L'intérêt simple
1.1 Définition
L'intérêt simple est la rémunération d'un capital prêté ou placé, calculée uniquement sur le capital initial, pour une opération de courte durée (en général ≤ 1 an) : les intérêts ne produisent pas eux-mêmes d'intérêts.
$$I = C \times t \times n$$
où $C$ = capital initial (DH), $t$ = taux d'intérêt annuel (en proportion décimale), $n$ = durée en années.
1.2 Adaptation de la durée
| Durée exprimée en | Formule de l'intérêt |
|---|---|
| Années | $I = C \times t \times n$ |
| Mois | $I = \dfrac{C \times t \times n}{12}$ |
| Jours (année commerciale 360 j) | $I = \dfrac{C \times t \times n}{360}$ |
📌 En pratique bancaire marocaine, l'usage commercial retient l'année de 360 jours (méthode dite « banquière ») pour le calcul en jours.
1.3 La valeur acquise
$$\boxed{C_n = C + I = C(1 + t \times n)}$$
1.4 Le taux moyen de plusieurs placements
Pour des capitaux $C_1, C_2, ..., C_k$ placés à des taux différents $t_1, t_2, ..., t_k$ pendant des durées $n_1, n_2, ..., n_k$ :
$$t_{moyen} = \frac{C_1 t_1 n_1 + C_2 t_2 n_2 + \dots + C_k t_k n_k}{C_1 n_1 + C_2 n_2 + \dots + C_k n_k}$$
Exercice 1
Un particulier place 80 000 DH à intérêt simple au taux annuel de 6 % pendant 90 jours (année commerciale de 360 jours).
Travail à faire :
- Calculez l'intérêt produit.
- Calculez la valeur acquise à l'échéance.
- À quel taux aurait-il fallu placer ce capital pendant 5 mois pour obtenir le même intérêt que celui calculé en (1) ?
Voir le corrigé
1) Intérêt : $$I = \frac{80\,000 \times 0{,}06 \times 90}{360} = 1\,200 \text{ DH}$$
2) Valeur acquise : $$C_n = 80\,000 + 1\,200 = 81\,200 \text{ DH}$$
3) Taux pour un placement de 5 mois donnant le même intérêt : $$1\,200 = \frac{80\,000 \times t \times 5}{12} \Rightarrow t = \frac{1\,200 \times 12}{80\,000 \times 5} = 0{,}036 = 3{,}6\%$$
Exercice 2 — Taux moyen et capital initial
- Un épargnant place 20 000 DH à 5 % pendant 60 jours, 30 000 DH à 6 % pendant 90 jours et 50 000 DH à 4 % pendant 120 jours. Calculez l'intérêt total puis le taux moyen de ces placements.
- Un capital placé à 9 % pendant 100 jours a une valeur acquise de 51 250 DH. Retrouvez ce capital.
Voir le corrigé
1) Intérêts :
$$I_1 = \frac{20\,000 \times 0{,}05 \times 60}{360} = 166{,}67 \qquad I_2 = \frac{30\,000 \times 0{,}06 \times 90}{360} = 450 \qquad I_3 = \frac{50\,000 \times 0{,}04 \times 120}{360} = 666{,}67$$
Intérêt total $= 1\,283{,}33$ DH.
$$t_m = \frac{20\,000 \times 0{,}05 \times 60 + 30\,000 \times 0{,}06 \times 90 + 50\,000 \times 0{,}04 \times 120}{20\,000 \times 60 + 30\,000 \times 90 + 50\,000 \times 120} = \frac{462\,000}{9\,900\,000} \approx 4{,}67\%$$
2) $C \times \left(1 + 0{,}09 \times \dfrac{100}{360}\right) = C \times 1{,}025 = 51\,250 \Rightarrow C = 50\,000$ DH.
L'essentiel — L'intérêt simple
- L'intérêt simple est calculé uniquement sur le capital initial : les intérêts ne produisent pas d'intérêts. Il sert pour les opérations de court terme (≤ 1 an).
- Formule de base : $I = C \times t \times n$ avec $n$ en années.
- Durée en mois : $I = \dfrac{C \times t \times n}{12}$ ; durée en jours : $I = \dfrac{C \times t \times n}{360}$ (année commerciale).
- Valeur acquise : $C_n = C + I = C(1 + t \times n)$.
- Taux moyen de plusieurs placements : $t_m = \dfrac{\sum C_i t_i n_i}{\sum C_i n_i}$ (c'est le taux unique qui donne le même intérêt total).
- Réflexes : convertir le taux en décimal (6 % = 0,06) et toujours exprimer la durée dans la même unité que le taux.