Les annuités constantes : valeur actuelle

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• établir et utiliser la formule de la valeur actuelle d'annuités constantes ;
• calculer la mensualité d'un crédit ou le montant empruntable ;
• calculer le coût d'un crédit et son taux effectif ;
• traiter les annuités de début de période, les annuités différées et les perpétuités ;
• relier valeur actuelle et valeur acquise.

6.1 La formule de la valeur actuelle

On cherche ce que vaut aujourd'hui une suite de $n$ versements $a$, effectués à la fin de chacune des $n$ prochaines périodes, au taux $i$. On actualise chaque versement :

$$V_0 = a(1+i)^{-1} + a(1+i)^{-2} + \cdots + a(1+i)^{-n}$$

C'est une suite géométrique de raison $(1+i)^{-1}$ :

$$\boxed{V_0 = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}}$$

La valeur actuelle est calculée une période avant le premier versement. Le facteur $\dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$ (noté $a_{\overline{n}|i}$) donne la valeur actuelle de $n$ versements de 1 DH.

Relation avec la valeur acquise : $V_n = V_0\,(1+i)^n$. Les deux formules décrivent la même suite, évaluée à deux dates différentes.

6.2 L'application majeure : le remboursement d'un emprunt

Quand une banque prête un montant $V_0$ remboursable par $n$ annuités constantes, le montant prêté est la valeur actuelle des annuités, au taux du prêt. D'où l'annuité de remboursement :

$$\boxed{a = V_0 \times \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}}$$

Et, pour une capacité de remboursement $a$ donnée, le montant maximal empruntable est $V_0 = a \times \dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$.

Mensualités. Pour un crédit remboursé chaque mois, on utilise un taux mensuel. Les banques marocaines appliquent en général le taux proportionnel (taux annuel / 12) au calcul des mensualités.

Exemple — crédit immobilier : 600 000 DH sur 20 ans (240 mensualités) au taux annuel de 5 %, soit un taux mensuel proportionnel de $5\,\% / 12 \approx 0{,}41667\,\%$ :

$$m = 600\,000 \times \frac{0{,}0041667}{1 - 1{,}0041667^{-240}} \approx 3\,959{,}73\ DH$$

Sur 20 ans, l'emprunteur rembourse $240 \times 3\,959{,}73 \approx 950\,336$ DH : le coût du crédit (intérêts) atteint environ 350 336 DH, plus de la moitié du capital emprunté. Allonger la durée baisse la mensualité mais augmente fortement le coût total.

6.3 Le taux effectif d'un crédit

Lorsque la banque prélève des frais (frais de dossier, assurance, commission), l'emprunteur reçoit moins que le capital nominal tout en remboursant les mêmes mensualités. Le taux réel est le taux $i$ qui égalise la somme réellement reçue et la valeur actuelle des mensualités :

$$\text{Somme reçue} = m \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$$

On le trouve par essais et interpolation. Il est ensuite exprimé en taux annuel, soit par la méthode proportionnelle ($\times 12$), soit par la méthode actuarielle ($(1+i)^{12} - 1$) : l'énoncé précise la convention. Ce taux effectif permet de comparer les offres, d'où l'obligation d'afficher un taux effectif global dans les offres de crédit à la consommation (loi 31-08).

6.4 Les annuités de début de période

Si le premier versement a lieu immédiatement (loyer payé d'avance, crédit-bail dont le premier loyer est payé à la signature) :

$$\boxed{V_0' = a\,(1+i) \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}}$$

6.5 Les annuités différées

Si le premier versement n'a lieu qu'après $d$ périodes « blanches » (différé de remboursement, par exemple pendant la construction d'une usine ou les études d'un étudiant), on calcule la valeur actuelle une période avant le premier versement, puis on l'actualise encore de $d$ périodes :

$$V_0 = a \times \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i} \times (1+i)^{-d}$$

Exemple : 5 annuités de 20 000 DH, la première dans 3 ans, au taux de 6 %. La valeur à la date 2 (une période avant le premier versement) est de $20\,000 \times 4{,}212364 \approx 84\,247{,}28$ DH ; aujourd'hui : $84\,247{,}28 \times 1{,}06^{-2} \approx 74\,979{,}78$ DH.

Côté emprunteur, un différé peut être partiel (on paie seulement les intérêts pendant le différé) ou total (on ne paie rien : les intérêts s'ajoutent au capital, qui grossit).

6.6 Les perpétuités

Une rente perpétuelle (versements sans fin) a une valeur actuelle finie, car $(1+i)^{-n}$ tend vers 0 :

$$\boxed{V_0 = \frac{a}{i}}$$

Exemple : une fondation veut verser 12 000 DH de bourse d'études chaque année, indéfiniment, avec un placement à 4 % : il lui faut $12\,000 / 0{,}04 = 300\,000$ DH.

Si les versements croissent au taux $g < i$ (première annuité $a$ dans un an), $V_0 = \dfrac{a}{i - g}$ : c'est la formule de Gordon-Shapiro, utilisée pour évaluer une action à partir de ses dividendes. Avec $a = 5\,000$, $i = 8\,\%$ et $g = 3\,\%$ : $V_0 = 5\,000 / 0{,}05 = 100\,000$ DH.

6.7 Méthode : résoudre un problème de crédit

1. Convertir le taux dans la période des remboursements (taux mensuel proportionnel par défaut pour les crédits bancaires, sauf mention contraire).
2. Identifier la date de départ : premier versement dans une période (formule usuelle), immédiat (début de période) ou différé.
3. Calculer l'annuité ou le capital ; en déduire le coût total du crédit ($n \times a - V_0$).
4. Pour un taux inconnu, encadrer puis interpoler.
5. Présenter clairement : montant, durée, taux, mensualité, coût total.

Les pièges à éviter

• Confondre valeur actuelle (remboursement d'une dette) et valeur acquise (constitution d'un capital).
• Oublier que la formule donne la valeur une période avant le premier versement.
• Utiliser $n$ en années avec un taux mensuel.
• Pour un différé, actualiser d'une période de trop (ou de moins) : comptez sur l'axe du temps.
• Additionner les mensualités et appeler cela « la valeur du crédit » : le coût s'apprécie par comparaison avec le capital emprunté.