L'actualisation

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• calculer la valeur actuelle d'un capital futur ;
• interpréter le taux d'actualisation ;
• calculer un escompte à intérêts composés ;
• établir l'équivalence de capitaux à intérêts composés ;
• remplacer plusieurs dettes par un paiement unique ou par un nouvel échéancier.

4.1 Le principe de l'actualisation

Un dirham disponible aujourd'hui vaut plus qu'un dirham disponible dans cinq ans : on pourrait le placer entre-temps. Pour comparer des sommes disponibles à des dates différentes, il faut les ramener à une même date. Ramener une somme future à aujourd'hui s'appelle actualiser ; c'est l'opération inverse de la capitalisation.

$$\text{Capitalisation : } C_0 \xrightarrow{\times (1+i)^n} C_n \qquad \text{Actualisation : } C_n \xrightarrow{\times (1+i)^{-n}} C_0$$

Définition — Valeur actuelle. La valeur actuelle $C_0$ d'un capital $C_n$ disponible dans $n$ périodes est la somme qu'il faudrait placer aujourd'hui, au taux $i$, pour obtenir $C_n$ au bout de $n$ périodes.

$$\boxed{C_0 = C_n\,(1 + i)^{-n} = \frac{C_n}{(1 + i)^n}}$$

$(1 + i)^{-n}$ est le facteur d'actualisation : il est toujours inférieur à 1, et d'autant plus petit que le taux est élevé ou la durée longue.

Exemple : que vaut aujourd'hui une somme de 100 000 DH à recevoir dans 5 ans, au taux de 7 % ? $C_0 = 100\,000 \times 1{,}07^{-5} \approx 71\,298{,}62$ DH.

4.2 Le taux d'actualisation

Le taux d'actualisation traduit la préférence pour le présent et le risque : plus une somme future est incertaine ou lointaine, plus on l'actualise à un taux élevé. En pratique, il reflète :

• le taux d'intérêt sans risque (par exemple le rendement des bons du Trésor marocains) ;
• l'inflation anticipée ;
• une prime de risque liée au projet ou à l'emprunteur.

Choisir le taux est une décision économique : on verra au chapitre 8 que la décision d'investir peut changer selon le taux retenu.

4.3 L'escompte à intérêts composés

Pour les opérations à long terme, l'escompte d'une créance de nominal $C_n$ payable dans $n$ périodes est calculé à intérêts composés :

$$\boxed{E = C_n - C_0 = C_n\left[1 - (1 + i)^{-n}\right]}$$

Exemple : une créance de 100 000 DH payable dans 5 ans, escomptée à 7 %, a une valeur actuelle de 71 298,62 DH : l'escompte vaut 28 701,38 DH. Il s'agit d'un escompte rationnel (calculé sur la valeur actuelle), le seul qui ait un sens à long terme.

4.4 L'équivalence de capitaux à intérêts composés

Définition — Capitaux équivalents. Deux capitaux (ou deux groupes de capitaux) sont équivalents à une date donnée, au taux $i$, si leurs valeurs actuelles à cette date sont égales.

$$C_1 (1 + i)^{-n_1} = C_2 (1 + i)^{-n_2}$$

Propriété fondamentale : à intérêts composés, si deux capitaux sont équivalents à une date, ils le sont à toute autre date. On peut donc choisir la date d'équivalence la plus pratique (aujourd'hui, ou l'échéance d'un des capitaux). Ce n'est pas le cas en intérêt simple, où l'équivalence dépend de la date choisie.

Exemple : quelle somme payable dans 2 ans équivaut à 40 000 DH payables dans 5 ans, au taux de 6 % ? En prenant l'année 2 comme date d'équivalence : $C_2 = 40\,000 \times 1{,}06^{-3} \approx 33\,584{,}77$ DH. (En valeur d'aujourd'hui, les deux valent $33\,584{,}77 \times 1{,}06^{-2} = 40\,000 \times 1{,}06^{-5} \approx 29\,890{,}33$ DH.)

4.5 Remplacer plusieurs capitaux par un seul

Capital unique à une date donnée : on cherche $C$ payable à la date $n$ équivalent à plusieurs capitaux $C_k$ payables aux dates $n_k$ :

$$C\,(1 + i)^{-n} = \sum C_k\,(1 + i)^{-n_k}$$

Date de paiement d'un capital donné : si le montant $C$ est fixé, on cherche $n$ :

$$(1 + i)^{-n} = \frac{\sum C_k (1 + i)^{-n_k}}{C} \qquad n = \frac{\ln\big(C / \sum C_k (1 + i)^{-n_k}\big)}{\ln(1 + i)}$$

Lorsque $C = \sum C_k$, on parle d'échéance moyenne ; à intérêts composés, elle dépend (légèrement) du taux, contrairement au cas de l'intérêt simple.

4.6 La renégociation d'une dette

Une entreprise en difficulté peut négocier avec son créancier un nouvel échéancier. Le principe est toujours le même : le nouvel échéancier doit être équivalent à l'ancien, au taux convenu. On écrit l'égalité des valeurs actuelles (à la date la plus commode) et on résout.

Exemple : une dette de 60 000 DH payable dans 1 an est remplacée par deux versements égaux dans 2 et 3 ans, au taux de 8 %. $60\,000 \times 1{,}08^{-1} = X \times 1{,}08^{-2} + X \times 1{,}08^{-3}$, soit $55\,555{,}56 = X \times (0{,}857339 + 0{,}793832) = 1{,}651171\,X$, d'où $X \approx 33\,646{,}15$ DH.

4.7 Méthode : résoudre un problème d'équivalence

1. Tracer un axe du temps avec tous les montants et leurs dates.
2. Choisir la date d'équivalence la plus simple (souvent aujourd'hui).
3. Actualiser (ou capitaliser) chaque montant à cette date : $(1 + i)^{\text{date d'équivalence} - \text{date du flux}}$.
4. Écrire l'égalité « ancien ensemble = nouvel ensemble » et résoudre.
5. Vérifier en recalculant à une autre date (propriété de l'intérêt composé).

Les pièges à éviter

• Capitaliser au lieu d'actualiser (ou l'inverse) : une somme ramenée vers le passé est divisée par $(1+i)^n$.
• Additionner des montants disponibles à des dates différentes sans les actualiser.
• Oublier que l'équivalence à intérêts composés ne dépend pas de la date choisie (inutile de refaire le calcul à plusieurs dates, sauf pour vérifier).
• Utiliser un taux annuel avec des périodes trimestrielles sans conversion par équivalence.