Les emprunts indivis : amortissements et annuités constants

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• décomposer une annuité en intérêt et amortissement ;
• construire un tableau d'amortissement par amortissements constants et par annuités constantes ;
• utiliser les relations entre amortissements successifs ;
• calculer directement le capital restant dû à une date quelconque ;
• comparer les deux modes de remboursement.

7.1 Le vocabulaire de l'emprunt indivis

Définition — Emprunt indivis. Emprunt contracté auprès d'un seul prêteur (en général une banque), par opposition à l'emprunt obligataire, souscrit par de nombreux prêteurs (chapitre 9).

Chaque période, l'emprunteur verse une annuité (ou mensualité) qui comprend deux parts :

$$\boxed{a_k = I_k + A_k}$$

• l'intérêt $I_k$, calculé sur le capital restant dû au début de la période : $I_k = C_{k-1} \times i$ ;
• l'amortissement $A_k$, qui rembourse une partie du capital : $C_k = C_{k-1} - A_k$.

Deux égalités servent de contrôle :

$$\sum_{k=1}^{n} A_k = V_0 \qquad \sum_{k=1}^{n} a_k = V_0 + \sum_{k=1}^{n} I_k$$

7.2 Le tableau d'amortissement

Période	Capital restant dû en début de période	Intérêt	Amortissement	Annuité	Capital restant dû en fin de période
$k$	$C_{k-1}$	$C_{k-1} \times i$	$A_k$	$I_k + A_k$	$C_{k-1} - A_k$

La dernière ligne doit se terminer par un capital restant dû nul : c'est le premier contrôle à faire.

7.3 Remboursement par amortissements constants

Le capital est remboursé par parts égales :

$$\boxed{A = \frac{V_0}{n}}$$

L'intérêt diminue à chaque période (le capital restant dû baisse de $A$), donc l'annuité diminue : les annuités forment une progression arithmétique de raison $-A \times i$.

$$a_k = A + \big(V_0 - (k-1)A\big) \times i \qquad \text{Total des intérêts} = V_0 \times i \times \frac{n + 1}{2}$$

Ce mode pèse lourd au début (première annuité élevée) mais coûte moins cher en intérêts.

7.4 Remboursement par annuités constantes

C'est le mode le plus fréquent (crédits immobiliers, crédits à la consommation). L'annuité est calculée comme au chapitre 6 :

$$\boxed{a = V_0 \times \frac{i}{1 - (1+i)^{-n}}}$$

Comme l'intérêt diminue chaque période et que l'annuité est constante, l'amortissement augmente.

Propriétés essentielles (à démontrer et utiliser à l'examen) :

1. Premier amortissement : $A_1 = a - V_0\,i = V_0 \times \dfrac{i}{(1+i)^n - 1}$.

2. Les amortissements forment une progression géométrique de raison $(1+i)$ : $A_{k+1} = A_k\,(1+i)$, donc $A_k = A_1\,(1+i)^{k-1}$.

   Démonstration : $a = I_k + A_k = I_{k+1} + A_{k+1}$ et $I_k - I_{k+1} = A_k \times i$ (le capital a diminué de $A_k$), donc $A_{k+1} = A_k + A_k\,i$.

3. Dernier amortissement : $A_n = \dfrac{a}{1+i}$ (le dernier intérêt porte sur $A_n$ lui-même).

4. Capital remboursé après $p$ annuités : $A_1 \times \dfrac{(1+i)^p - 1}{i}$.

5. Capital restant dû après $p$ annuités : valeur actuelle des annuités restantes :

$$\boxed{C_p = a \times \frac{1 - (1+i)^{-(n-p)}}{i}}$$

Cette dernière formule permet de calculer l'indemnité de remboursement anticipé ou de renégocier un crédit sans refaire tout le tableau.

7.5 Exemple — prêt de 240 000 DH sur 4 ans à 10 %

$$a = 240\,000 \times \frac{0{,}10}{1 - 1{,}1^{-4}} \approx 75\,712{,}99\ DH$$

Année	Capital début	Intérêt	Amortissement	Annuité	Capital fin
1	240 000,00	24 000,00	51 712,99	75 712,99	188 287,01
2	188 287,01	18 828,70	56 884,29	75 712,99	131 402,72
3	131 402,72	13 140,27	62 572,72	75 712,99	68 830,00
4	68 830,00	6 883,00	68 830,00	75 713,00	0,00

Contrôles : $56\,884{,}29 = 51\,712{,}99 \times 1{,}1$ ; $A_4 = 75\,712{,}99 / 1{,}1 \approx 68\,829{,}99$ (le tableau donne 68 830,00 : un centime d'arrondi, absorbé par la dernière annuité) ; somme des amortissements $= 240\,000$ .

7.6 Comparaison des deux modes

Critère	Amortissements constants	Annuités constantes
Amortissement	Constant	Croissant (progression géométrique)
Intérêt	Décroissant (linéairement)	Décroissant (lentement au début)
Annuité	Décroissante	Constante
Poids au début	Lourd	Modéré
Coût total en intérêts	Plus faible	Plus élevé
Usage	Crédits d'investissement d'entreprise	Crédits aux particuliers, crédits immobiliers

Le coût plus élevé des annuités constantes ne signifie pas qu'elles sont « plus chères » au sens financier : au même taux, les deux emprunts ont la même valeur actuelle. L'emprunteur à annuités constantes garde simplement le capital plus longtemps.

7.7 Méthode : réussir un exercice d'emprunt indivis

1. Repérer le mode (amortissements constants, annuités constantes) et la période.
2. Calculer $A$ (amortissements constants) ou $a$ (annuités constantes).
3. Construire le tableau ligne par ligne : intérêt sur le capital de début, amortissement, capital de fin.
4. Contrôler : dernier capital nul, somme des amortissements $= V_0$, raison géométrique des amortissements.
5. Pour une question isolée (capital restant dû après $p$ ans, $k$-ième amortissement), utiliser les formules directes au lieu de construire tout le tableau.

Les pièges à éviter

• Calculer l'intérêt sur le capital initial à chaque ligne : il porte sur le capital restant dû en début de période.
• Oublier que l'annuité (hors assurance) ne contient que intérêt et amortissement.
• Avec des annuités constantes, supposer que les amortissements sont constants.
• Laisser un capital résiduel de quelques centimes sans ajuster le dernier amortissement (écart d'arrondi à corriger sur la dernière ligne).
• Confondre l'annuité de remboursement et l'annuité de constitution d'un capital (chapitre 5).