Chapitre 1 · Semestre 2

L'intérêt simple

Mathématiques Financières

Cours Exercices Résumé QCM

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

calculer un intérêt simple et une valeur acquise ;

compter les jours entre deux dates selon les usages bancaires ;

retrouver un taux, une durée ou un capital inconnu ;

utiliser les taux proportionnels et calculer un taux moyen de placement ;

distinguer intérêt post-compté et intérêt précompté, et calculer un taux effectif.

1.1 La notion d'intérêt

Prêter de l'argent, c'est renoncer à l'utiliser pendant un certain temps et prendre un risque. L'intérêt est la rémunération de ce renoncement : c'est le loyer de l'argent. Il dépend de trois éléments :

le capital placé ou prêté, noté $C$ (ou $C_0$) ;
le taux d'intérêt, noté $t$ (ou $i$), exprimé en pourcentage par période (en général par an) ;
la durée du placement, notée $n$ (en années) ou $j$ (en jours).

Définition — Intérêt simple. L'intérêt est dit simple lorsqu'il est calculé uniquement sur le capital initial, pendant toute la durée du placement : les intérêts produits ne rapportent pas eux-mêmes d'intérêts. Il est utilisé pour les opérations à court terme (moins d'un an) : comptes à terme, escompte, crédits de trésorerie.

1.2 La formule fondamentale

$$\boxed{I = C \times t \times n}$$

où $n$ est la durée exprimée dans la même unité que le taux. Pour un taux annuel :

Durée donnée en…	Formule
années	$I = C \times t \times n$
mois	$I = C \times t \times \dfrac{m}{12}$
jours	$I = C \times t \times \dfrac{j}{360}$

La valeur acquise est le capital augmenté de ses intérêts :

$$\boxed{V_n = C + I = C\,(1 + t\,n)}$$

Exemple : 50 000 DH placés à 4 % pendant 9 mois rapportent $I = 50\,000 \times 0{,}04 \times \dfrac{9}{12} = 1\,500$ DH ; la valeur acquise est de 51 500 DH.

Année commerciale. Les banques marocaines, comme l'usage des examens, retiennent l'année de 360 jours. Cette convention favorise le prêteur : un taux de 6 % appliqué sur 365 jours réels rapporte $365 / 360$ fois l'intérêt « annuel ».

1.3 Compter les jours entre deux dates

On compte le nombre exact de jours du calendrier, en excluant le jour du dépôt et en incluant le jour du retrait (ou l'inverse, mais jamais les deux).

Exemple : du 15 mars au 28 juillet.

Mois	Jours retenus
Mars (du 16 au 31)	16
Avril	30
Mai	31
Juin	30
Juillet (jusqu'au 28)	28
Total	135 jours

Rappel des longueurs de mois : 31 jours en janvier, mars, mai, juillet, août, octobre, décembre ; 30 jours en avril, juin, septembre, novembre ; 28 jours en février (29 les années bissextiles).

Certaines banques ajoutent des jours de valeur (un ou deux jours de décalage entre la date de l'opération et la date à laquelle elle est prise en compte pour les intérêts) : l'énoncé les précise.

1.4 Retrouver un élément inconnu

La formule $I = C\,t\,n$ contient quatre grandeurs : trois connues permettent de trouver la quatrième.

$$C = \frac{I}{t\,n} \qquad t = \frac{I}{C\,n} \qquad n = \frac{I}{C\,t}$$

Exemple : quelle durée faut-il pour que 80 000 DH placés à 6 % rapportent 1 600 DH ?

$$n = \frac{1\,600}{80\,000 \times 0{,}06} = \frac{1}{3}\ \text{an} = 120\ \text{jours}$$

Exemple : quel capital, placé à 5 % pendant 72 jours, a une valeur acquise de 40 400 DH ?

$$C = \frac{V_n}{1 + t\,n} = \frac{40\,400}{1 + 0{,}05 \times 72 / 360} = \frac{40\,400}{1{,}01} = 40\,000\ DH$$

1.5 Les taux proportionnels

Deux taux sont proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport des durées de leurs périodes. En intérêt simple, un taux annuel $t$ correspond à :

$$t_{semestriel} = \frac{t}{2} \qquad t_{trimestriel} = \frac{t}{4} \qquad t_{mensuel} = \frac{t}{12}$$

Placer 10 000 DH à 1 % par mois pendant 6 mois ou à 12 % par an pendant 6 mois donne le même intérêt (600 DH) : en intérêt simple, les taux proportionnels sont équivalents. Ce ne sera plus vrai en intérêt composé (chapitre 3).

1.6 Le taux moyen de plusieurs placements

Un épargnant place plusieurs capitaux $C_k$, à des taux $t_k$, pendant des durées $j_k$. Le taux moyen est le taux unique $T$ qui, appliqué à tous les placements, donnerait le même intérêt total :

$$\boxed{T = \frac{\sum C_k\,t_k\,j_k}{\sum C_k\,j_k}}$$

C'est une moyenne des taux pondérée par les produits $C_k \times j_k$ (et non une simple moyenne des taux).

1.7 La méthode des nombres et du diviseur fixe

Pour calculer rapidement les intérêts de plusieurs capitaux placés au même taux, les praticiens utilisent :

$$N = C \times j \ (\text{le « nombre »}) \qquad D = \frac{36\,000}{t} \ (\text{le « diviseur fixe », } t \text{ en \%}) \qquad \boxed{I = \frac{\sum N}{D}}$$

Exemple : trois capitaux au taux de 6 % : 12 000 DH pendant 40 jours, 8 500 DH pendant 75 jours et 20 000 DH pendant 18 jours. Nombres : 480 000 ; 637 500 ; 360 000 ; total 1 477 500. Diviseur : $36\,000 / 6 = 6\,000$. Intérêt total : $1\,477\,500 / 6\,000 = 246{,}25$ DH. Cette méthode est à la base des comptes courants et d'intérêts tenus par les banques.

1.8 Intérêt post-compté et intérêt précompté

Intérêt post-compté (cas normal) : l'emprunteur reçoit $C$ et rembourse $C + I$ à l'échéance.
Intérêt précompté : l'intérêt est retenu dès le départ. L'emprunteur reçoit $C - I$ et rembourse $C$ à l'échéance.

Avec l'intérêt précompté, l'emprunteur paie le même intérêt pour une somme plus faible : le coût réel est supérieur au taux affiché. On calcule le taux effectif :

$$\boxed{t_{effectif} = \frac{I}{(C - I) \times n}}$$

Exemple : un prêt de 50 000 DH sur 9 mois à 8 % précompté. $I = 50\,000 \times 0{,}08 \times 9/12 = 3\,000$ DH. L'emprunteur reçoit 47 000 DH et rembourse 50 000 DH.

$$t_{effectif} = \frac{3\,000}{47\,000 \times 9/12} \approx 8{,}51\,\%$$

1.9 Méthode : résoudre un exercice d'intérêt simple

Identifier les données : capital, taux (annuel ? mensuel ?), durée (dates ? mois ? jours ?).
Convertir la durée dans l'unité du taux (jours / 360 pour un taux annuel).
Écrire la formule avant de remplacer ($I = C t n$ ou $V_n = C(1 + tn)$).
Pour un inconnu, isoler algébriquement avant de calculer.
Vérifier l'ordre de grandeur : un intérêt sur quelques mois ne représente que quelques pour cent du capital.

Les pièges à éviter

Multiplier un taux annuel par une durée en mois ou en jours sans diviser par 12 ou 360.
Compter à la fois le jour de départ et le jour d'arrivée (un jour de trop).
Faire la moyenne simple des taux au lieu du taux moyen pondéré.
Oublier que l'intérêt précompté réduit la somme réellement reçue : le taux effectif dépasse le taux nominal.
Écrire $t = 5$ au lieu de $t = 0{,}05$ dans $I = C\,t\,n$ (sauf dans la méthode du diviseur fixe, où $t$ est en %).

Exercice 1 — Les placements d'un commerçant de Fès

Un commerçant de Fès dispose de trésorerie excédentaire.

Partie A. Il place trois sommes : 20 000 DH à 5 % pendant 90 jours ; 35 000 DH à 4,5 % pendant 120 jours ; 45 000 DH à 6 % pendant 60 jours.

Calculez l'intérêt de chaque placement et l'intérêt total.
Calculez le taux moyen de ces placements et vérifiez-le.

Partie B. Il place 60 000 DH du 15 mars au 28 juillet au taux de 4,8 %. 3. Calculez la durée du placement, l'intérêt et la valeur acquise.

Partie C. Pour financer un stock, il emprunte 50 000 DH pour 9 mois au taux de 8 %, intérêts précomptés. 4. Quelle somme reçoit-il réellement ? Quel est le taux effectif de ce crédit ?

Partie D. 5. Combien de jours faut-il pour que 80 000 DH placés à 6 % rapportent 1 600 DH ?

Voir le corrigé

1) Intérêts de la partie A

$$I_1 = 20\,000 \times 0{,}05 \times \frac{90}{360} = 250\ DH \qquad I_2 = 35\,000 \times 0{,}045 \times \frac{120}{360} = 525\ DH \qquad I_3 = 45\,000 \times 0{,}06 \times \frac{60}{360} = 450\ DH$$

Intérêt total : $250 + 525 + 450 = \mathbf{1\,225\ DH}$.

2) Taux moyen

$$T = \frac{20\,000 \times 5 \times 90 + 35\,000 \times 4{,}5 \times 120 + 45\,000 \times 6 \times 60}{20\,000 \times 90 + 35\,000 \times 120 + 45\,000 \times 60} = \frac{44\,100\,000}{8\,700\,000} \approx \mathbf{5{,}069\,\%}$$

Vérification : $\dfrac{\sum C_k\,j_k \times T}{36\,000} = \dfrac{8\,700\,000 \times 5{,}069}{36\,000} \approx 1\,225$ DH . La moyenne simple des taux ($5{,}17\,\%$) aurait été fausse.

3) Partie B

Durée : $16 + 30 + 31 + 30 + 28 = \mathbf{135\ jours}$ (du 16 au 31 mars, avril, mai, juin, puis 28 jours de juillet).

$$I = 60\,000 \times 0{,}048 \times \frac{135}{360} = \mathbf{1\,080\ DH} \qquad V_n = 60\,000 + 1\,080 = \mathbf{61\,080\ DH}$$

4) Partie C — intérêt précompté

$$I = 50\,000 \times 0{,}08 \times \frac{9}{12} = 3\,000\ DH$$

Le commerçant reçoit $50\,000 - 3\,000 = \mathbf{47\,000\ DH}$ et rembourse 50 000 DH dans 9 mois.

$$t_{effectif} = \frac{3\,000}{47\,000 \times 9/12} \approx \mathbf{8{,}51\,\%}$$

Le taux réel dépasse le taux affiché de 0,51 point, parce que l'intérêt est payé sur 50 000 DH alors que le commerçant ne dispose que de 47 000 DH.

5) Partie D

$$n = \frac{1\,600}{80\,000 \times 0{,}06} = \frac{1}{3}\ \text{an} = \frac{360}{3} = \mathbf{120\ jours}$$

Exercice 2 — Retrouver un capital et répartir deux placements

Un capital placé à 7,2 % pendant 50 jours a une valeur acquise de 20 200 DH. Quel est ce capital ?
Deux capitaux dont la somme est de 90 000 DH sont placés pendant un an, le premier à 5 %, le second à 6 %. Ils rapportent ensemble 5 000 DH d'intérêts. Calculez chaque capital.
Combien d'années faut-il, en intérêt simple, pour doubler un capital placé à 8 % ?

Voir le corrigé

1) $C = \dfrac{20\,200}{1 + 0{,}072 \times 50 / 360} = \dfrac{20\,200}{1{,}01} = \mathbf{20\,000\ DH}$.

2) Soit $C_1$ et $C_2$ : $C_1 + C_2 = 90\,000$ et $0{,}05\,C_1 + 0{,}06\,C_2 = 5\,000$. En remplaçant $C_1 = 90\,000 - C_2$ : $4\,500 + 0{,}01\,C_2 = 5\,000$, d'où $C_2 = \mathbf{50\,000\ DH}$ et $C_1 = \mathbf{40\,000\ DH}$. Vérification : $2\,000 + 3\,000 = 5\,000$ .

3) Doubler, c'est obtenir $I = C$ : $C = C \times 0{,}08 \times n$, soit $n = 1 / 0{,}08 = \mathbf{12{,}5\ ans}$.

Exercice 3 — Dépôt à terme et taux effectif

Un épargnant de Rabat dépose 30 000 DH le 10 janvier et les retire le 25 avril (année non bissextile), au taux de 3,6 %. Calculez la durée, l'intérêt et le taux mensuel proportionnel.
Une banque propose un crédit de 120 000 DH sur 6 mois à 9 %, intérêts précomptés, avec 600 DH de frais de dossier retenus au départ. Calculez la somme réellement reçue et le taux effectif.

Voir le corrigé

1) Durée : janvier (du 11 au 31) 21 jours + février 28 + mars 31 + avril 25 = 105 jours. Intérêt : $30\,000 \times 0{,}036 \times 105 / 360 = \mathbf{315\ DH}$. Taux mensuel proportionnel : $3{,}6\,\% / 12 = \mathbf{0{,}3\,\%}$.

2) Intérêt : $120\,000 \times 0{,}09 \times 6/12 = 5\,400$ DH. Somme reçue : $120\,000 - 5\,400 - 600 = \mathbf{114\,000\ DH}$. Coût total : $6\,000$ DH pour 114 000 DH disponibles pendant 6 mois :

$$t_{effectif} = \frac{6\,000}{114\,000 \times 6/12} \approx \mathbf{10{,}53\,\%}$$

Les frais et le précompte font passer le coût réel de 9 % à plus de 10,5 %.

L'essentiel — L'intérêt simple

Intérêt simple : calculé sur le seul capital initial ; utilisé pour le court terme.
$I = C \times t \times n$, avec $n$ dans l'unité du taux : $n = m/12$ (mois) ou $j/360$ (jours, année commerciale).
Valeur acquise : $V_n = C\,(1 + t\,n)$.
Décompte des jours : jours exacts du calendrier, jour de départ exclu, jour d'échéance inclus.
Inconnues : $C = \dfrac{I}{tn}$, $t = \dfrac{I}{Cn}$, $n = \dfrac{I}{Ct}$ ; capital à partir de la valeur acquise : $C = \dfrac{V_n}{1 + tn}$.
Taux proportionnels : $t/2$, $t/4$, $t/12$ ; en intérêt simple, ils sont équivalents.
Taux moyen : $T = \dfrac{\sum C_k t_k j_k}{\sum C_k j_k}$ (moyenne pondérée, pas moyenne simple).
Méthode des nombres : $N = C \times j$, diviseur $D = 36\,000 / t$ ($t$ en %), $I = \sum N / D$.
Intérêt précompté : l'emprunteur reçoit $C - I$ ; taux effectif $= \dfrac{I}{(C - I)\,n}$, supérieur au taux nominal.

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