Les annuités constantes : valeur actuelle
6.1 Valeur actuelle d'une suite d'annuités constantes
La valeur actuelle (à la date d'aujourd'hui, une période avant le premier versement) d'une suite de $n$ annuités constantes $a$ :
$$\boxed{V_0 = a \times \frac{1 - (1+t)^{-n}}{t}}$$
6.2 Lien avec les emprunts
Cette formule est le fondement du calcul des emprunts remboursables par annuités constantes : le montant emprunté $V_0$ est la valeur actuelle des annuités de remboursement futures.
6.3 Calcul de l'annuité connaissant la valeur actuelle
$$a = \frac{V_0 \times t}{1 - (1+t)^{-n}}$$
6.4 Cas particulier : la rente perpétuelle
Lorsque $n \to \infty$ :
$$V_0^{\text{perpétuité}} = \frac{a}{t}$$
Exercice 1
Une entreprise souhaite emprunter une somme lui permettant de percevoir, en fin de chaque année pendant 5 ans, 40 000 DH (par exemple pour financer un investissement). Le taux du marché est de 6 %.
Travail à faire :
- Quelle est la valeur actuelle (le montant à emprunter aujourd'hui) de cette suite de flux ?
- Un particulier souhaite constituer une rente perpétuelle de 12 000 DH par an pour ses héritiers, au taux de 4 %. Quel capital doit-il placer aujourd'hui ?
Voir le corrigé
1) Valeur actuelle : $$V_0 = 40\,000 \times \frac{1 - (1{,}06)^{-5}}{0{,}06} = 40\,000 \times \frac{1 - 0{,}74726}{0{,}06} = 40\,000 \times 4{,}2124 \approx 168\,496 \text{ DH}$$
2) Capital pour une rente perpétuelle : $$V_0 = \frac{12\,000}{0{,}04} = 300\,000 \text{ DH}$$
Exercice 2 — Achat à crédit et annuité d'emprunt
- Un appartement est payé 150 000 DH comptant, puis 10 annuités de 30 000 DH en fin d'année. Au taux de 7 %, quelle est sa valeur au comptant ?
- Une entreprise emprunte 500 000 DH sur 15 ans à 6 %, remboursables par annuités constantes. Calculez l'annuité.
Voir le corrigé
1) Valeur actuelle des annuités :
$$30\,000 \times \frac{1 - (1{,}07)^{-10}}{0{,}07} = 30\,000 \times 7{,}02358 \approx 210\,707 \text{ DH}$$
Valeur au comptant $= 150\,000 + 210\,707 = 360\,707$ DH.
2) $$a = \frac{500\,000 \times 0{,}06}{1 - (1{,}06)^{-15}} = \frac{30\,000}{0{,}58274} \approx 51\,481 \text{ DH}$$
L'essentiel — Valeur actuelle d'annuités constantes
- Valeur actuelle, une période avant le 1ᵉʳ versement : $V_0 = a \times \dfrac{1 - (1 + t)^{-n}}{t}$.
- C'est la base des emprunts par annuités constantes : le montant emprunté est la valeur actuelle des annuités futures.
- Annuité d'un emprunt : $a = \dfrac{V_0 \times t}{1 - (1 + t)^{-n}}$.
- Rente perpétuelle ($n \to \infty$) : $V_0 = \dfrac{a}{t}$.
- Lien utile : $V_n = V_0 \times (1 + t)^n$.