L'actualisation
4.1 Principe : l'inverse de la capitalisation
Actualiser un capital futur, c'est calculer la somme équivalente aujourd'hui, compte tenu d'un taux d'intérêt : c'est l'opération inverse de la capitalisation.
$$\boxed{C_0 = \frac{C_n}{(1+t)^n} = C_n (1+t)^{-n}}$$
4.2 Taux proportionnels et taux équivalents
Lorsque la période de capitalisation n'est pas l'année (mensuelle, trimestrielle...), il faut convertir le taux annuel :
| Notion | Formule | Usage |
|---|---|---|
| Taux proportionnel $t_p$ | $t_p = \dfrac{t}{k}$ (k = nombre de périodes par an) | Intérêt simple infra-annuel |
| Taux équivalent $t_e$ | $(1+t_e)^k = 1+t \; \Rightarrow \; t_e = (1+t)^{1/k} - 1$ | Intérêt composé infra-annuel |
📌 En intérêts composés, seul le taux équivalent garantit la cohérence des calculs (même valeur acquise quelle que soit la période de capitalisation retenue).
4.3 Taux nominal et taux réel (effet de l'inflation)
$$1 + t_{\text{réel}} = \frac{1 + t_{nominal}}{1 + \pi}$$
où $\pi$ est le taux d'inflation.
Exercice 1
Une entreprise doit percevoir 200 000 DH dans 4 ans. Le taux d'actualisation retenu est de 8 % l'an.
Travail à faire :
- Calculez la valeur actuelle de cette somme.
- Calculez le taux trimestriel équivalent au taux annuel de 8 %.
- Calculez le taux trimestriel proportionnel au taux annuel de 8 % et comparez-le au résultat de la question 2.
Voir le corrigé
1) Valeur actuelle : $$C_0 = \frac{200\,000}{(1{,}08)^4} = \frac{200\,000}{1{,}36049} \approx 147\,006 \text{ DH}$$
2) Taux trimestriel équivalent : $$t_e = (1{,}08)^{1/4} - 1 = 1{,}01942 - 1 = 0{,}01942 \approx 1{,}942\%$$
3) Taux trimestriel proportionnel : $$t_p = \frac{0{,}08}{4} = 0{,}02 = 2\%$$
📌 Le taux proportionnel (2 %) est légèrement supérieur au taux équivalent (1,942 %) : appliqué en capitalisation composée sur 4 trimestres, il produirait une valeur acquise supérieure à celle obtenue avec le taux annuel de 8 % — d'où l'obligation d'utiliser le taux équivalent en intérêts composés.
Exercice 2 — Choisir entre deux offres
- Un client vous propose soit 85 000 DH aujourd'hui, soit 100 000 DH dans 3 ans. Avec un taux d'actualisation de 6 %, quelle offre choisir ?
- Un placement rapporte 7 % par an alors que l'inflation est de 2,5 %. Calculez le taux réel.
- Calculez le taux mensuel équivalent à un taux annuel de 12 %.
Voir le corrigé
1) $C_0 = \dfrac{100\,000}{(1{,}06)^3} = \dfrac{100\,000}{1{,}19102} \approx 83\,962$ DH. Comme $85\,000 > 83\,962$, il vaut mieux recevoir 85 000 DH aujourd'hui.
2) $t_{\text{réel}} = \dfrac{1{,}07}{1{,}025} - 1 \approx 0{,}0439$, soit 4,39 % (l'approximation $7 - 2{,}5 = 4{,}5\%$ est proche).
3) $t_e = (1{,}12)^{1/12} - 1 \approx 0{,}00949$, soit 0,949 % par mois (et non 1 %, qui est le taux proportionnel).
L'essentiel — L'actualisation
- Actualiser, c'est ramener une somme future à sa valeur d'aujourd'hui : c'est l'inverse de la capitalisation.
- Formule : $C_0 = C_n (1 + t)^{-n}$.
- Taux proportionnel (intérêt simple) : $t_p = t / k$, avec $k$ le nombre de périodes par an.
- Taux équivalent (intérêt composé) : $t_e = (1 + t)^{1/k} - 1$. En intérêts composés, on utilise toujours le taux équivalent.
- Le taux proportionnel est légèrement supérieur au taux équivalent.
- Taux réel : $1 + t_{\text{réel}} = \dfrac{1 + t_{nominal}}{1 + \pi}$ (approximation : $t_{\text{réel}} \approx t_{nominal} - \pi$).