L'intérêt composé
3.1 Principe
À la différence de l'intérêt simple, en intérêt composé, les intérêts produits à chaque période sont ajoutés au capital et produisent eux-mêmes des intérêts les périodes suivantes (« intérêts des intérêts »). Utilisé pour les opérations à moyen et long terme.
3.2 La valeur acquise à intérêts composés
$$\boxed{C_n = C_0 (1 + t)^n}$$
où $C_0$ = capital initial, $t$ = taux d'intérêt par période, $n$ = nombre de périodes de capitalisation.
3.3 Comparaison intérêt simple / intérêt composé
| Intérêt simple | Intérêt composé | |
|---|---|---|
| Base de calcul | Toujours le capital initial | Le capital + intérêts déjà acquis |
| Évolution | Linéaire | Exponentielle |
| Usage | Court terme (≤ 1 an) | Moyen/long terme (> 1 an) |
| Pour $n < 1$ | $C_n$ plus grand | $C_n$ plus petit |
| Pour $n > 1$ | $C_n$ plus petit | $C_n$ plus grand |
| Pour $n = 1$ | Résultats identiques | Résultats identiques |
3.4 Recherche du taux et de la durée
$$t = \left(\frac{C_n}{C_0}\right)^{1/n} - 1 \qquad n = \frac{\ln(C_n / C_0)}{\ln(1+t)}$$
Exercice 1
Un capital de 50 000 DH est placé à intérêts composés au taux annuel de 7 % pendant 6 ans.
Travail à faire :
- Calculez la valeur acquise au bout de 6 ans.
- Calculez le montant total des intérêts composés produits.
- Au bout de combien d'années ce capital aura-t-il doublé (à 7 %) ?
Voir le corrigé
1) Valeur acquise : $$C_6 = 50\,000 \times (1{,}07)^6 = 50\,000 \times 1{,}50073 \approx 75\,036{,}5 \text{ DH}$$
2) Intérêts composés : $$I = 75\,036{,}5 - 50\,000 = 25\,036{,}5 \text{ DH}$$
3) Durée de doublement : $$n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}07)} = \frac{0{,}6931}{0{,}0677} \approx 10{,}24 \text{ ans} \approx 10 \text{ ans et 3 mois}$$
Exercice 2 — Taux, comparaison et durée
Un capital de 80 000 DH, placé à intérêts composés pendant 5 ans, a une valeur acquise de 107 058 DH.
- Calculez le taux annuel de placement.
- Quelle serait la valeur acquise à intérêt simple, au même taux et sur la même durée ? Commentez.
- Au même taux, combien de temps faut-il pour que ce capital atteigne 120 000 DH ?
Voir le corrigé
1) $t = \left(\dfrac{107\,058}{80\,000}\right)^{1/5} - 1 = (1{,}33823)^{0{,}2} - 1 \approx 0{,}06$, soit 6 %.
2) $C_n = 80\,000 \times (1 + 0{,}06 \times 5) = 104\,000$ DH. L'intérêt composé rapporte $107\,058 - 104\,000 = 3\,058$ DH de plus : ce sont les « intérêts des intérêts ».
3) $n = \dfrac{\ln(120\,000 / 80\,000)}{\ln(1{,}06)} = \dfrac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}06} = \dfrac{0{,}4055}{0{,}0583} \approx 6{,}96$ ans, soit environ 7 ans.
L'essentiel — L'intérêt composé
- Les intérêts de chaque période sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts (capitalisation). Usage : moyen et long terme.
- Valeur acquise : $C_n = C_0 (1 + t)^n$.
- Intérêts produits : $I = C_n - C_0$.
- Taux : $t = \left(\dfrac{C_n}{C_0}\right)^{1/n} - 1$ ; durée : $n = \dfrac{\ln(C_n / C_0)}{\ln(1 + t)}$.
- Comparaison : pour $n < 1$ l'intérêt simple donne plus ; pour $n > 1$ l'intérêt composé donne plus ; pour $n = 1$ les deux sont égaux.
- Évolution exponentielle (composé) contre linéaire (simple).