Chapitre 5 · Semestre 5

Le choix en avenir risqué et incertain

Choix d'Investissement et Modes de Financement

Cours Exercices Résumé QCM

🎯 Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

distinguer avenir certain, avenir risqué (probabilisable) et avenir incertain (non probabilisable) ;

calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de la VAN, et appliquer le critère espérance-variance ;

construire et résoudre un arbre de décision ;

appliquer les critères de Laplace, Wald, maximax, Hurwicz et Savage, et réaliser une analyse de sensibilité.

5.1 Trois situations d'avenir

Les chapitres précédents supposaient des flux certains. Dans la réalité, les ventes, les prix, les coûts et les taux varient. On distingue :

Situation	Ce que l'on connaît	Outils
Avenir certain	Un seul scénario	VAN, TRI, IP, DRCI
Avenir risqué (probabilisable)	Les scénarios possibles et leurs probabilités	Espérance, écart-type, arbre de décision
Avenir incertain (non probabilisable)	Les scénarios possibles, sans probabilités	Critères de Laplace, Wald, maximax, Hurwicz, Savage

Avant d'utiliser ces outils, il est souvent utile de mesurer la sensibilité du projet : quelle variation des hypothèses rendrait la VAN nulle ?

5.2 L'analyse de sensibilité et le seuil de rentabilité du projet

L'analyse de sensibilité consiste à faire varier une hypothèse à la fois (prix, volume, coût, durée, taux) pour observer l'effet sur la VAN. On calcule souvent le point mort du projet : la valeur d'une variable pour laquelle la VAN s'annule.

Exemple. Un projet de 1 000 000 DH sur 5 ans, à 10 %, n'est rentable que si son flux annuel atteint $1\,000\,000 / 3{,}790787 = 263\,797{,}48$ DH. Si le flux prévu est de 300 000 DH, la marge de sécurité est de $\frac{300\,000 - 263\,797{,}48}{300\,000} = 12{,}1\,\%$ : une baisse des flux de plus de 12 % rendrait le projet non rentable.

La méthode des scénarios complète cette approche : on calcule la VAN dans un scénario pessimiste, moyen et optimiste, en modifiant plusieurs hypothèses à la fois.

5.3 L'avenir risqué : le critère espérance-variance

Lorsque l'on peut attribuer une probabilité $p_j$ à chaque scénario $j$, on calcule :

$$E(VAN) = \sum_j p_j \times VAN_j \qquad V(VAN) = \sum_j p_j \times \left(VAN_j - E(VAN)\right)^2 \qquad \sigma(VAN) = \sqrt{V(VAN)}$$

L'espérance mesure la rentabilité moyenne attendue.
L'écart-type mesure le risque : la dispersion des résultats possibles autour de la moyenne.
Le coefficient de variation $CV = \sigma / E$ mesure le risque par dirham de VAN espérée ; il permet de comparer des projets de rentabilités différentes.

Règle : entre deux projets, on préfère celui qui a la plus forte espérance pour un risque donné, ou le plus faible risque pour une espérance donnée. Si un projet a à la fois une espérance plus élevée et un écart-type plus faible, il domine l'autre. Sinon, le choix dépend de l'aversion au risque du décideur.

Exemple. La SA Settat Agro étudie un projet de 1 000 000 DH sur 5 ans, à 10 %. Les flux annuels dépendent de la conjoncture :

Scénario	Probabilité	Flux annuel	VAN
Pessimiste	0,25	200 000	−241 842,65
Moyen	0,50	300 000	137 236,03
Optimiste	0,25	400 000	516 314,71

$E(VAN) = 0{,}25 \times (-241\,842{,}65) + 0{,}5 \times 137\,236{,}03 + 0{,}25 \times 516\,314{,}71 = \mathbf{137\,236{,}03\ DH}$ ;
$\sigma(VAN) = \sqrt{0{,}25 \times 379\,078{,}68^2 + 0 + 0{,}25 \times 379\,078{,}68^2} = \mathbf{268\,049{,}10\ DH}$ ;
la probabilité d'une VAN négative est de 25 % (scénario pessimiste).

Le projet est rentable en moyenne, mais il comporte un risque réel de perte : la décision dépendra de la tolérance au risque de la direction.

Le cas des flux indépendants

Lorsque les flux des différentes années sont des variables aléatoires indépendantes, d'espérances $E(CF_t)$ et de variances $V(CF_t)$ :

$$E(VAN) = -I_0 + \sum_t \frac{E(CF_t)}{(1+k)^t} \qquad V(VAN) = \sum_t \frac{V(CF_t)}{(1+k)^{2t}}$$

Si la VAN suit une loi normale, on peut calculer la probabilité qu'elle soit négative : $P(VAN < 0) = P\left(Z < \frac{-E(VAN)}{\sigma(VAN)}\right)$, à lire dans la table de la loi normale centrée réduite.

5.4 L'arbre de décision

Lorsque la décision est séquentielle (on décide aujourd'hui, puis on pourra adapter la décision plus tard selon ce qui se sera passé), on utilise un arbre de décision :

les nœuds de décision (carrés) représentent les choix du décideur ;
les nœuds d'événement (ronds) représentent les événements aléatoires, avec leurs probabilités ;
on résout l'arbre de droite à gauche : à chaque nœud d'événement, on calcule l'espérance ; à chaque nœud de décision, on retient la branche à l'espérance la plus élevée.

Exemple. Une entreprise de Tanger hésite entre une grande usine et une petite usine. La demande sera forte (probabilité 0,6) ou faible (0,4). VAN en milliers de DH : grande usine 900 (forte) ou − 300 (faible) ; petite usine 400 (forte) ou 100 (faible).

$E(\text{grande}) = 0{,}6 \times 900 + 0{,}4 \times (-300) = 420$ ;
$E(\text{petite}) = 0{,}6 \times 400 + 0{,}4 \times 100 = 280$.

Si la petite usine peut être agrandie après deux ans en cas de forte demande, pour une VAN totale de 600 dans ce cas, $E(\text{petite avec option}) = 0{,}6 \times 600 + 0{,}4 \times 100 = 400$. L'option d'agrandissement vaut $400 - 280 = 120$, mais ne suffit pas ici à dépasser la grande usine (420). L'arbre révèle ainsi la valeur de la flexibilité.

5.5 L'avenir incertain : les critères de décision

Lorsque les probabilités sont inconnues, on dispose d'une matrice des gains (VAN de chaque projet dans chaque état de la nature) et de plusieurs critères, qui traduisent des attitudes différentes face au risque :

Critère	Règle	Attitude
Laplace	Moyenne arithmétique des résultats de chaque projet (états supposés équiprobables) ; retenir la plus forte	Neutre
Wald (maximin)	Retenir le projet dont le plus mauvais résultat est le meilleur	Prudent, pessimiste
Maximax	Retenir le projet dont le meilleur résultat est le plus élevé	Optimiste, audacieux
Hurwicz	Pour chaque projet : $\alpha \times \max + (1-\alpha) \times \min$, avec $\alpha$ coefficient d'optimisme ; retenir la plus forte valeur	Intermédiaire
Savage (minimax regret)	Calculer les regrets (écart au meilleur résultat de chaque état), puis retenir le projet dont le regret maximal est le plus faible	Éviter les remords

Aucun critère n'est « juste » : chacun reflète un tempérament. Une entreprise fragile, qui ne peut pas supporter une perte, choisira plutôt le critère de Wald ; une entreprise solide qui veut saisir une opportunité pourra préférer le maximax ou Hurwicz avec un coefficient d'optimisme élevé.

5.6 Le taux d'actualisation ajusté au risque

Une méthode simple, très utilisée en pratique, consiste à majorer le taux d'actualisation d'une prime de risque : un projet de diversification sera actualisé à 14 % si l'activité habituelle l'est à 10 %. Elle pénalise davantage les flux lointains, ce qui est cohérent si le risque augmente avec le temps, mais la prime est souvent fixée de manière forfaitaire. Le MEDAF (chapitre 8) en donne un fondement théorique.

5.7 Méthode : traiter un exercice en avenir risqué ou incertain

Identifier la situation : probabilités connues (risque) ou non (incertitude).
Calculer la VAN de chaque projet dans chaque scénario.
Avenir risqué : espérance, écart-type, coefficient de variation ; chercher une dominance ; sinon, discuter selon l'aversion au risque. Décision séquentielle : arbre de décision.
Avenir incertain : construire la matrice des gains, puis appliquer les cinq critères ; pour Savage, construire la matrice des regrets.
Compléter par une analyse de sensibilité (point mort, marge de sécurité).
Conclure en présentant le choix selon le profil du décideur.

⚠️ Les pièges à éviter

Confondre risque (probabilités connues) et incertitude (probabilités inconnues).
Oublier de prendre la racine carrée de la variance pour obtenir l'écart-type.
Pour Savage, calculer les regrets par ligne au lieu de par colonne (état de la nature).
Dans Hurwicz, appliquer le coefficient d'optimisme au minimum au lieu du maximum.
Résoudre un arbre de décision de gauche à droite : on part toujours des branches finales.
Conclure sur la seule espérance sans parler du risque.

Exercice 1 — Le choix stratégique de la SARL Rif Textile

La SARL Rif Textile (Tétouan) hésite entre trois projets exclusifs : P1 (extension de l'atelier), P2 (nouvelle ligne de vêtements de sport), P3 (sous-traitance pour un donneur d'ordre européen). La VAN (en milliers de DH) dépend du niveau de la demande :

Projet	Demande faible	Demande moyenne	Demande forte
P1	−200	300	700
P2	−500	200	1 200
P3	100	250	400

Travail à faire :

Les probabilités étant inconnues, appliquez les critères de Laplace, Wald, maximax et Hurwicz (coefficient d'optimisme de 0,6).
Construisez la matrice des regrets et appliquez le critère de Savage.
Un cabinet d'études estime les probabilités à 0,3 (faible), 0,5 (moyenne) et 0,2 (forte). Calculez l'espérance, l'écart-type et le coefficient de variation de la VAN de chaque projet.
Quel projet recommandez-vous ? Justifiez.

Voir le corrigé

Projet	Laplace (moyenne)	Wald (minimum)	Maximax (maximum)	Hurwicz (0,6 max + 0,4 min)
P1	$800 / 3 = 266{,}67$	−200	700	$420 - 80 = 340$
P2	$900 / 3 = \mathbf{300}$	−500	1 200	$720 - 200 = \mathbf{520}$
P3	$750 / 3 = 250$	100	400	$240 + 40 = 280$
Choix	P2	P3	P2	P2

2) Meilleur résultat de chaque état : faible 100 (P3), moyenne 300 (P1), forte 1 200 (P2). Regret = meilleur résultat de l'état − résultat du projet :

Projet	Faible	Moyenne	Forte	Regret maximal
P1	300	0	500	500
P2	600	100	0	600
P3	0	50	800	800

Le critère de Savage retient P1, dont le regret maximal (500) est le plus faible.

$E(P1) = 0{,}3 \times (-200) + 0{,}5 \times 300 + 0{,}2 \times 700 = -60 + 150 + 140 = \mathbf{230}$ ; $\sigma(P1) = \sqrt{0{,}3 \times 430^2 + 0{,}5 \times 70^2 + 0{,}2 \times 470^2} = \mathbf{319{,}53}$ ; $CV = 1{,}39$.
$E(P2) = -150 + 100 + 240 = \mathbf{190}$ ; $\sigma(P2) = \sqrt{0{,}3 \times 690^2 + 0{,}5 \times 10^2 + 0{,}2 \times 1\,010^2} = \mathbf{588{,}98}$ ; $CV = 3{,}10$.
$E(P3) = 30 + 125 + 80 = \mathbf{235}$ ; $\sigma(P3) = \sqrt{0{,}3 \times 135^2 + 0{,}5 \times 15^2 + 0{,}2 \times 165^2} = \mathbf{105{,}00}$ ; $CV = 0{,}45$.

4) Avec les probabilités du cabinet, P3 domine les deux autres projets : il a la plus forte espérance (235) et le plus faible écart-type (105). C'est aussi le choix prudent du critère de Wald : il ne perd d'argent dans aucun scénario. P2 n'est intéressant que pour un décideur très optimiste (maximax, Hurwicz) qui croit à une forte demande. On recommande P3, en notant qu'il crée une dépendance vis-à-vis d'un seul donneur d'ordre, risque qualitatif à surveiller.

Exercice 2 — Des flux annuels indépendants

Un projet de 500 000 DH procure pendant 3 ans des flux annuels indépendants d'espérance 220 000 DH et d'écart-type 40 000 DH. Taux d'actualisation : 8 % ; on admet que la VAN suit une loi normale. On donne : $\frac{1-1{,}08^{-3}}{0{,}08} = 2{,}577097$ ; $1{,}08^{-2} = 0{,}857339$ ; $1{,}08^{-4} = 0{,}735030$ ; $1{,}08^{-6} = 0{,}630170$.

Calculez l'espérance de la VAN.
Calculez sa variance et son écart-type.
Quelle est la probabilité que le projet ne soit pas rentable ?

Voir le corrigé

1) $E(VAN) = -500\,000 + 220\,000 \times 2{,}577097 = \mathbf{66\,961{,}34\ DH}$.

2) $V(VAN) = 40\,000^2 \times (0{,}857339 + 0{,}735030 + 0{,}630170) = 1{,}6 \times 10^9 \times 2{,}222539 \approx 3{,}556 \times 10^9$ ; $\sigma(VAN) \approx \mathbf{59\,632{,}72\ DH}$.

3) $P(VAN < 0) = P\left(Z < \frac{-66\,961{,}34}{59\,632{,}72}\right) = P(Z < -1{,}12) = 1 - \Phi(1{,}12) = 1 - 0{,}8686 \approx \mathbf{13\,\%}$. Le projet a environ 87 % de chances d'être rentable.

Exercice 3 — Faut-il tester le marché ?

La SA Atlas Cosmétiques peut lancer directement un nouveau produit : succès (probabilité 0,5, VAN de 800 milliers de DH) ou échec (probabilité 0,5, VAN de − 400). Elle peut aussi réaliser d'abord un test de marché coûtant 50 milliers de DH :

le test est favorable avec une probabilité de 0,5 ; la probabilité de succès devient alors 0,8 ;
il est défavorable avec une probabilité de 0,5 ; la probabilité de succès devient alors 0,2, et l'entreprise peut renoncer (VAN nulle).

Calculez l'espérance du lancement direct.
Résolvez l'arbre de décision avec test.
Quelle est la valeur de l'information apportée par le test ? Faut-il le faire ?

Voir le corrigé

1) $E(\text{lancement direct}) = 0{,}5 \times 800 + 0{,}5 \times (-400) = \mathbf{200}$ milliers de DH.

2) De droite à gauche :

test favorable, lancement : $0{,}8 \times 800 + 0{,}2 \times (-400) = 560$ ; on lance ;
test défavorable, lancement : $0{,}2 \times 800 + 0{,}8 \times (-400) = -160$, inférieur à 0 : on renonce (0) ;
$E(\text{test}) = 0{,}5 \times 560 + 0{,}5 \times 0 - 50 = \mathbf{230}$ milliers de DH.

3) Sans tenir compte de son coût, le test porte l'espérance à $0{,}5 \times 560 = 280$ : sa valeur est de $280 - 200 = 80$ milliers de DH, supérieure à son coût de 50. Il faut faire le test : il permet d'éviter les lancements voués à l'échec.

L'essentiel — Avenir risqué et incertain

Risque : scénarios et probabilités connus ; incertitude : probabilités inconnues.
Sensibilité : faire varier une hypothèse ; point mort du projet (flux qui annule la VAN) et marge de sécurité.
$E(VAN) = \sum p_j VAN_j$ ; $\sigma(VAN) = \sqrt{\sum p_j (VAN_j - E)^2}$ ; $CV = \sigma / E$.
Un projet domine s'il a une espérance plus forte et un écart-type plus faible ; sinon le choix dépend de l'aversion au risque.
Flux indépendants : $V(VAN) = \sum V(CF_t) (1+k)^{-2t}$ ; si la VAN est normale, $P(VAN<0) = P(Z < -E/\sigma)$.
Arbre de décision : nœuds de décision (carrés) et d'événement (ronds) ; résolution de droite à gauche ; met en évidence la valeur de la flexibilité et de l'information.
Laplace : moyenne des résultats ; Wald : meilleur des minima (prudence) ; maximax : meilleur des maxima (audace).
Hurwicz : $\alpha \times \max + (1-\alpha) \times \min$, $\alpha$ = coefficient d'optimisme.
Savage : regrets par état (meilleur résultat de la colonne − résultat), puis plus petit regret maximal.
Taux ajusté au risque : prime ajoutée au taux d'actualisation pour les projets plus risqués.

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