Les préférences et l'utilité du consommateur

Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :

• énoncer les hypothèses sur les préférences du consommateur ;
• distinguer utilité totale et utilité marginale, et énoncer leur loi de décroissance ;
• tracer et interpréter des courbes d'indifférence ;
• calculer et interpréter le taux marginal de substitution (TMS) ;
• reconnaître les cas des biens parfaitement substituables et parfaitement complémentaires.

4.1 Le panier de biens et les préférences

Pour simplifier, on suppose que le consommateur choisit entre deux biens, $x$ et $y$ (le second pouvant représenter « tous les autres biens »). Un panier est une combinaison $(x, y)$ : par exemple 4 repas au restaurant universitaire et 9 trajets en tramway par semaine.

Le consommateur est capable de classer les paniers. Quatre hypothèses encadrent ce classement :

Hypothèse	Contenu
Complétude	Entre deux paniers A et B, il sait toujours dire s'il préfère A, B, ou s'il est indifférent
Transitivité	S'il préfère A à B et B à C, il préfère A à C : ses choix sont cohérents
Non-saturation	Plus est préféré à moins : un panier qui contient plus d'un bien sans moins de l'autre est préféré
Convexité	Il préfère les paniers « équilibrés » aux paniers extrêmes

4.2 La fonction d'utilité

Définition — Fonction d'utilité. Fonction $U(x, y)$ qui associe à chaque panier un nombre d'autant plus grand que le panier est préféré.

Les premiers marginalistes (Jevons, Menger, Walras, vers 1870) pensaient l'utilité mesurable : c'est l'approche cardinale. On admet aujourd'hui que seul le classement compte : c'est l'approche ordinale. Que $U(A) = 36$ et $U(B) = 30$ signifie seulement que A est préféré à B, pas que A apporte « 6 unités de bonheur » de plus. Toute transformation croissante de $U$ (multiplier par 2, prendre le logarithme) représente donc les mêmes préférences.

Exemple : $U(x, y) = x \times y$. Les paniers $(4 ; 9)$, $(6 ; 6)$ et $(3 ; 12)$ donnent tous $U = 36$ : le consommateur leur est indifférent. Le panier $(5 ; 8)$, avec $U = 40$, est préféré.

4.3 L'utilité marginale

Définition — Utilité marginale. Supplément d'utilité procuré par une unité supplémentaire d'un bien, la quantité de l'autre restant constante : $Um_x = \dfrac{\partial U}{\partial x}$.

Un étudiant qui revient d'un match de football à Tanger en plein été boit des verres de jus d'orange :

Verres	1	2	3	4	5	6
Utilité totale	20	35	45	51	54	54
Utilité marginale	20	15	10	6	3	0

L'utilité totale augmente, mais de moins en moins : c'est la loi de l'utilité marginale décroissante (première loi de Gossen). Au sixième verre, l'utilité marginale est nulle : l'étudiant est rassasié. Cette loi explique en partie la décroissance de la demande : on n'accepte de payer cher que les premières unités.

Pour $U = xy$ : $Um_x = y$ et $Um_y = x$.

4.4 Les courbes d'indifférence

Définition — Courbe d'indifférence. Ensemble des paniers qui procurent le même niveau d'utilité au consommateur.

Pour $U = xy = 36$, la courbe a pour équation $y = 36 / x$. L'ensemble des courbes (une par niveau d'utilité) forme la carte d'indifférence.

Propriétés, qui découlent des hypothèses du 4.1 :

1. Elles sont décroissantes : pour garder la même satisfaction avec moins de $y$, il faut plus de $x$ (non-saturation).
2. Plus une courbe est éloignée de l'origine, plus le niveau d'utilité est élevé.
3. Deux courbes ne se coupent jamais (sinon la transitivité serait violée).
4. Elles sont convexes (tournées vers l'origine) : c'est la traduction de la préférence pour les paniers équilibrés.

4.5 Le taux marginal de substitution

Définition — Taux marginal de substitution (TMS). Quantité de bien $y$ que le consommateur est prêt à céder pour obtenir une unité supplémentaire de bien $x$, en gardant la même satisfaction.

$$TMS_{x,y} = -\frac{dy}{dx}\bigg|_{U\ \text{constant}} = \frac{Um_x}{Um_y}$$

La seconde égalité vient de ce que, le long d'une courbe d'indifférence, $dU = Um_x\,dx + Um_y\,dy = 0$.

Pour $U = xy$ : $TMS = \dfrac{y}{x}$. Au panier $(4 ; 9)$, $TMS = 2{,}25$ : le consommateur céderait 2,25 trajets de tramway pour un repas supplémentaire. Au panier $(6 ; 6)$, $TMS = 1$ ; au panier $(9 ; 4)$, $TMS = 0{,}44$. Le TMS diminue quand on descend le long de la courbe : plus on a de repas, moins on est prêt à sacrifier de trajets pour en obtenir un de plus. Un TMS décroissant est la traduction mathématique de la convexité.

4.6 Deux cas particuliers

Biens parfaitement substituables. Le consommateur ne fait aucune différence entre deux bouteilles d'eau de 50 cl et une bouteille d'un litre : $U = 2x + y$ (avec $x$ en litres et $y$ en demi-litres). Les courbes d'indifférence sont des droites et le TMS est constant (ici 2).

Biens parfaitement complémentaires. Une paire de chaussures exige une chaussure gauche et une droite ; un verre de thé à la menthe, dans la recette du consommateur, deux morceaux de sucre : $U = \min(x ; y/2)$. Les courbes d'indifférence sont en L : un sucre de plus sans thé n'apporte rien.

Préférences	Fonction type	Forme des courbes	TMS
Standard (Cobb-Douglas)	$U = x^{a} y^{b}$	Convexes	Décroissant
Substituts parfaits	$U = ax + by$	Droites	Constant $= a/b$
Compléments parfaits	$U = \min(ax ; by)$	En L	Non défini au coin

4.7 Méthode : exploiter une fonction d'utilité

1. Calculer $U$ pour chaque panier et classer (seul l'ordre compte).
2. Calculer les utilités marginales par dérivées partielles.
3. En déduire $TMS = Um_x / Um_y$ et l'évaluer au panier demandé ; l'interpréter en phrase.
4. Pour tracer une courbe d'indifférence, fixer $U = U_0$ et exprimer $y$ en fonction de $x$.
5. Vérifier la convexité : le TMS doit diminuer quand $x$ augmente le long de la courbe.

Les pièges à éviter

• Interpréter les niveaux d'utilité comme des quantités mesurables (approche ordinale).
• Confondre utilité marginale décroissante et utilité totale décroissante.
• Écrire le TMS à l'envers ($Um_y / Um_x$) : on cède du $y$ pour du $x$.
• Dessiner deux courbes d'indifférence qui se coupent.
• Appliquer la formule du TMS à des compléments parfaits, dont la fonction n'est pas dérivable au coin.