Les annuités constantes : valeur acquise

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• définir et classer les suites d'annuités ;
• établir et utiliser la formule de la valeur acquise d'une suite d'annuités constantes ;
• calculer le versement nécessaire pour constituer un capital ;
• retrouver le nombre de versements (avec ajustement du dernier) ou le taux (par interpolation) ;
• traiter les annuités de début de période et la valeur acquise à une date ultérieure.

5.1 Qu'est-ce qu'une suite d'annuités ?

Définition — Annuités. Suite de versements effectués à intervalles de temps réguliers (la période). Le terme « annuité » s'emploie même si la période n'est pas l'année : on parle alors de semestrialités, trimestrialités ou mensualités.

Une suite d'annuités se caractérise par :

• le montant de chaque versement $a$ (constant ou variable) ;
• la période (année, semestre, mois) ;
• le nombre de versements $n$ ;
• la date des versements : en fin de période (cas usuel, par défaut) ou en début de période ;
• le taux d'intérêt $i$ par période.

Deux objectifs se présentent :

• constituer un capital (épargne, plan retraite, fonds d'amortissement d'une entreprise) : on s'intéresse à la valeur acquise, à la date du dernier versement (ce chapitre) ;
• rembourser une dette (crédit immobilier, crédit à la consommation, emprunt d'entreprise) : on s'intéresse à la valeur actuelle, une période avant le premier versement (chapitre 6).

5.2 La valeur acquise d'annuités constantes de fin de période

On verse $a$ à la fin de chaque période, pendant $n$ périodes, au taux $i$. À la date du dernier versement, chaque versement a été capitalisé pendant un nombre de périodes différent :

Versement n°	Nombre de périodes de capitalisation	Valeur à la date $n$
1	$n - 1$	$a(1+i)^{n-1}$
2	$n - 2$	$a(1+i)^{n-2}$
…	…	…
$n - 1$	1	$a(1+i)$
$n$	0	$a$

La somme est une suite géométrique de premier terme $a$, de raison $(1 + i)$, comptant $n$ termes :

$$V_n = a\,\big[1 + (1+i) + \cdots + (1+i)^{n-1}\big] = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{(1+i) - 1}$$

$$\boxed{V_n = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}}$$

Le facteur $\dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$ (noté $s_{\overline{n}|i}$ dans certains manuels) donne la valeur acquise d'une suite de $n$ versements de 1 DH.

Exemple : une entreprise verse 20 000 DH à la fin de chaque année pendant 5 ans sur un fonds rémunéré à 6 %. $V_5 = 20\,000 \times \dfrac{1{,}06^5 - 1}{0{,}06} = 20\,000 \times 5{,}637093 \approx 112\,741{,}86$ DH.

5.3 Constituer un capital : calculer le versement

Si l'on vise un capital $V_n$ à une date donnée, le versement nécessaire est :

$$\boxed{a = V_n \times \frac{i}{(1+i)^n - 1}}$$

C'est le calcul d'un plan d'épargne (logement, études des enfants, retraite) ou du fonds d'amortissement qu'une entreprise constitue pour renouveler un équipement.

5.4 Calculer le nombre de versements

De $V_n = a\,\dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$, on tire $(1+i)^n = 1 + \dfrac{V_n\,i}{a}$, puis :

$$\boxed{n = \frac{\ln\left(1 + \dfrac{V_n\,i}{a}\right)}{\ln(1 + i)}}$$

Le résultat est rarement entier. On retient alors :

• soit $n$ arrondi à l'entier inférieur, avec un versement complémentaire au moment du dernier versement (ou une période plus tard) ;
• soit $n$ arrondi à l'entier supérieur, avec un dernier versement réduit.

5.5 Calculer le taux

L'équation $V_n = a\,\dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$ n'a pas de solution algébrique en $i$. On procède par essais (ou avec la table financière) puis par interpolation linéaire entre deux taux qui encadrent la valeur cherchée :

$$i \approx i_1 + (i_2 - i_1) \times \frac{V - V(i_1)}{V(i_2) - V(i_1)}$$

5.6 Les annuités de début de période

Si les versements ont lieu au début de chaque période (loyer payé d'avance, épargne versée le premier jour du mois), chaque versement est capitalisé une période de plus :

$$\boxed{V_n' = a\,(1+i) \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}}$$

La valeur acquise est calculée à la fin de la dernière période (une période après le dernier versement).

5.7 La valeur acquise à une date ultérieure

Si le capital constitué reste placé $p$ périodes après le dernier versement, sans nouveau versement :

$$V_{n+p} = a \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} \times (1+i)^p$$

Suite de l'exemple : les 112 741,86 DH laissés 3 ans de plus à 6 % deviennent $112\,741{,}86 \times 1{,}06^3 \approx 134\,277{,}36$ DH.

5.8 Annuités variables en progression géométrique

Si chaque versement augmente de $r$ % par rapport au précédent ($a$, $a(1+r)$, $a(1+r)^2$…), avec $r \neq i$ :

$$V_n = a \times \frac{(1+i)^n - (1+r)^n}{i - r}$$

C'est utile pour un plan d'épargne indexé sur la progression des revenus.

5.9 Méthode : résoudre un exercice de valeur acquise

1. Vérifier la cohérence entre la période des versements et le taux (mensualités → taux mensuel, par équivalence si nécessaire).
2. Tracer l'axe du temps et situer la date de calcul (dernier versement ? une période après ?).
3. Choisir la formule : fin de période, début de période, valeur à une date ultérieure.
4. Isoler l'inconnue ($a$, $n$ ou $i$) ; pour $n$, prévoir l'ajustement ; pour $i$, interpoler.
5. Présenter le résultat arrondi au centime et vérifier l'ordre de grandeur (la valeur acquise dépasse toujours $n \times a$).

Les pièges à éviter

• Utiliser un taux annuel avec des versements mensuels.
• Confondre versements de fin et de début de période (facteur $(1+i)$ oublié).
• Calculer la valeur acquise « un an après » le dernier versement avec la formule de fin de période sans capitaliser une fois de plus.
• Arrondir $(1+i)^n$ trop tôt : avec $n = 60$ ou 120, l'erreur devient importante.
• Oublier l'ajustement lorsque $n$ n'est pas entier.