Chapitre 4 · Semestre 5

Comparer des projets d'investissement

Choix d'Investissement et Modes de Financement

Cours Exercices Résumé QCM

🎯 Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

expliquer pourquoi la VAN et le TRI peuvent classer différemment deux projets exclusifs ;

calculer le taux d'indifférence (taux de Fisher) et l'utiliser pour trancher ;

calculer la VAN globale et le TRI global avec un taux de réinvestissement explicite ;

comparer des projets de durées différentes (renouvellement, annuité équivalente) et choisir sous contrainte budgétaire.

4.1 Le problème du classement

Pour un projet isolé, la VAN, l'IP et le TRI donnent toujours la même réponse : accepter ou refuser. Les difficultés apparaissent lorsqu'il faut classer des projets mutuellement exclusifs : les critères peuvent alors se contredire. Trois causes de conflit existent :

une différence de taille (capital investi) ;
une différence de profil des flux (flux élevés au début ou à la fin) ;
une différence de durée de vie.

La cause profonde est une hypothèse implicite de réinvestissement : la VAN suppose que les flux intermédiaires sont réinvestis au taux d'actualisation $k$, alors que le TRI suppose qu'ils le sont au TRI lui-même, ce qui est souvent irréaliste pour un TRI élevé.

4.2 Le conflit lié au profil des flux

Exemple. La SA Casa Food hésite entre deux lignes de production exclusives de 1 000 000 DH chacune, sur 4 ans ; taux d'actualisation : 8 %.

Date	0	1	2	3	4
Projet A	−1 000 000	700 000	400 000	200 000	100 000
Projet B	−1 000 000	100 000	200 000	500 000	900 000

Critère	Projet A	Projet B	Préférence
VAN à 8 %	223 353,11	322 503,34	B
TRI	21,84 %	17,88 %	A

A récupère son capital très vite ; B rapporte davantage au total, mais tard. Les deux critères se contredisent.

Le taux de Fisher (taux d'indifférence)

Le taux de Fisher est le taux d'actualisation pour lequel les deux projets ont la même VAN. On l'obtient comme le TRI du projet différentiel B − A :

Date	0	1	2	3	4
B − A	0	−600 000	−200 000	300 000	800 000

La VAN de B − A vaut + 10 967,24 DH à 13 % et − 4 053,62 DH à 14 % : $13\,\% + 1\,\% \times \frac{10\,967{,}24}{15\,020{,}86} = \mathbf{13{,}73\,\%}$.

Interprétation :

si le taux d'actualisation de l'entreprise est inférieur à 13,73 %, B a la VAN la plus élevée : on retient B ;
s'il est supérieur, A est préférable.

Avec $k = 8\,\%$, la décision est B : en cas de conflit, la VAN est le critère de référence, parce qu'elle mesure directement la richesse créée et repose sur une hypothèse de réinvestissement plus réaliste.

4.3 Les critères globaux (ou intégrés)

Pour lever l'ambiguïté, on rend explicite le taux de réinvestissement $i$ des flux intermédiaires. On calcule la valeur acquise $A$ des flux à la fin du projet, réinvestis au taux $i$ :

$$A = \sum_{t=1}^{n} CF_t \times (1+i)^{n-t}$$

puis :

$$VAN_G = A \times (1+k)^{-n} - I_0 \qquad TRI_G = \left(\frac{A}{I_0}\right)^{1/n} - 1$$

Exemple (suite). Avec un réinvestissement au taux de 8 % :

$A_A = 700\,000 \times 1{,}08^3 + 400\,000 \times 1{,}08^2 + 200\,000 \times 1{,}08 + 100\,000 = 1\,664\,358{,}40$ DH ; $TRI_G = (1{,}66436)^{1/4} - 1 = \mathbf{13{,}58\,\%}$ ;
$A_B = 100\,000 \times 1{,}08^3 + 200\,000 \times 1{,}08^2 + 500\,000 \times 1{,}08 + 900\,000 = 1\,799\,251{,}20$ DH ; $TRI_G = (1{,}79925)^{1/4} - 1 = \mathbf{15{,}82\,\%}$.

Avec une hypothèse de réinvestissement réaliste, le TRI global classe aussi B en tête. Quand le taux de réinvestissement est égal au taux d'actualisation, la VAN globale est égale à la VAN classique.

4.4 Le conflit lié à la taille

Un petit projet très rentable peut avoir un TRI élevé et une VAN faible ; un gros projet un TRI plus modeste mais une VAN plus forte. La méthode du projet différentiel s'applique : on se demande si l'investissement supplémentaire du gros projet est lui-même rentable. Si le TRI du différentiel dépasse $k$ (ou si sa VAN est positive), le gros projet est préférable, à condition que l'entreprise dispose des fonds. Sinon, l'indice de profitabilité permet de comparer la rentabilité par dirham investi.

4.5 Les projets de durées différentes

Comparer la VAN d'un projet de 3 ans à celle d'un projet de 6 ans revient à comparer des choses différentes : à la fin du premier, l'entreprise peut réinvestir. Deux méthodes :

1. Le renouvellement sur une durée commune (le plus petit commun multiple des durées) : on suppose que chaque projet est renouvelé à l'identique jusqu'à la durée commune, puis on compare les VAN.

2. L'annuité équivalente : on transforme la VAN de chaque projet en une annuité constante sur sa propre durée :

$$AE = VAN \times \frac{k}{1 - (1+k)^{-n}}$$

On retient le projet dont l'annuité équivalente est la plus élevée. Les deux méthodes donnent le même classement.

Exemple. La SARL Agadir Froid compare deux compresseurs de 600 000 DH ; $k = 10\,\%$ :

C dure 3 ans et rapporte 280 000 DH par an : $VAN_C = -600\,000 + 280\,000 \times 2{,}486852 = 96\,318{,}56$ DH ;
D dure 6 ans et rapporte 160 000 DH par an : $VAN_D = -600\,000 + 160\,000 \times 4{,}355261 = 96\,841{,}71$ DH.

Les VAN sont presque égales, mais C libère l'entreprise au bout de 3 ans. Annuités équivalentes : $AE_C = 96\,318{,}56 / 2{,}486852 = \mathbf{38\,731{,}12}$ DH ; $AE_D = 96\,841{,}71 / 4{,}355261 = \mathbf{22\,235{,}57}$ DH. C est nettement préférable. Vérification par le renouvellement sur 6 ans : $VAN_{C+C} = 96\,318{,}56 + 96\,318{,}56 \times 1{,}1^{-3} = 168\,684{,}12$ DH, supérieure à $VAN_D$.

4.6 Le rationnement du capital

Lorsque le budget d'investissement est limité, l'entreprise ne peut pas réaliser tous les projets indépendants rentables. Elle cherche la combinaison de projets qui maximise la VAN totale sans dépasser le budget. Une méthode simple consiste à classer les projets par indice de profitabilité décroissant et à les retenir jusqu'à épuisement du budget ; lorsque les projets sont indivisibles, il faut vérifier les combinaisons proches.

Exemple. Budget : 2 000 000 DH.

Projet	Capital (DH)	VAN (DH)	IP	Rang
P1	800 000	120 000	1,15	3
P2	600 000	150 000	1,25	1
P3	1 000 000	180 000	1,18	2
P4	400 000	40 000	1,10	4

On retient P2 et P3 (1 600 000 DH) ; P1 ne tient plus dans les 400 000 DH restants, mais P4 oui. Combinaison P2 + P3 + P4 : 2 000 000 DH, VAN totale 370 000 DH, supérieure à toute autre combinaison possible (P1 + P2 + P4 : 310 000 DH ; P1 + P3 : 300 000 DH).

4.7 Méthode : classer des projets exclusifs

Calculer VAN, IP et TRI de chaque projet.
Si les critères concordent, conclure.
En cas de conflit : identifier la cause (taille, profil, durée).
Profil ou taille : calculer le taux de Fisher (TRI du projet différentiel) et le comparer à $k$ ; ou calculer les critères globaux avec un taux de réinvestissement explicite.
Durées différentes : annuité équivalente ou renouvellement sur une durée commune.
Budget limité : classement par IP et vérification des combinaisons.
Conclure en privilégiant la VAN (ou ses dérivés) et en rappelant les hypothèses.

⚠️ Les pièges à éviter

Choisir entre projets exclusifs au TRI le plus élevé sans vérifier la VAN.
Comparer directement les VAN de projets de durées différentes.
Oublier que le taux de Fisher se calcule sur la différence des flux, date par date.
Calculer le TRI global en oubliant d'élever à la puissance $1/n$.
Appliquer le classement par IP à des projets exclusifs : il sert au rationnement de projets indépendants.
Oublier, en rationnement, de vérifier les combinaisons quand les projets sont indivisibles.

Exercice 1 — Deux fours pour la Boulangerie Industrielle de Kénitra

La SA BIK doit choisir entre deux fours exclusifs, de durée de vie 5 ans, sans valeur résiduelle. Taux d'actualisation : 10 %.

Four X : 400 000 DH, flux nets de 130 000 DH par an ;
Four Y : 1 000 000 DH, flux nets de 290 000 DH par an.

On donne : $\frac{1 - 1{,}1^{-5}}{0{,}1} = 3{,}790787$. VAN de X : 6 532,23 DH à 18 % et − 2 507,46 DH à 19 %. VAN de Y : 19 997,07 DH à 13 % et − 4 406,52 DH à 14 %. VAN du projet différentiel Y − X : 6 525,88 DH à 10 % et − 8 656,48 DH à 11 %.

Travail à faire :

Calculez la VAN et l'IP de chaque four.
Calculez le TRI de chaque four.
Les critères concordent-ils ? Quelle est la cause du conflit ?
Calculez le taux de Fisher et concluez.
Quelle décision prendre si BIK ne dispose que de 500 000 DH pour investir ?

Voir le corrigé

$VAN_X = -400\,000 + 130\,000 \times 3{,}790787 = \mathbf{92\,802{,}28\ DH}$ ; $IP_X = 1 + 92\,802{,}28 / 400\,000 = \mathbf{1{,}232}$.
$VAN_Y = -1\,000\,000 + 290\,000 \times 3{,}790787 = \mathbf{99\,328{,}16\ DH}$ ; $IP_Y = 1 + 99\,328{,}16 / 1\,000\,000 = \mathbf{1{,}099}$.

$TRI_X \approx 18\,\% + 1\,\% \times \frac{6\,532{,}23}{6\,532{,}23 + 2\,507{,}46} = \mathbf{18{,}72\,\%}$.
$TRI_Y \approx 13\,\% + 1\,\% \times \frac{19\,997{,}07}{19\,997{,}07 + 4\,406{,}52} = \mathbf{13{,}82\,\%}$.

3) Non : la VAN préfère Y (99 328 DH contre 92 802 DH), l'IP et le TRI préfèrent X. Le conflit vient de la taille : Y mobilise 2,5 fois plus de capital.

4) Le projet différentiel Y − X demande 600 000 DH de plus et rapporte 160 000 DH de plus par an. Son TRI est le taux de Fisher :

$$10\,\% + 1\,\% \times \frac{6\,525{,}88}{6\,525{,}88 + 8\,656{,}48} = \mathbf{10{,}43\,\%}$$

Les 600 000 DH supplémentaires rapportent 10,43 %, un peu plus que le taux exigé de 10 % : l'investissement additionnel est (faiblement) rentable. Si BIK dispose des fonds, elle doit choisir Y, qui maximise la VAN. La marge est toutefois très mince : une légère hausse du taux exigé, au-delà de 10,43 %, ferait basculer le choix vers X.

5) Avec 500 000 DH, Y est irréalisable : BIK choisit X, rentable (VAN positive) et compatible avec son budget. Elle peut placer ou investir ailleurs les 100 000 DH restants.

Exercice 2 — Critères globaux avec réinvestissement à 6 %

Deux projets exclusifs de 500 000 DH, sur 3 ans, ont les flux suivants : E : 300 000, 250 000, 100 000 ; F : 50 000, 200 000, 500 000. Taux d'actualisation : 9 %. Les flux intermédiaires ne peuvent être replacés qu'au taux de 6 %. On donne : VAN à 9 % : E = 62 867,70 DH ; F = 100 299,30 DH. VAN à 17 % : E = 1 475,70 ; F = 1 023,03. VAN à 18 % : E = − 5 353,52 ; F = − 9 674,80.

Calculez le TRI de chaque projet. Les critères concordent-ils ?
Calculez la valeur acquise des flux au taux de 6 %, puis le TRI global et la VAN globale.
Concluez.

Voir le corrigé

1) $TRI_E \approx 17\,\% + 1\,\% \times \frac{1\,475{,}70}{6\,829{,}22} = \mathbf{17{,}22\,\%}$ ; $TRI_F \approx 17\,\% + 1\,\% \times \frac{1\,023{,}03}{10\,697{,}83} = \mathbf{17{,}10\,\%}$. Le TRI préfère légèrement E, la VAN préfère nettement F : conflit dû au profil des flux.

$A_E = 300\,000 \times 1{,}06^2 + 250\,000 \times 1{,}06 + 100\,000 = 337\,080 + 265\,000 + 100\,000 = 702\,080$ DH ; $TRI_G = (702\,080 / 500\,000)^{1/3} - 1 = \mathbf{11{,}98\,\%}$ ; $VAN_G = 702\,080 \times 1{,}09^{-3} - 500\,000 = \mathbf{42\,134{,}58\ DH}$.
$A_F = 50\,000 \times 1{,}06^2 + 200\,000 \times 1{,}06 + 500\,000 = 56\,180 + 212\,000 + 500\,000 = 768\,180$ DH ; $TRI_G = (768\,180 / 500\,000)^{1/3} - 1 = \mathbf{15{,}39\,\%}$ ; $VAN_G = 768\,180 \times 1{,}09^{-3} - 500\,000 = \mathbf{93\,175{,}91\ DH}$.

3) Avec une hypothèse de réinvestissement réaliste (6 %), F l'emporte sur tous les critères globaux. Le TRI simple favorisait E parce qu'il supposait que ses flux, reçus tôt, seraient replacés à plus de 17 %, ce qui est impossible ici.

Exercice 3 — Annuité équivalente

La SA Meknès Agro compare deux équipements exclusifs et renouvelables ; taux : 11 %.

G : 900 000 DH, durée 4 ans, flux nets de 320 000 DH par an ;
H : 1 300 000 DH, durée 7 ans, flux nets de 300 000 DH par an.

On donne : $\frac{1-1{,}11^{-4}}{0{,}11} = 3{,}102446$ et $\frac{1-1{,}11^{-7}}{0{,}11} = 4{,}712196$.

Calculez la VAN de chaque équipement.
Calculez leur annuité équivalente et concluez.

Voir le corrigé

1) $VAN_G = -900\,000 + 320\,000 \times 3{,}102446 = \mathbf{92\,782{,}62\ DH}$ ; $VAN_H = -1\,300\,000 + 300\,000 \times 4{,}712196 = \mathbf{113\,658{,}88\ DH}$.

2) $AE_G = 92\,782{,}62 / 3{,}102446 = \mathbf{29\,906{,}28\ DH}$ par an ; $AE_H = 113\,658{,}88 / 4{,}712196 = \mathbf{24\,120{,}15\ DH}$ par an. La VAN brute favorise H, mais elle compare des durées différentes. Ramenée à l'année, la création de valeur de G est supérieure : si l'équipement est renouvelable, G est préférable.

L'essentiel — Comparer des projets

Pour un projet isolé, VAN, IP et TRI concordent ; pour classer des projets exclusifs, ils peuvent se contredire.
Causes de conflit : taille, profil des flux (tôt ou tard), durée.
Hypothèse implicite : la VAN réinvestit les flux au taux k, le TRI au TRI (souvent irréaliste).
Taux de Fisher : taux qui égalise les VAN ; c'est le TRI du projet différentiel (B − A) ; si k < taux de Fisher, on retient le projet à la plus forte VAN à k.
En cas de conflit, la VAN est le critère de référence.
Critères globaux : valeur acquise $A = \sum CF_t (1+i)^{n-t}$ ; $VAN_G = A(1+k)^{-n} - I_0$ ; $TRI_G = (A/I_0)^{1/n} - 1$.
Taille : on teste la rentabilité de l'investissement supplémentaire (projet différentiel) ; à budget limité, on compare les IP.
Durées différentes : renouvellement jusqu'au PPCM des durées ou annuité équivalente $AE = VAN \times \frac{k}{1-(1+k)^{-n}}$ ; même classement.
Rationnement : maximiser la VAN totale sous le budget ; classer par IP décroissant puis vérifier les combinaisons si les projets sont indivisibles.
Le classement par IP vaut pour des projets indépendants, pas pour des projets exclusifs.

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