Chapitre 3 · Semestre 5

Les critères de choix en avenir certain

Choix d'Investissement et Modes de Financement

Cours Exercices Résumé QCM

🎯 Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

justifier l'actualisation et choisir le taux d'actualisation d'un projet ;

calculer et interpréter la VAN et l'indice de profitabilité ;

calculer le TRI par interpolation linéaire et l'interpréter ;

calculer le délai de récupération simple et actualisé, et connaître les limites de chaque critère.

3.1 Pourquoi actualiser ?

Un dirham disponible aujourd'hui vaut plus qu'un dirham disponible dans un an : placé, il rapporterait des intérêts ; dépensé tout de suite, il évite l'attente. Pour comparer des flux reçus à des dates différentes, on les ramène tous à la date 0 par l'actualisation :

$$\text{Valeur actuelle d'un flux } F_t = \frac{F_t}{(1+k)^t} = F_t \times (1+k)^{-t}$$

Le taux d'actualisation $k$ représente le taux de rentabilité minimal exigé par l'entreprise. On retient en général le coût du capital (chapitre 8) : le coût moyen des ressources qui financent l'entreprise. Un projet est intéressant s'il rapporte plus que ce que coûtent les fonds qu'il mobilise. Pour un projet plus risqué que l'activité habituelle, on majore le taux d'une prime de risque.

Lorsque les flux sont constants (annuités), on utilise la formule de la valeur actuelle d'une suite d'annuités vue en mathématiques financières :

$$V_0 = a \times \frac{1 - (1+k)^{-n}}{k}$$

3.2 La valeur actuelle nette (VAN)

Définition — VAN Différence entre la somme des flux nets de trésorerie actualisés et le capital investi : $VAN = -I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+k)^t}$.

Règle de décision :

$VAN > 0$ : le projet rapporte plus que le taux exigé ; il crée de la valeur pour l'entreprise et ses actionnaires ; il est acceptable ;
$VAN < 0$ : il est rejeté ;
entre plusieurs projets exclusifs de même taille et de même durée, on retient celui dont la VAN est la plus élevée.

La VAN mesure, en dirhams d'aujourd'hui, l'enrichissement procuré par le projet au-delà de la rémunération des capitaux au taux $k$. Elle dépend fortement du taux : plus $k$ est élevé, plus la VAN est faible, car les flux lointains sont davantage réduits.

Exemple. La SARL Marrakech Print étudie une machine de 500 000 DH qui procure 150 000 DH de flux nets par an pendant 5 ans ; taux d'actualisation : 10 %.

$$VAN = -500\,000 + 150\,000 \times \frac{1 - 1{,}1^{-5}}{0{,}1} = -500\,000 + 150\,000 \times 3{,}790787 = \mathbf{68\,618{,}02\ DH}$$

Le projet est rentable : il rapporte, au-delà des 10 % exigés, l'équivalent de 68 618 DH d'aujourd'hui.

3.3 L'indice de profitabilité (IP)

Définition — Indice de profitabilité Rapport entre la valeur actuelle des flux et le capital investi : $IP = \frac{\sum CF_t (1+k)^{-t}}{I_0} = 1 + \frac{VAN}{I_0}$.

L'IP indique combien rapporte, en valeur actuelle, chaque dirham investi. Le projet est acceptable si $IP > 1$ (ce qui équivaut à $VAN > 0$). L'IP est utile pour comparer des projets de tailles différentes et pour choisir sous contrainte budgétaire (chapitre 4).

Exemple (suite). $IP = \frac{568\,618{,}02}{500\,000} = \mathbf{1{,}137}$ : chaque dirham investi rapporte 1,137 DH en valeur actuelle, soit 0,137 DH d'enrichissement net.

3.4 Le taux de rentabilité interne (TRI)

Définition — TRI Taux d'actualisation $r$ pour lequel la VAN est nulle : $-I_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{CF_t}{(1+r)^t} = 0$.

Le TRI est le taux de rentabilité propre du projet : le taux maximal auquel l'entreprise pourrait emprunter pour le financer sans perdre d'argent. Règle : le projet est acceptable si $TRI > k$ ; entre projets exclusifs comparables, on préfère le TRI le plus élevé, sous les réserves vues au chapitre 4.

Le calcul par interpolation linéaire

Sauf cas simples, le TRI se calcule par essais successifs :

on cherche deux taux proches $r_1$ et $r_2$ (écart de 1 point de préférence) qui donnent une VAN positive et une VAN négative ;
on interpole :

$$TRI \approx r_1 + (r_2 - r_1) \times \frac{VAN(r_1)}{VAN(r_1) - VAN(r_2)}$$

Exemple (suite). Avec des flux constants, on cherche le taux tel que $\frac{1 - (1+r)^{-5}}{r} = \frac{500\,000}{150\,000} = 3{,}3333$.

À 15 % : VAN = + 2 823,26 DH ; à 16 % : VAN = − 8 855,95 DH.
$TRI \approx 15\,\% + 1\,\% \times \frac{2\,823{,}26}{2\,823{,}26 + 8\,855{,}95} = 15\,\% + 0{,}24\,\% = \mathbf{15{,}24\,\%}$.

Le TRI (15,24 %) dépasse le taux exigé (10 %) : le projet est acceptable, ce qui est cohérent avec sa VAN positive.

3.5 Le délai de récupération du capital investi (DRCI)

Le délai de récupération est le temps nécessaire pour que les flux cumulés remboursent le capital investi. On distingue :

le délai simple, calculé sur les flux non actualisés ;
le délai actualisé, calculé sur les flux actualisés, plus exigeant et plus rigoureux.

Règle : le projet est acceptable si son délai est inférieur au délai maximal fixé par l'entreprise ; entre deux projets, on préfère le plus court. Lorsque les flux sont constants, le délai simple est égal à $I_0 / CF$ ; sinon, on cumule les flux et on interpole dans l'année où le cumul devient positif.

Exemple (suite). Délai simple : $500\,000 / 150\,000 = 3{,}33$ ans, soit 3 ans et 4 mois. Délai actualisé : les flux actualisés cumulés atteignent 475 479,82 DH à la fin de l'année 4 ; il manque 24 520,18 DH, alors que le flux actualisé de l'année 5 est de 93 138,20 DH : $4 + \frac{24\,520{,}18}{93\,138{,}20} = 4{,}26$ ans, soit environ 4 ans et 3 mois.

3.6 Synthèse des critères

Critère	Ce qu'il mesure	Règle	Avantages	Limites
VAN	Création de valeur en DH	VAN > 0	Critère de référence, additif, tient compte du temps et du taux exigé	Dépend du choix de $k$ ; avantage les gros projets
IP	Valeur créée par DH investi	IP > 1	Compare des projets de tailles différentes ; utile en rationnement	Même dépendance à $k$
TRI	Rentabilité propre du projet	TRI > k	Facile à comprendre, ne demande pas $k$ pour être calculé	Suppose le réinvestissement au TRI ; peut être multiple si les flux changent plusieurs fois de signe
DRCI	Liquidité, risque	DRCI < délai maximal	Simple ; utile aux entreprises à trésorerie tendue	Ignore les flux après le délai : ce n'est pas un critère de rentabilité

On retient souvent un critère comptable complémentaire, le taux de rentabilité comptable (résultat net moyen / investissement moyen), mais il ignore le temps et les flux de trésorerie : il ne sert qu'à titre indicatif.

3.7 Méthode : évaluer un projet en avenir certain

Poser l'échéancier des flux nets (chapitre 2), date par date.
Actualiser chaque flux au taux $k$ (ou utiliser la formule des annuités si les flux sont constants) et calculer la VAN.
En déduire l'IP : $1 + VAN / I_0$.
Calculer le TRI : deux taux encadrant le zéro, puis interpolation.
Calculer le délai de récupération simple et actualisé, en cumulant les flux.
Conclure : cohérence des critères, décision, réserves (risque, hypothèses).

⚠️ Les pièges à éviter

Actualiser le capital investi à la date 0 : il est déjà en valeur actuelle.
Confondre IP et VAN : l'IP est un rapport, sans unité.
Interpoler le TRI entre deux taux trop éloignés : l'erreur augmente avec l'écart.
Accepter un projet parce que son délai de récupération est court alors que sa VAN est négative.
Oublier que la VAN et le TRI conduisent toujours à la même décision pour un projet isolé à flux conventionnels, mais pas toujours pour classer des projets (chapitre 4).
Exprimer un délai de 4,74 ans comme « 4 ans et 74 mois » : convertir la partie décimale en mois ($0{,}74 \times 12$).

Exercice 1 — La rentabilité du projet Souss Emballages

Reprenez les flux nets du projet de la SA Souss Emballages calculés au chapitre 2 :

Date	0	1	2	3	4	5
Flux net (DH)	−1 370 000	212 000	300 000	418 000	418 000	718 000

Le taux d'actualisation est de 10 %. La direction exige un délai de récupération actualisé inférieur à 5 ans.

Travail à faire :

Calculez la VAN au taux de 10 %.
Calculez l'indice de profitabilité.
Sachant que la VAN est de 29 027,06 DH à 12 % et de − 11 681,55 DH à 13 %, déterminez le TRI.
Calculez le délai de récupération simple et le délai actualisé.
Le projet doit-il être retenu ?

Voir le corrigé

1) Actualisation des flux à 10 % :

Date	Flux	Coefficient $1{,}1^{-t}$	Flux actualisé	Cumul actualisé
0	−1 370 000	1	−1 370 000,00	−1 370 000,00
1	212 000	0,909091	192 727,27	−1 177 272,73
2	300 000	0,826446	247 933,88	−929 338,84
3	418 000	0,751315	314 049,59	−615 289,26
4	418 000	0,683013	285 499,62	−329 789,63
5	718 000	0,620921	445 821,51	116 031,88

$VAN = \mathbf{116\,031{,}88\ DH} > 0$ : le projet crée de la valeur au taux exigé de 10 %.

2) $IP = 1 + \frac{116\,031{,}88}{1\,370\,000} = \mathbf{1{,}085}$ : chaque dirham investi rapporte 1,085 DH en valeur actuelle.

3) Interpolation entre 12 % et 13 % :

$$TRI \approx 12\,\% + 1\,\% \times \frac{29\,027{,}06}{29\,027{,}06 + 11\,681{,}55} = 12\,\% + 0{,}71\,\% = \mathbf{12{,}71\,\%}$$

Le TRI est supérieur au taux exigé de 10 % : le projet est acceptable.

4) Délai simple : flux cumulés non actualisés −1 158 000 (date 1), −858 000 (date 2), −440 000 (date 3), −22 000 (date 4), +696 000 (date 5). Le capital est récupéré pendant l'année 5 : $4 + \frac{22\,000}{718\,000} = 4{,}03$ ans, soit 4 ans et environ 11 jours.

Délai actualisé : le cumul actualisé passe de −329 789,63 à +116 031,88 pendant l'année 5 : $4 + \frac{329\,789{,}63}{445\,821{,}51} = 4{,}74$ ans, soit $0{,}74 \times 12 \approx 8{,}9$ mois : 4 ans et environ 9 mois.

5) Oui : VAN positive (116 032 DH), IP supérieur à 1, TRI (12,71 %) supérieur au taux exigé (10 %) et délai actualisé (4 ans et 9 mois) inférieur à la limite de 5 ans. On note toutefois que la marge de sécurité est faible : le TRI ne dépasse le taux exigé que de 2,7 points et le capital n'est récupéré qu'à la dernière année, grâce à la valeur résiduelle et à la récupération du BFR. Une étude de sensibilité (chapitre 5) serait utile avant de décider.

Exercice 2 — Un projet à flux variables

La SARL Tétouan Plast étudie un moule d'injection de 800 000 DH qui procurera des flux nets de 250 000, 300 000, 350 000 et 200 000 DH sur 4 ans. Taux d'actualisation : 9 %.

Calculez la VAN et l'IP.
Sachant que la VAN est de 4 794,59 DH à 14 % et de − 11 284,26 DH à 15 %, calculez le TRI.
Calculez le délai de récupération simple et actualisé.

Voir le corrigé

Date	Flux	Coefficient $1{,}09^{-t}$	Flux actualisé	Cumul actualisé
0	−800 000	1	−800 000,00	−800 000,00
1	250 000	0,917431	229 357,80	−570 642,20
2	300 000	0,841680	252 504,00	−318 138,20
3	350 000	0,772183	270 264,22	−47 873,99
4	200 000	0,708425	141 685,04	93 811,06

$VAN = \mathbf{93\,811{,}06\ DH}$ ; $IP = 1 + \frac{93\,811{,}06}{800\,000} = \mathbf{1{,}117}$.

2) $TRI \approx 14\,\% + 1\,\% \times \frac{4\,794{,}59}{4\,794{,}59 + 11\,284{,}26} = 14\,\% + 0{,}30\,\% = \mathbf{14{,}30\,\%}$, supérieur à 9 %.

3) Délai simple : cumul −550 000, −250 000, puis +100 000 en année 3 : $2 + \frac{250\,000}{350\,000} = 2{,}71$ ans, soit 2 ans et environ 9 mois. Délai actualisé : $3 + \frac{47\,873{,}99}{141\,685{,}04} = 3{,}34$ ans, soit 3 ans et environ 4 mois.

Exercice 3 — Flux minimal et prix maximal

La SA Atlas Logistique veut investir 1 000 000 DH dans un entrepôt automatisé d'une durée de 6 ans, sans valeur résiduelle. Son taux exigé est de 12 %. Quel flux net annuel constant minimal doit procurer le projet ?
Une machine procurerait 180 000 DH de flux nets par an pendant 7 ans, plus une valeur résiduelle nette de 50 000 DH à la fin de l'année 7. Au taux de 11 %, quel prix maximal l'entreprise peut-elle payer ?

Voir le corrigé

1) Le flux minimal annule la VAN : $1\,000\,000 = CF \times \frac{1 - 1{,}12^{-6}}{0{,}12} = CF \times 4{,}111407$, d'où $CF = \frac{1\,000\,000}{4{,}111407} = \mathbf{243\,225{,}72\ DH}$ par an. En dessous, la VAN serait négative.

2) Le prix maximal est la valeur actuelle des flux : $180\,000 \times \frac{1 - 1{,}11^{-7}}{0{,}11} + 50\,000 \times 1{,}11^{-7} = 180\,000 \times 4{,}712196 + 50\,000 \times 0{,}481658 = 848\,195{,}33 + 24\,082{,}92 = \mathbf{872\,278{,}25\ DH}$. À ce prix, la VAN est nulle et le TRI est exactement de 11 %.

L'essentiel — Critères de choix en avenir certain

Actualiser : $F_t (1+k)^{-t}$ ; $k$ = taux de rentabilité minimal exigé, en général le coût du capital, majoré d'une prime si le projet est risqué.
Flux constants : $V_0 = a \times \frac{1-(1+k)^{-n}}{k}$.
VAN = $-I_0 + \sum CF_t (1+k)^{-t}$ ; projet acceptable si VAN > 0 ; mesure la création de valeur en DH.
IP = $\frac{\sum CF_t (1+k)^{-t}}{I_0} = 1 + \frac{VAN}{I_0}$ ; acceptable si IP > 1 ; compare des projets de tailles différentes.
TRI : taux qui annule la VAN ; acceptable si TRI > k ; c'est le taux maximal d'un financement sans perte.
Interpolation : $TRI \approx r_1 + (r_2 - r_1) \frac{VAN(r_1)}{VAN(r_1) - VAN(r_2)}$, avec deux taux proches.
DRCI simple (flux bruts) et actualisé (flux actualisés) : cumul des flux et interpolation dans l'année de récupération.
Le DRCI mesure la liquidité et le risque, pas la rentabilité : il ignore les flux postérieurs.
Pour un projet isolé, VAN > 0, IP > 1 et TRI > k vont ensemble.
Convertir les décimales d'années en mois : $0{,}74 \times 12 \approx 9$ mois.

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