La production
Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :
- définir une fonction de production et distinguer court terme et long terme ;
- calculer la productivité moyenne et la productivité marginale d'un facteur ;
- énoncer la loi des rendements décroissants et repérer la zone de production rationnelle ;
- tracer une isoquante et calculer le taux marginal de substitution technique (TMST) ;
- déterminer la nature des rendements d'échelle.
7.1 La fonction de production
L'entreprise transforme des facteurs de production (travail, capital, matières, énergie) en biens ou services. Pour simplifier, on retient deux facteurs : le travail $L$ (nombre d'ouvriers ou d'heures) et le capital $K$ (machines, équipements).
Définition — Fonction de production. Relation qui donne la quantité maximale de produit $Q$ que l'entreprise peut obtenir avec chaque combinaison de facteurs, compte tenu de la technique disponible : $Q = f(K, L)$.
On distingue deux horizons :
- le court terme, où au moins un facteur est fixe (en général le capital : on n'agrandit pas une usine en un mois) ; seul le travail varie ;
- le long terme, où tous les facteurs peuvent varier.
7.2 Productivité totale, moyenne et marginale
À court terme, avec $K$ fixe, la production ne dépend que de $L$ :
| Grandeur | Définition | Formule |
|---|---|---|
| Production totale | Quantité produite | $PT = Q(L)$ |
| Productivité moyenne | Production par travailleur | $PM_L = \dfrac{Q}{L}$ |
| Productivité marginale | Production apportée par le dernier travailleur | $Pm_L = \dfrac{\Delta Q}{\Delta L}$ ou $\dfrac{dQ}{dL}$ |
Exemple : une conserverie de sardines de Safi, avec une ligne de production donnée, embauche des ouvriers pour une équipe (Q en milliers de boîtes par jour) :
| $L$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $Q$ | 10 | 26 | 45 | 60 | 70 | 76 | 78 | 78 |
| $PM_L$ | 10 | 13 | 15 | 15 | 14 | 12,67 | 11,14 | 9,75 |
| $Pm_L$ | 10 | 16 | 19 | 15 | 10 | 6 | 2 | 0 |
7.3 La loi des rendements décroissants
Au début, chaque ouvrier supplémentaire rapporte plus que le précédent : la division du travail permet de mieux utiliser la ligne ($Pm_L$ passe de 10 à 19). Ensuite, les ouvriers se gênent autour d'une machine dont la capacité ne change pas : la productivité marginale baisse (15, 10, 6, 2), puis s'annule.
Loi des rendements décroissants. Lorsqu'on augmente la quantité d'un facteur variable en gardant les autres fixes, la productivité marginale de ce facteur finit par diminuer.
Relations utiles entre les courbes :
- tant que $Pm_L > PM_L$, la productivité moyenne augmente (le nouveau venu relève la moyenne) ;
- quand $Pm_L < PM_L$, elle diminue ;
- la courbe de $Pm_L$ coupe celle de $PM_L$ en son maximum (ici entre $L = 3$ et $L = 4$, où $PM_L = 15$) ;
- la production totale est maximale quand $Pm_L = 0$ ($L = 8$).
On en déduit trois zones :
| Zone | Étendue | Commentaire |
|---|---|---|
| I | Jusqu'au maximum de $PM_L$ | Le facteur fixe est sous-utilisé : il est rentable d'embaucher |
| II | Du maximum de $PM_L$ à $Pm_L = 0$ | Zone de production rationnelle : l'entreprise y choisit son niveau d'emploi selon les prix |
| III | Au-delà de $Pm_L = 0$ | Un travailleur de plus fait baisser la production : à exclure |
7.4 Le long terme : les isoquantes
Définition — Isoquante. Ensemble des combinaisons de capital et de travail qui permettent de produire la même quantité.
Une isoquante joue pour le producteur le rôle de la courbe d'indifférence du consommateur, à une différence près : elle porte un niveau de production mesurable (80 000 boîtes), pas seulement un classement. Les isoquantes sont décroissantes (pour produire autant avec moins de capital, il faut plus de travail), convexes et ne se coupent pas.
7.5 Le taux marginal de substitution technique
Définition — TMST. Quantité de capital que l'on peut économiser en employant une unité de travail supplémentaire, la production restant constante.
$$TMST_{L,K} = -\frac{dK}{dL}\bigg|_{Q\ \text{constant}} = \frac{Pm_L}{Pm_K}$$
Il diminue le long de l'isoquante : plus l'entreprise utilise de travail par rapport au capital, moins une unité de travail supplémentaire permet d'économiser de machines.
Exemple : la fonction Cobb-Douglas $Q = 4K^{0{,}5}L^{0{,}5}$. Avec $K = 16$ et $L = 25$ : $Q = 4 \times 4 \times 5 = 80$. $Pm_L = 2K^{0{,}5}L^{-0{,}5}$ ; $Pm_K = 2K^{-0{,}5}L^{0{,}5}$ ; $TMST = \dfrac{K}{L} = \dfrac{16}{25} = 0{,}64$ : un ouvrier de plus permet d'économiser 0,64 unité de capital. À court terme, avec $K = 16$ fixé : $Q = 16\sqrt{L}$ et $Pm_L = 8/\sqrt{L}$, décroissante : on retrouve la loi des rendements décroissants.
7.6 Les rendements d'échelle
À long terme, on se demande ce qui arrive quand on multiplie tous les facteurs par un même nombre $\lambda > 1$ (on double l'usine et l'effectif, par exemple) :
| Si $f(\lambda K, \lambda L)$ est… | Rendements d'échelle | Explication |
|---|---|---|
| $= \lambda Q$ | Constants | La production double exactement |
| $> \lambda Q$ | Croissants | Spécialisation, économies d'échelle techniques |
| $< \lambda Q$ | Décroissants | Difficultés de coordination d'une grande structure |
Pour une Cobb-Douglas $Q = A K^{\alpha} L^{\beta}$ : $f(\lambda K, \lambda L) = \lambda^{\alpha + \beta} Q$. Il suffit de comparer $\alpha + \beta$ à 1. Dans l'exemple, $0{,}5 + 0{,}5 = 1$ : rendements constants.
Ne confondez pas : les rendements décroissants (court terme, un facteur varie) et les rendements d'échelle décroissants (long terme, tous les facteurs varient) sont deux notions différentes. Une entreprise peut avoir une productivité marginale du travail décroissante et des rendements d'échelle constants, comme dans l'exemple.
7.7 Méthode : exploiter une fonction de production
- Court terme : remplacer $K$ par sa valeur fixe, calculer $PM_L = Q/L$ et $Pm_L = dQ/dL$ (ou les différences d'un tableau).
- Repérer le maximum de $PM_L$ (là où $Pm_L = PM_L$) et le point où $Pm_L = 0$ : la zone rationnelle est entre les deux.
- Long terme : calculer $Pm_L$ et $Pm_K$, puis $TMST = Pm_L / Pm_K$ au point demandé.
- Rendements d'échelle : remplacer $K$ et $L$ par $\lambda K$ et $\lambda L$ ou, pour une Cobb-Douglas, comparer $\alpha + \beta$ à 1.
Les pièges à éviter
- Confondre productivité moyenne et marginale.
- Dire que la production baisse dès que la productivité marginale baisse : elle baisse seulement quand $Pm_L$ devient négative.
- Écrire le TMST à l'envers ($Pm_K / Pm_L$).
- Confondre rendements décroissants (un facteur) et rendements d'échelle décroissants (tous les facteurs).
- Oublier que le court terme suppose au moins un facteur fixe.
Exercice 1 — L'atelier de confection de Tanger
Partie A. Un atelier de confection de Tanger, qui travaille en sous-traitance pour une marque européenne, dispose de 5 machines. Sa production journalière de chemises selon le nombre d'ouvrières est :
| $L$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $Q$ | 8 | 20 | 36 | 48 | 55 | 58 | 58 |
- Calculez la productivité moyenne et la productivité marginale du travail.
- À partir de quelle ouvrière les rendements deviennent-ils décroissants ? Délimitez la zone de production rationnelle.
Partie B. À long terme, la production de l'entreprise est décrite par $Q = 10K^{0{,}5}L^{0{,}5}$.
- Calculez la production, $Pm_L$, $Pm_K$ et le TMST pour $K = 4$ et $L = 9$. Interprétez le TMST.
- Quelle est la nature des rendements d'échelle ? Comparez avec $Q = K^{0{,}6}L^{0{,}6}$ et $Q = K^{0{,}3}L^{0{,}5}$ : de combien la production est-elle multipliée quand on double les deux facteurs ?
Voir le corrigé
1)
| $L$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $Q$ | 8 | 20 | 36 | 48 | 55 | 58 | 58 |
| $PM_L$ | 8 | 10 | 12 | 12 | 11 | 9,67 | 8,29 |
| $Pm_L$ | 8 | 12 | 16 | 12 | 7 | 3 | 0 |
2) La productivité marginale augmente jusqu'à la 3ᵉ ouvrière (16) puis diminue : les rendements deviennent décroissants à partir de la 4ᵉ. La productivité moyenne est maximale entre $L = 3$ et $L = 4$ (12 chemises), là où $Pm_L$ la croise. La production est maximale pour $L = 7$, où $Pm_L = 0$. Zone rationnelle : de 4 à 7 ouvrières (le choix précis dépendra du salaire et du prix des chemises).
3) $Q = 10 \times \sqrt{4} \times \sqrt{9} = 10 \times 2 \times 3 = \mathbf{60}$ chemises. $Pm_L = 5K^{0{,}5}L^{-0{,}5} = 5 \times \dfrac{2}{3} \approx \mathbf{3{,}33}$ ; $Pm_K = 5K^{-0{,}5}L^{0{,}5} = 5 \times \dfrac{3}{2} = \mathbf{7{,}5}$. $TMST = \dfrac{Pm_L}{Pm_K} = \dfrac{K}{L} = \dfrac{4}{9} \approx \mathbf{0{,}44}$ : une ouvrière supplémentaire permet d'économiser environ 0,44 unité de capital tout en produisant 60 chemises.
4) $Q = 10K^{0{,}5}L^{0{,}5}$ : $\alpha + \beta = 1$, rendements constants (doubler les facteurs double la production). $Q = K^{0{,}6}L^{0{,}6}$ : $\alpha + \beta = 1{,}2 > 1$, rendements croissants ; la production est multipliée par $2^{1{,}2} \approx 2{,}30$. $Q = K^{0{,}3}L^{0{,}5}$ : $\alpha + \beta = 0{,}8 < 1$, rendements décroissants ; multipliée par $2^{0{,}8} \approx 1{,}74$.
Exercice 2 — Productivités d'une fonction
À court terme, une entreprise a pour fonction de production $Q = 12L^2 - L^3$ (avec $L$ en dizaines d'ouvriers).
- Calculez $PM_L$ et $Pm_L$.
- Pour quelle valeur de $L$ la productivité moyenne est-elle maximale ? la production totale ?
- Délimitez la zone de production rationnelle.
Voir le corrigé
- $PM_L = 12L - L^2$ ; $Pm_L = 24L - 3L^2$.
- $PM_L$ maximale : $12 - 2L = 0 \Rightarrow L = 6$ ($PM_L = 36$ ; on vérifie $Pm_L(6) = 144 - 108 = 36$). Production maximale : $Pm_L = 0 \Rightarrow 3L(8 - L) = 0 \Rightarrow L = 8$ ($Q = 768 - 512 = 256$).
- Zone rationnelle : $6 \leq L \leq 8$.
Exercice 3 — TMST d'une Cobb-Douglas
Pour $Q = 2K^{0{,}4}L^{0{,}6}$, exprimez le TMST en fonction de $K$ et $L$ et calculez-le pour $K = 30$ et $L = 20$. Quelle est la nature des rendements d'échelle ?
Voir le corrigé
$Pm_L = 1{,}2K^{0{,}4}L^{-0{,}4}$ ; $Pm_K = 0{,}8K^{-0{,}6}L^{0{,}6}$ ; $TMST = \dfrac{1{,}2}{0{,}8} \times \dfrac{K}{L} = 1{,}5\,\dfrac{K}{L}$.
Pour $K = 30$, $L = 20$ : $TMST = 1{,}5 \times 1{,}5 = \mathbf{2{,}25}$.
$0{,}4 + 0{,}6 = 1$ : rendements d'échelle constants.
L'essentiel — La production
- Fonction de production $Q = f(K, L)$ : production maximale pour chaque combinaison de facteurs.
- Court terme : au moins un facteur fixe (souvent $K$) ; long terme : tous les facteurs varient.
- $PM_L = Q/L$ ; $Pm_L = dQ/dL$ (ou $\Delta Q / \Delta L$).
- Loi des rendements décroissants : à facteur fixe donné, la productivité marginale du facteur variable finit par baisser.
- $Pm_L$ coupe $PM_L$ en son maximum ; production maximale quand $Pm_L = 0$.
- Zone rationnelle : entre le maximum de $PM_L$ et $Pm_L = 0$.
- Isoquante : combinaisons donnant la même production ; décroissante et convexe.
- $TMST = -dK/dL = Pm_L / Pm_K$ ; pour $Q = AK^{\alpha}L^{\beta}$ : $TMST = \dfrac{\beta K}{\alpha L}$.
- Rendements d'échelle : $\alpha + \beta = 1$ constants, $> 1$ croissants, $< 1$ décroissants.