Chapitre 8 · Semestre 2

Le remboursement in fine et le choix d'investissement

Mathématiques Financières

Cours Exercices Résumé QCM

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

construire le tableau d'un emprunt remboursable in fine et le comparer aux autres modes ;

associer un emprunt in fine à un fonds d'amortissement ;

évaluer un projet d'investissement par la VAN, le TRI, le délai de récupération et l'indice de profitabilité ;

expliquer et arbitrer un conflit entre critères.

8.1 L'emprunt remboursable in fine

Dans un emprunt in fine, l'emprunteur ne rembourse rien du capital avant la dernière échéance : il paie seulement les intérêts à chaque période, puis le capital en une fois à la fin.

Période	Capital début	Intérêt	Amortissement	Annuité
1 à $n - 1$	$V_0$	$V_0\,i$	0	$V_0\,i$
$n$	$V_0$	$V_0\,i$	$V_0$	$V_0\,i + V_0$

$$\text{Total des intérêts} = n \times V_0 \times i$$

C'est le mode de remboursement le plus coûteux en intérêts (le capital reste dû en totalité jusqu'au bout), mais il allège la trésorerie pendant toute la durée. Il est utilisé pour les emprunts obligataires, certains crédits aux entreprises qui attendent une rentrée importante (vente d'un programme immobilier) ou les montages patrimoniaux.

Comparaison — 1 000 000 DH sur 5 ans à 7 % :

Mode	Annuités	Total des intérêts
Amortissements constants	de 270 000 à 214 000 DH	210 000
Annuités constantes	243 890,69 DH chaque année	219 453,47
In fine	70 000 DH × 4, puis 1 070 000 DH	350 000

8.2 In fine et fonds d'amortissement

Pour ne pas être pris de court par le remboursement final, l'emprunteur peut placer chaque année une somme dans un fonds d'amortissement (chapitre 5) qui reconstituera le capital à l'échéance. Son effort annuel total est :

$$\text{Effort annuel} = V_0\,i + V_0 \times \frac{i'}{(1+i')^n - 1}$$

où $i'$ est le taux de rémunération du fonds. Dans l'exemple, avec un fonds rémunéré à 5 % : $70\,000 + 1\,000\,000 \times \dfrac{0{,}05}{1{,}05^5 - 1} = 70\,000 + 180\,974{,}80 = 250\,974{,}80$ DH par an, plus que l'annuité constante (243 890,69 DH) : le fonds rapporte 5 % alors que la dette coûte 7 %. La combinaison n'est intéressante que si le fonds rapporte au moins autant que le coût de l'emprunt.

8.3 Les flux d'un projet d'investissement

Investir, c'est engager aujourd'hui une dépense certaine en échange de recettes futures incertaines. Pour évaluer un projet, on recense ses flux nets de trésorerie :

Date	Flux
0	− Capital investi $I_0$ (prix d'acquisition, frais d'installation, augmentation du BFR)
1 à $n$	+ Flux nets de trésorerie $CF_k$ (recettes − dépenses d'exploitation − impôt ; en pratique la CAF d'exploitation dégagée par le projet)
$n$	+ Valeur résiduelle nette d'impôt ; + récupération du BFR

Ces flux sont ensuite actualisés au taux exigé par l'entreprise (coût du capital, chapitre 9 d'analyse financière), car un dirham de l'année 5 vaut moins qu'un dirham aujourd'hui.

8.4 La valeur actuelle nette (VAN)

$$\boxed{\text{VAN} = -I_0 + \sum_{k=1}^{n} CF_k\,(1+i)^{-k}}$$

VAN > 0 : le projet rapporte plus que le taux exigé ; il crée de la valeur. On l'accepte.
VAN < 0 : il détruit de la valeur ; on le rejette.
Entre plusieurs projets exclusifs, de même taille et même durée, on retient la VAN la plus élevée.

Exemple : une machine de 300 000 DH procure 90 000 DH par an pendant 4 ans et se revend 40 000 DH à la fin ; taux d'actualisation 8 %.

$$\text{VAN} = -300\,000 + 90\,000 \times \frac{1 - 1{,}08^{-4}}{0{,}08} + 40\,000 \times 1{,}08^{-4} \approx -300\,000 + 298\,091{,}42 + 29\,401{,}19 = 27\,492{,}61\ DH$$

Le projet est rentable : il rapporte 8 % et crée en plus 27 492,61 DH de valeur actuelle.

8.5 Le taux de rentabilité interne (TRI)

Définition — TRI. Taux d'actualisation pour lequel la VAN est nulle : c'est la rentabilité propre du projet.

$$-I_0 + \sum CF_k\,(1 + \text{TRI})^{-k} = 0$$

On le trouve par essais et interpolation. Règle de décision : on accepte le projet si TRI > taux exigé (coût du capital). Le TRI est aussi le taux maximal auquel l'entreprise pourrait emprunter pour financer le projet sans perdre d'argent.

8.6 Le délai de récupération

Le délai de récupération (payback) est le temps nécessaire pour que les flux cumulés remboursent l'investissement.

Délai simple : flux non actualisés (facile, mais ignore la valeur du temps) ;
Délai actualisé : flux actualisés (plus rigoureux).

C'est un critère de liquidité et de risque : plus le délai est court, moins le projet est exposé. Il ne mesure pas la rentabilité (il ignore les flux après le délai).

8.7 L'indice de profitabilité

$$\boxed{IP = \frac{\sum CF_k\,(1+i)^{-k}}{I_0} = 1 + \frac{\text{VAN}}{I_0}}$$

Il mesure la valeur créée par dirham investi : utile pour classer des projets de tailles différentes quand le capital est limité. Un projet est acceptable si $IP > 1$.

8.8 Quand les critères ne sont pas d'accord

VAN et TRI conduisent à la même décision pour un projet isolé (VAN > 0 ⟺ TRI > taux). Mais pour classer deux projets exclusifs, ils peuvent se contredire, notamment quand les profils de flux diffèrent (flux réguliers contre flux concentrés en fin de période) : c'est le cas de l'exercice Oualidia Food de ce chapitre. La raison est que le TRI suppose implicitement le réinvestissement des flux au TRI lui-même, alors que la VAN suppose un réinvestissement au taux d'actualisation, hypothèse plus réaliste. En cas de conflit, on privilégie la VAN, qui mesure directement la création de valeur.

8.9 Méthode : évaluer un projet d'investissement

Recenser les flux sur un axe du temps (investissement, flux annuels, valeur résiduelle, BFR).
Actualiser chaque flux au taux donné ; utiliser $\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}$ si les flux sont constants.
Calculer VAN et IP.
Chercher le TRI : deux taux qui encadrent une VAN nulle, puis interpolation.
Calculer le délai de récupération (simple et actualisé).
Conclure en hiérarchisant les critères (VAN d'abord) et en tenant compte du risque.

Les pièges à éviter

Oublier la valeur résiduelle ou la récupération du BFR en fin de projet.
Actualiser le flux de l'année $k$ avec $(1+i)^{-(k-1)}$ : le flux de l'année 1 est actualisé d'une période.
Retenir le projet au meilleur TRI quand la VAN désigne l'autre.
Confondre délai de récupération et durée de vie du projet.
Pour un emprunt in fine, oublier le remboursement du capital dans la dernière annuité.

Exercice 1 — Deux projets pour la conserverie Oualidia Food

La société « Oualidia Food » doit choisir entre deux projets exclusifs de 500 000 DH chacun, d'une durée de 5 ans, sans valeur résiduelle. Son taux d'actualisation est de 10 %.

Année	1	2	3	4	5
Flux du projet A (DH)	150 000	150 000	150 000	150 000	150 000
Flux du projet B (DH)	80 000	120 000	160 000	200 000	240 000

Travail à faire :

Calculez la VAN et l'indice de profitabilité de chaque projet.
Calculez le TRI de chaque projet par interpolation.
Calculez les délais de récupération simple et actualisé.
Quel projet retenir ? Expliquez le désaccord entre les critères.

Voir le corrigé

1) VAN et IP

Projet A (flux constants) :

$$\text{VAN}_A = -500\,000 + 150\,000 \times \frac{1 - 1{,}1^{-5}}{0{,}1} = -500\,000 + 150\,000 \times 3{,}790787 \approx \mathbf{68\,618{,}02\ DH}$$

Projet B (flux variables) :

Année	Flux	Facteur $1{,}1^{-k}$	Flux actualisé	Cumul actualisé
1	80 000	0,909091	72 727,27	72 727,27
2	120 000	0,826446	99 173,55	171 900,83
3	160 000	0,751315	120 210,37	292 111,19
4	200 000	0,683013	136 602,69	428 713,89
5	240 000	0,620921	149 021,12	577 735,00

$$\text{VAN}_B = 577\,735{,}00 - 500\,000 = \mathbf{77\,735{,}00\ DH}$$

Indices : $IP_A = 1 + 68\,618{,}02 / 500\,000 \approx \mathbf{1{,}137}$ ; $IP_B = 1 + 77\,735 / 500\,000 \approx \mathbf{1{,}155}$.

2) TRI

Taux	VAN de A	VAN de B
14 %		13 571,52
15 %	2 823,26	− 821,88
16 %	− 8 855,95

$TRI_A \approx 15\,\% + 1\,\% \times \dfrac{2\,823{,}26}{2\,823{,}26 + 8\,855{,}95} \approx \mathbf{15{,}24\,\%}$ ;
$TRI_B \approx 14\,\% + 1\,\% \times \dfrac{13\,571{,}52}{13\,571{,}52 + 821{,}88} \approx \mathbf{14{,}94\,\%}$.

3) Délais de récupération

A, simple : $500\,000 / 150\,000 \approx 3{,}33$ ans, soit 3 ans et 4 mois ; actualisé : cumul de 475 479,82 DH à la fin de l'année 4 ; il manque 24 520,18 DH sur un flux actualisé de 93 138,20 DH en année 5 : $4 + 0{,}26 \approx$ 4 ans et 3 mois.
B, simple : cumul $80\,000 + 120\,000 + 160\,000 = 360\,000$ DH après 3 ans ; il manque 140 000 DH sur 200 000 DH : $3 + 0{,}7 =$ 3 ans et 8 mois environ ; actualisé : $4 + 71\,286{,}11 / 149\,021{,}12 \approx 4{,}48$ ans, soit 4 ans et 6 mois environ.

4) Décision

Critère	A	B	Préféré
VAN	68 618 DH	77 735 DH	B
IP	1,137	1,155	B
TRI	15,24 %	14,94 %	A
Délai actualisé	4 ans 3 mois	4 ans 6 mois	A

Les deux projets sont rentables (VAN positives, TRI supérieurs à 10 %). Le projet B crée le plus de valeur (VAN supérieure de 9 117 DH) : c'est lui qu'il faut retenir si l'entreprise peut supporter un retour plus lent. Le TRI favorise A parce que ses flux arrivent plus tôt et que ce critère suppose leur réinvestissement à 15 %, hypothèse optimiste ; la VAN, qui suppose un réinvestissement au taux de 10 %, est plus fiable. Le choix de A ne se justifierait que si l'entreprise privilégie la liquidité (récupération plus rapide) ou juge les flux lointains de B trop incertains.

Exercice 2 — In fine et fonds d'amortissement

Une société emprunte 400 000 DH sur 4 ans au taux de 6 %, remboursables in fine. Elle constitue en parallèle un fonds d'amortissement par versements annuels de fin d'année, rémunéré à 6 %.

Présentez le tableau de l'emprunt in fine et le total des intérêts.
Calculez le versement annuel au fonds et l'effort annuel total.
Comparez avec l'annuité constante du même emprunt. Que constatez-vous ?

Voir le corrigé

Année	Capital dû	Intérêt	Amortissement	Annuité
1	400 000	24 000	0	24 000
2	400 000	24 000	0	24 000
3	400 000	24 000	0	24 000
4	400 000	24 000	400 000	424 000

Total des intérêts : 96 000 DH.

2) Versement au fonds : $400\,000 \times \dfrac{0{,}06}{1{,}06^4 - 1} \approx 91\,436{,}60$ DH. Effort annuel : $24\,000 + 91\,436{,}60 = \mathbf{115\,436{,}60\ DH}$.

3) Annuité constante : $400\,000 \times \dfrac{0{,}06}{1 - 1{,}06^{-4}} \approx 115\,436{,}60$ DH : exactement le même effort. Lorsque le fonds rapporte le même taux que l'emprunt, l'in fine accompagné d'un fonds équivaut à un emprunt à annuités constantes. Si le fonds rapporte moins, l'in fine devient plus coûteux.

Exercice 3 — Un projet avec BFR et valeur résiduelle

Une huilerie de Taounate envisage une nouvelle ligne de trituration : investissement de 800 000 DH et besoin en fonds de roulement de 100 000 DH au départ (récupéré à la fin), flux nets de 220 000 DH par an pendant 5 ans, valeur résiduelle nette de 50 000 DH à la fin de la 5ᵉ année. Taux d'actualisation : 9 %.

Recensez les flux et calculez la VAN et l'indice de profitabilité.
Sachant que la VAN vaut 2 115,04 DH à 11 % et − 21 835,21 DH à 12 %, calculez le TRI.
Le projet doit-il être accepté ?

Voir le corrigé

1) Date 0 : $-800\,000 - 100\,000 = -900\,000$ DH ; années 1 à 5 : $+220\,000$ DH ; année 5 : $+50\,000 + 100\,000 = +150\,000$ DH supplémentaires.

$$\text{VAN} = -900\,000 + 220\,000 \times 3{,}889651 + 150\,000 \times 1{,}09^{-5} \approx -900\,000 + 855\,723{,}28 + 97\,489{,}71 = \mathbf{53\,212{,}99\ DH}$$

$IP = 1 + 53\,212{,}99 / 900\,000 \approx \mathbf{1{,}059}$.

2) $TRI \approx 11\,\% + 1\,\% \times \dfrac{2\,115{,}04}{2\,115{,}04 + 21\,835{,}21} \approx \mathbf{11{,}09\,\%}$.

3) VAN positive, TRI (11,09 %) supérieur au taux exigé (9 %) : le projet est rentable et doit être accepté. La marge de sécurité est toutefois modeste : une baisse des flux d'environ 6 % suffirait à annuler la VAN ($53\,213 / 855\,723 \approx 6{,}2\,\%$).

L'essentiel — In fine et choix d'investissement

In fine : intérêts $V_0\,i$ chaque période, capital remboursé en totalité à la dernière échéance ; total des intérêts $= n\,V_0\,i$ (le plus coûteux, mais trésorerie ménagée).
In fine + fonds d'amortissement au taux $i'$ : effort annuel $= V_0\,i + V_0\,\dfrac{i'}{(1+i')^n - 1}$ ; si $i' = i$, il est égal à l'annuité constante.
Projet d'investissement : $I_0$ (investissement + BFR), flux nets $CF_k$, valeur résiduelle et récupération du BFR en fin de projet.
VAN $= -I_0 + \sum CF_k(1+i)^{-k}$ : on accepte si VAN > 0 ; entre projets exclusifs, la plus forte VAN.
TRI : taux qui annule la VAN (essais + interpolation) ; on accepte si TRI > taux exigé.
Délai de récupération (simple ou actualisé) : critère de liquidité et de risque, pas de rentabilité.
Indice de profitabilité $IP = 1 + \text{VAN}/I_0$ : valeur créée par dirham investi.
En cas de conflit VAN / TRI, on privilégie la VAN (hypothèse de réinvestissement au taux d'actualisation).

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