le tableau d'amortissement de l'emprunt.
Voir le corrigé
1) $6\,000 / 4 = \mathbf{1\,500}$ obligations par an.
2) Coupon : 70 DH par obligation vivante.
| Année | Obligations vivantes | Coupons | Obligations remboursées | Remboursement | Annuité |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 000 | 420 000 | 1 500 | 1 500 000 | 1 920 000 |
| 2 | 4 500 | 315 000 | 1 500 | 1 500 000 | 1 815 000 |
| 3 | 3 000 | 210 000 | 1 500 | 1 500 000 | 1 710 000 |
| 4 | 1 500 | 105 000 | 1 500 | 1 500 000 | 1 605 000 |
| Total | 1 050 000 | 6 000 | 6 000 000 | 7 050 000 |
Les annuités décroissent de $1\,500 \times 70 = 105\,000$ DH par an, comme dans un emprunt indivis à amortissements constants.
Exercice 3 — Obligation remboursée au-dessus du pair
Une obligation de nominal 1 000 DH est émise au pair, au taux de 6 %, remboursable in fine dans 4 ans au prix de 1 050 DH.
- Calculez le taux de rendement actuariel (la valeur actuelle des flux est de 1 000,83 DH à 7,1 % et de 997,40 DH à 7,2 %).
- Un an plus tard, juste après le premier coupon, le taux du marché est tombé à 5 %. Quel est le prix de l'obligation ?
Voir le corrigé
1) On cherche $t$ tel que $1\,000 = 60 \times \dfrac{1 - (1+t)^{-4}}{t} + 1\,050\,(1+t)^{-4}$. $t \approx 7{,}1\,\% + 0{,}1\,\% \times \dfrac{1\,000{,}83 - 1\,000}{1\,000{,}83 - 997{,}40} \approx \mathbf{7{,}12\,\%}$. La prime de remboursement de 50 DH ajoute plus d'un point au taux nominal.
2) Il reste 3 coupons de 60 DH et le remboursement de 1 050 DH : $P = 60 \times \dfrac{1 - 1{,}05^{-3}}{0{,}05} + 1\,050 \times 1{,}05^{-3} \approx \mathbf{1\,070{,}42\ DH}$. Les taux ont baissé : le prix de l'obligation monte.
L'essentiel — Les emprunts obligataires
- Emprunt divisé en titres (obligations) souscrits par de nombreux prêteurs ; au Maroc : bons du Trésor, obligations d'entreprises visées par l'AMMC.
- Vocabulaire : nominal $C$, prix d'émission $E$ (prime d'émission $C - E$), prix de remboursement $R$ (prime de remboursement $R - C$), taux nominal $i$, coupon $c = C \times i$ (toujours sur le nominal).
- Remboursement in fine (coupons puis remboursement total à l'échéance) ou par séries (tirage au sort), à annuités ou à amortissements constants.
- Séries à annuités constantes (au pair) : $a = NC\,\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$, $N_1 = N\,\dfrac{i}{(1+i)^n - 1}$, $N_{k+1} = N_k(1+i)$ ; arrondir les $N_k$ avec $\sum N_k = N$ ; annuités effectives voisines de l'annuité théorique.
- Taux de rendement actuariel du souscripteur : $E = c\,\dfrac{1-(1+t)^{-n}}{t} + R(1+t)^{-n}$ ; primes → rendement > taux nominal.
- Coût actuariel de l'émetteur : même équation avec la somme nette encaissée (après frais) : coût > rendement du souscripteur.
- Prix de marché : valeur actuelle des flux restants au taux du marché ; les prix baissent quand les taux montent (risque de taux).
📚S'entraîner sur des sujets réels
Des sujets réels de concours (master, licence d'excellence) avec une épreuve de Mathématiques Financières : énoncé complet et corrigé indicatif.
- 2014Actuariat & FinanceFSJES Agdal · Rabat
- 2013Finance/Comptabilité & Management Audit ContrôleFSJES Kénitra · Kénitra
- 2011Comptabilité, Contrôle et Audit (CCA)FSJES Souissi · Rabat
- —FinanceENCG Settat · Settat