Les emprunts indivis : amortissements et annuités constants
7.1 Définition et vocabulaire
Un emprunt indivis est contracté auprès d'un seul prêteur (banque), par opposition à l'emprunt obligataire (divisé entre de nombreux prêteurs). Chaque annuité de remboursement se décompose en :
$$\boxed{\text{Annuité} = \text{Amortissement (remboursement du capital)} + \text{Intérêt}}$$
$$\text{Intérêt de la période } p = \text{Capital restant dû en début de période } p \times t$$
7.2 Remboursement par amortissements constants
Le capital est remboursé en parts égales chaque période : $M_p = \dfrac{V_0}{n}$ (constant).
| Conséquence | Explication |
|---|---|
| Intérêts décroissants | Le capital restant dû diminue régulièrement |
| Annuités décroissantes | Amortissement constant + intérêt décroissant |
| 1ère annuité la plus élevée | Intérêt maximal sur tout le capital initial |
7.3 Remboursement par annuités constantes
L'annuité $a$ est identique chaque période (cf. chapitre 6) :
$$a = \frac{V_0 \times t}{1 - (1+t)^{-n}}$$
| Conséquence | Explication |
|---|---|
| Amortissements croissants | Comme les intérêts diminuent, la part de capital augmente pour garder l'annuité constante |
| Intérêts décroissants | Sur le capital restant dû, qui diminue |
| Relation entre 2 amortissements successifs | $M_{p+1} = M_p \times (1+t)$ |
7.4 Le tableau d'amortissement
| Période | Capital restant dû début | Intérêt | Amortissement | Annuité | Capital restant dû fin |
|---|
Exercice 1
Une entreprise emprunte 300 000 DH sur 4 ans au taux annuel de 8 %.
Travail à faire :
- Établissez le tableau d'amortissement en cas de remboursement par amortissements constants.
- Établissez le tableau d'amortissement en cas de remboursement par annuités constantes.
- Comparez le coût total (somme des intérêts) des deux modalités.
Voir le corrigé
1) Amortissements constants : $M = 300\,000 / 4 = 75\,000$ DH par an.
| Période | CRD début | Intérêt (8 %) | Amortissement | Annuité | CRD fin |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 300 000 | 24 000 | 75 000 | 99 000 | 225 000 |
| 2 | 225 000 | 18 000 | 75 000 | 93 000 | 150 000 |
| 3 | 150 000 | 12 000 | 75 000 | 87 000 | 75 000 |
| 4 | 75 000 | 6 000 | 75 000 | 81 000 | 0 |
| Total | 60 000 | 300 000 | 360 000 |
2) Annuités constantes : $$a = \frac{300\,000 \times 0{,}08}{1 - (1{,}08)^{-4}} = \frac{24\,000}{0{,}26502} \approx 90\,562 \text{ DH}$$
| Période | CRD début | Intérêt (8 %) | Amortissement | Annuité | CRD fin |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 300 000 | 24 000 | 66 562 | 90 562 | 233 438 |
| 2 | 233 438 | 18 675 | 71 887 | 90 562 | 161 551 |
| 3 | 161 551 | 12 924 | 77 638 | 90 562 | 83 913 |
| 4 | 83 913 | 6 713 | 83 849(≈83 913) | 90 562 | ≈0 |
| Total | ≈62 312 | ≈300 000 | ≈362 248 |
3) Comparaison : les amortissements constants coûtent moins cher en intérêts totaux (60 000 DH contre ≈62 312 DH) car le capital restant dû diminue plus vite au début ; en contrepartie, les premières annuités sont plus élevées (99 000 DH contre 90 562 DH), ce qui pèse davantage sur la trésorerie en début de période.
Exercice 2 — Exploiter l'annuité constante
Un emprunt de 200 000 DH est remboursable en 5 annuités constantes au taux de 10 %.
- Calculez l'annuité.
- Établissez la première ligne du tableau d'amortissement.
- Calculez le 2ᵉ et le 5ᵉ amortissement, puis le coût total de l'emprunt.
Voir le corrigé
1) $a = \dfrac{200\,000 \times 0{,}10}{1 - (1{,}10)^{-5}} = \dfrac{20\,000}{0{,}37908} \approx 52\,759{,}50$ DH.
2)
| Période | CRD début | Intérêt | Amortissement | Annuité | CRD fin |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 200 000 | 20 000 | 32 759,50 | 52 759,50 | 167 240,50 |
3) $M_2 = 32\,759{,}50 \times 1{,}10 = 36\,035{,}45$ DH ; $M_5 = 32\,759{,}50 \times (1{,}10)^4 \approx 47\,963{,}18$ DH.
Coût total $= 5 \times 52\,759{,}50 - 200\,000 = 63\,797{,}50$ DH.
L'essentiel — Emprunts indivis (I)
- Emprunt indivis : un seul prêteur (une banque), contrairement à l'emprunt obligataire.
- Annuité = amortissement + intérêt ; l'intérêt de la période = capital restant dû (CRD) en début de période × $t$.
- Amortissements constants : $M = V_0 / n$ ; intérêts et annuités décroissants ; 1ʳᵉ annuité la plus lourde.
- Annuités constantes : $a = \dfrac{V_0 \times t}{1 - (1 + t)^{-n}}$ ; intérêts décroissants, amortissements croissants : $M_{p+1} = M_p (1 + t)$.
- Premier amortissement : $M_1 = a - V_0 \times t$ ; dernier : $M_n = M_1 (1 + t)^{n-1}$.
- Contrôles : somme des amortissements $= V_0$ ; dernier CRD $= 0$ ; total des intérêts = somme des annuités − $V_0$.
- Les amortissements constants coûtent moins d'intérêts que les annuités constantes.