L'intérêt composé

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• expliquer le mécanisme de la capitalisation des intérêts ;
• calculer une valeur acquise à intérêts composés, y compris pour une durée non entière ;
• distinguer taux proportionnels et taux équivalents, taux nominal et taux effectif ;
• retrouver la durée ou le taux d'un placement ;
• traiter des taux variables d'une période à l'autre.

3.1 Le principe de la capitalisation

Définition — Intérêt composé. Un capital est placé à intérêts composés lorsque, à la fin de chaque période, l'intérêt produit s'ajoute au capital (il est capitalisé) pour produire lui-même des intérêts pendant les périodes suivantes. On parle d'« intérêts des intérêts ». C'est le mode de calcul des opérations à moyen et long terme (plus d'un an).

Comparaison — 10 000 DH placés à 10 % pendant 5 ans :

Année	Intérêt simple (capital en fin d'année)	Intérêt composé (capital en fin d'année)
1	11 000	11 000,00
2	12 000	12 100,00
3	13 000	13 310,00
4	14 000	14 641,00
5	15 000	16 105,10

En intérêt simple, le capital progresse chaque année du même montant (progression arithmétique). En intérêt composé, il est multiplié chaque année par le même coefficient $1{,}10$ (progression géométrique) : l'écart se creuse avec le temps.

3.2 La valeur acquise

Soit un capital $C_0$ placé au taux $i$ par période pendant $n$ périodes. À la fin de la première période : $C_1 = C_0 + C_0\,i = C_0(1 + i)$ ; à la fin de la deuxième : $C_2 = C_1(1 + i) = C_0(1 + i)^2$ ; et ainsi de suite :

$$\boxed{C_n = C_0\,(1 + i)^n}$$

$(1 + i)^n$ est le facteur de capitalisation. L'intérêt total est $I = C_n - C_0$.

Exemple : 150 000 DH placés pendant 6 ans à 5,5 % l'an : $C_6 = 150\,000 \times 1{,}055^6 \approx 206\,826{,}42$ DH. Intérêts : 56 826,42 DH.

Intérêt d'une année donnée : l'intérêt de la $k$-ième année est calculé sur le capital acquis au début de cette année : $I_k = C_0\,(1 + i)^{k-1} \times i$. Les intérêts annuels forment une progression géométrique.

3.3 Durée non entière

Si la durée n'est pas un nombre entier de périodes ($n$ périodes et une fraction $p/q$), deux solutions existent :

Solution rationnelle : capitalisation pour la partie entière, puis intérêt simple pour la fraction :

$$C = C_0\,(1 + i)^n \left(1 + i\,\frac{p}{q}\right)$$

Solution commerciale : on applique la formule avec un exposant fractionnaire :

$$C = C_0\,(1 + i)^{n + p/q}$$

Exemple : 80 000 DH placés à 6 % pendant 4 ans et 5 mois.

• rationnelle : $80\,000 \times 1{,}06^4 \times (1 + 0{,}06 \times 5/12) \approx 103\,523{,}11$ DH ;
• commerciale : $80\,000 \times 1{,}06^{4 + 5/12} \approx 103\,480{,}27$ DH.

La solution rationnelle donne un résultat légèrement supérieur : sur moins d'une période, l'intérêt simple rapporte plus que l'intérêt composé. Sauf indication, on utilise la solution commerciale, plus simple.

3.4 Taux proportionnels et taux équivalents

Les capitaux sont souvent capitalisés plus d'une fois par an (semestre, trimestre, mois). Deux notions s'opposent :

• Taux proportionnels : $i_k = \dfrac{i_a}{k}$ ($k$ = nombre de périodes dans l'année). Ils sont équivalents en intérêt simple, pas en intérêt composé.
• Taux équivalents : deux taux sont équivalents s'ils donnent la même valeur acquise au bout du même temps :

$$\boxed{(1 + i_a) = (1 + i_k)^k} \qquad i_k = (1 + i_a)^{1/k} - 1$$

Exemples :

• taux mensuel équivalent à 12 % l'an : $1{,}12^{1/12} - 1 \approx 0{,}9489\,\%$ (et non 1 %) ;
• taux annuel équivalent à 1 % par mois : $1{,}01^{12} - 1 \approx 12{,}68\,\%$ (et non 12 %).

3.5 Taux nominal et taux effectif

Un établissement annonce souvent un taux nominal annuel, capitalisé plusieurs fois par an au taux proportionnel. Le taux effectif annuel est le taux annuel équivalent :

$$\boxed{i_{effectif} = \left(1 + \frac{i_{nominal}}{k}\right)^k - 1}$$

Exemple : un placement à 5,5 % nominal, capitalisé chaque trimestre, rapporte en réalité $(1 + 0{,}055/4)^4 - 1 \approx 5{,}61\,\%$ par an. Plus la capitalisation est fréquente, plus le taux effectif s'éloigne du taux nominal.

C'est la logique du taux effectif global (TEG) que les établissements de crédit doivent indiquer au Maroc dans les offres de crédit à la consommation (loi 31-08 édictant des mesures de protection du consommateur) : il intègre les intérêts, les frais et les commissions, pour permettre la comparaison des offres.

3.6 Retrouver la durée ou le taux

La durée : de $C_n = C_0(1 + i)^n$, on tire, avec les logarithmes :

$$\boxed{n = \frac{\ln(C_n / C_0)}{\ln(1 + i)}}$$

Exemple : combien de temps pour que 150 000 DH placés à 5,5 % atteignent 250 000 DH ? $n = \dfrac{\ln(250\,000/150\,000)}{\ln 1{,}055} \approx 9{,}54$ ans, soit environ 9 ans et 6,5 mois.

Règle des 72 : un capital double en environ $72 / (\text{taux en \%})$ années. À 6 %, il double en 12 ans environ (valeur exacte : $\ln 2 / \ln 1{,}06 \approx 11{,}9$ ans).

Le taux :

$$\boxed{i = \left(\frac{C_n}{C_0}\right)^{1/n} - 1}$$

Exemple : quel taux transforme 150 000 DH en 220 000 DH en 7 ans ? $i = (220\,000/150\,000)^{1/7} - 1 \approx 5{,}62\,\%$.

3.7 Taux variables

Si le taux change d'une période à l'autre, on multiplie les coefficients successifs :

$$C_n = C_0\,(1 + i_1)(1 + i_2)\cdots(1 + i_n)$$

Exemple : 50 000 DH placés 3 ans à 4 %, 5 % puis 6 % : $50\,000 \times 1{,}04 \times 1{,}05 \times 1{,}06 = 57\,876$ DH. Le taux moyen est le taux constant qui donnerait le même résultat : $(57\,876 / 50\,000)^{1/3} - 1 \approx 4{,}99\,\%$.

3.8 Méthode : résoudre un exercice d'intérêt composé

1. Identifier la période de capitalisation et vérifier que le taux et la durée sont exprimés dans cette période (sinon, convertir le taux par équivalence).
2. Écrire $C_n = C_0(1 + i)^n$ et isoler l'inconnue.
3. Pour une durée non entière, préciser la solution retenue (commerciale par défaut).
4. Calculer avec suffisamment de décimales pour $(1 + i)^n$ (au moins 5).
5. Contrôler l'ordre de grandeur (règle des 72).

Les pièges à éviter

• Appliquer un taux proportionnel en intérêt composé alors que l'énoncé demande un taux équivalent.
• Confondre taux nominal et taux effectif.
• Oublier de convertir la durée en nombre de périodes (8 trimestres, et non 2 ans, avec un taux trimestriel).
• Arrondir $(1 + i)^n$ à deux décimales : l'erreur se répercute sur des montants élevés.
• Calculer l'intérêt de la $k$-ième année sur le capital initial au lieu du capital acquis au début de l'année.