Les annuités constantes : valeur acquise
5.1 Définition
Une annuité est une somme versée (ou perçue) à intervalles de temps égaux (souvent annuels). On étudie ici les annuités constantes de fin de période, en intérêts composés.
5.2 Valeur acquise d'une suite d'annuités constantes
Pour $n$ annuités constantes $a$, placées à un taux $t$, la valeur acquise (juste après le dernier versement) :
$$\boxed{V_n = a \times \frac{(1+t)^n - 1}{t}}$$
(Somme des termes d'une suite géométrique de raison $(1+t)$ : la 1ère annuité capitalise pendant $n-1$ périodes, la dernière ne capitalise pas.)
5.3 Cas de l'annuité de début de période
Si chaque annuité est versée en début de période plutôt qu'en fin :
$$V_n^{\text{début}} = V_n \times (1+t)$$
5.4 Calcul de l'annuité connaissant la valeur acquise
$$a = \frac{V_n \times t}{(1+t)^n - 1}$$
Exercice 1
Une personne verse, en fin de chaque année pendant 8 ans, une annuité constante de 15 000 DH sur un compte rémunéré à 5 % l'an.
Travail à faire :
- Calculez la valeur acquise par ce placement à la date du dernier versement.
- Même question si les versements sont effectués en début de chaque année.
- Quelle annuité constante (fin de période) faudrait-il verser pendant 8 ans, au même taux, pour disposer de 200 000 DH à la fin de la 8ᵉ année ?
Voir le corrigé
1) Valeur acquise (fin de période) : $$V_8 = 15\,000 \times \frac{(1{,}05)^8 - 1}{0{,}05} = 15\,000 \times \frac{1{,}47746 - 1}{0{,}05} = 15\,000 \times 9{,}5491 \approx 143\,237 \text{ DH}$$
2) Valeur acquise (début de période) : $$V_8^{\text{début}} = 143\,237 \times 1{,}05 \approx 150\,399 \text{ DH}$$
3) Annuité nécessaire pour atteindre 200 000 DH : $$a = \frac{200\,000 \times 0{,}05}{(1{,}05)^8 - 1} = \frac{10\,000}{0{,}47746} \approx 20\,946 \text{ DH}$$
Exercice 2 — Nombre d'annuités
Une famille verse 10 000 DH à la fin de chaque année sur un compte rémunéré à 6 %. Elle souhaite disposer d'au moins 100 000 DH.
- Déterminez le nombre minimal de versements.
- Calculez la valeur acquise obtenue avec 8 puis avec 9 versements.
Voir le corrigé
1) On cherche $n$ tel que $10\,000 \times \dfrac{(1{,}06)^n - 1}{0{,}06} \geq 100\,000$, soit $(1{,}06)^n \geq 1{,}6$.
$$n \geq \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}06} = \frac{0{,}4700}{0{,}0583} \approx 8{,}07$$
Il faut donc 9 versements.
2) $V_8 = 10\,000 \times \dfrac{(1{,}06)^8 - 1}{0{,}06} \approx 98\,975$ DH (insuffisant) ; $V_9 = 10\,000 \times \dfrac{(1{,}06)^9 - 1}{0{,}06} \approx 114\,913$ DH.
L'essentiel — Valeur acquise d'annuités constantes
- Une annuité est un versement effectué à intervalles réguliers ; on étudie ici des versements constants en fin de période.
- Valeur acquise juste après le dernier versement : $V_n = a \times \dfrac{(1 + t)^n - 1}{t}$ (somme d'une suite géométrique de raison $1 + t$).
- Versements en début de période : $V_n^{\text{début}} = V_n \times (1 + t)$.
- Annuité à verser pour atteindre un objectif : $a = \dfrac{V_n \times t}{(1 + t)^n - 1}$.
- La 1ʳᵉ annuité capitalise pendant $n - 1$ périodes, la dernière ne capitalise pas.