La demande individuelle et les effets d'un changement de prix
Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :
- déduire la fonction de demande d'un consommateur de son choix optimal ;
- tracer la courbe de consommation-revenu et la courbe d'Engel ;
- distinguer bien normal, bien inférieur et bien de Giffen ;
- décomposer l'effet d'une variation de prix en effet de substitution et effet de revenu ;
- construire la demande de marché à partir des demandes individuelles.
6.1 De l'optimum à la fonction de demande
Au chapitre 5, on a calculé le panier optimal pour des prix et un revenu donnés. Si l'on refait le calcul en laissant $p_x$, $p_y$ et $R$ sous forme de lettres, on obtient des fonctions de demande : la quantité optimale de chaque bien en fonction des prix et du revenu.
Pour $U = xy$, la condition $\dfrac{y}{x} = \dfrac{p_x}{p_y}$ donne $p_y y = p_x x$ ; la contrainte devient $2p_x x = R$ :
$$x^*(p_x, R) = \frac{R}{2p_x} \qquad y^*(p_y, R) = \frac{R}{2p_y}$$
Avec $R = 120$ et $p_y = 2$ : $x^* = 60 / p_x$. À $p_x = 4$, Imane achète 15 repas ; à $p_x = 3$, 20 ; à $p_x = 2$, 30. On retrouve la loi de la demande : la quantité baisse quand le prix monte. La courbe qui relie les paniers optimaux quand $p_x$ varie s'appelle la courbe de consommation-prix ; en reportant $(x^*, p_x)$, on obtient la courbe de demande individuelle.
Avec cette fonction, l'élasticité-prix vaut $\dfrac{dx}{dp_x}\dfrac{p_x}{x} = -\dfrac{R}{2p_x^2} \times \dfrac{p_x}{R / (2p_x)} = -1$ en tout point : la dépense en repas reste toujours égale à la moitié du revenu.
6.2 L'effet du revenu : courbe d'Engel
Quand le revenu varie, prix constants, la droite de budget se déplace parallèlement et le panier optimal change. La courbe qui relie ces paniers est la courbe de consommation-revenu. En reportant la quantité d'un bien en fonction du revenu, on obtient la courbe d'Engel.
Pour Imane : $x^* = R / 8$ (avec $p_x = 4$). Si son revenu passe de 120 à 160, elle achète $20$ repas au lieu de 15. La courbe d'Engel est croissante : le repas est un bien normal.
| Type de bien | Réaction à une hausse du revenu | Courbe d'Engel |
|---|---|---|
| Normal | La quantité augmente | Croissante |
| dont bien de luxe | Augmente plus que proportionnellement ($e_R > 1$) | Croissante et de plus en plus pentue |
| Inférieur | La quantité diminue | Décroissante |
Un même bien peut être normal pour des revenus modestes et inférieur au-delà : le transport en grand taxi est souvent remplacé par la voiture personnelle quand le revenu augmente.
6.3 Les deux effets d'une baisse de prix
Quand le prix d'un bien baisse, deux mécanismes jouent en même temps :
- l'effet de substitution : le bien est devenu relativement moins cher que l'autre ; à satisfaction (ou pouvoir d'achat) constante, le consommateur en achète plus. Cet effet va toujours dans le sens contraire du prix ;
- l'effet de revenu : avec le même budget, le consommateur est plus riche en termes réels ; il achète plus du bien s'il est normal, moins s'il est inférieur.
$$\text{Effet total} = \text{Effet de substitution} + \text{Effet de revenu}$$
6.4 La décomposition de Slutsky
Slutsky isole l'effet de substitution en donnant au consommateur, aux nouveaux prix, le revenu qui lui permet tout juste d'acheter son ancien panier (pouvoir d'achat constant).
Exemple : Imane ($U = xy$, $R = 120$, $p_y = 2$). Le prix du repas baisse de 4 à 2.
| Étape | Calcul | Panier |
|---|---|---|
| Situation initiale ($p_x = 4$) | $x = 120 / 8$ | A : $(15 ; 30)$, $U = 450$ |
| Situation finale ($p_x = 2$) | $x = 120 / 4$ | C : $(30 ; 30)$, $U = 900$ |
| Revenu compensé de Slutsky | $R' = 2 \times 15 + 2 \times 30 = 90$ | |
| Panier intermédiaire (nouveaux prix, revenu $R'$) | $x = 90 / (2 \times 2)$ | B : $(22{,}5 ; 22{,}5)$ |
- Effet de substitution (A → B) : $22{,}5 - 15 = +7{,}5$ repas.
- Effet de revenu (B → C) : $30 - 22{,}5 = +7{,}5$ repas.
- Effet total : $+15$ repas.
Les deux effets sont positifs : le repas est un bien normal.
6.5 La décomposition de Hicks
Hicks raisonne à utilité constante : le panier intermédiaire est celui qui, aux nouveaux prix, donne l'utilité initiale (450) au moindre coût. Aux nouveaux prix, la tangence donne $y = x$ ; avec $xy = 450$ : $x = \sqrt{450} \approx 21{,}2$. Effet de substitution $\approx 6{,}2$ ; effet de revenu $\approx 8{,}8$. Les deux méthodes donnent des chiffres proches et la même conclusion. Au partiel, appliquez celle que demande l'énoncé.
6.6 Bien inférieur et bien de Giffen
| Bien | Effet de substitution (baisse de prix) | Effet de revenu | Effet total |
|---|---|---|---|
| Normal | + | + | + (demande décroissante) |
| Inférieur | + | − (plus faible) | + (demande décroissante) |
| Giffen | + | − (plus fort) | − (demande croissante) |
Un bien de Giffen est un bien inférieur dont l'effet de revenu l'emporte sur l'effet de substitution : quand son prix monte, les ménages très pauvres, appauvris, renoncent aux autres aliments et en achètent davantage. Le cas a été évoqué pour la pomme de terre dans l'Irlande du XIXᵉ siècle et pour le riz chez des ménages très modestes ; il reste rare et ne remet pas en cause la loi de la demande en général.
6.7 La demande de marché
La demande de marché est la somme horizontale des demandes individuelles : à chaque prix, on additionne les quantités demandées par chaque consommateur.
Exemple : trois clients d'une épicerie ont les demandes $q_1 = 20 - 2p$, $q_2 = 30 - 3p$, $q_3 = 10 - p$ (valables pour $p \leq 10$). Demande de marché : $Q = 60 - 6p$. Avec $n$ consommateurs identiques de demande $q(p)$, la demande de marché vaut $n \times q(p)$.
Attention aux prix pour lesquels un consommateur cesse d'acheter : au-delà, sa demande vaut zéro et la demande de marché change de pente (elle est « coudée »).
6.8 Méthode : décomposer un effet de prix
- Calculer le panier initial A et le panier final C avec les fonctions de demande.
- Slutsky : calculer $R' = p_x^{nouveau}\,x_A + p_y\,y_A$, puis le panier B aux nouveaux prix avec $R'$. Hicks : chercher B aux nouveaux prix tel que $U(B) = U(A)$ avec la condition de tangence.
- Effet de substitution $= x_B - x_A$ ; effet de revenu $= x_C - x_B$.
- Conclure sur la nature du bien d'après le signe de l'effet de revenu.
Les pièges à éviter
- Calculer le revenu compensé avec les anciens prix : il faut les nouveaux prix et l'ancien panier.
- Penser que l'effet de substitution peut aller dans le même sens que le prix : il est toujours de sens contraire.
- Confondre bien inférieur et bien de Giffen : tout bien de Giffen est inférieur, l'inverse est faux.
- Additionner les prix au lieu des quantités pour obtenir la demande de marché.
- Oublier qu'une demande individuelle est nulle au-delà de son prix maximum.
Exercice 1 — Les dépenses de Karim
Karim a pour fonction d'utilité $U(x, y) = xy$. Son revenu est $R = 200$, les prix sont $p_x = 10$ et $p_y = 5$.
- Déterminez ses fonctions de demande et son panier optimal.
- Tracez (par l'équation) sa courbe d'Engel pour le bien $x$. Quelle est la nature de ce bien ?
- Le prix de $x$ baisse à 5. Calculez le nouveau panier, puis décomposez l'effet total selon Slutsky.
- Faites la même décomposition selon Hicks.
- Le marché compte 1 000 consommateurs identiques à Karim. Écrivez la demande de marché du bien $x$ et calculez son élasticité-prix.
Voir le corrigé
1) $\dfrac{y}{x} = \dfrac{p_x}{p_y}$ et $p_x x + p_y y = R$ donnent $x^* = \dfrac{R}{2p_x}$ et $y^* = \dfrac{R}{2p_y}$. Panier optimal : $x^* = 200 / 20 = \mathbf{10}$ ; $y^* = 200 / 10 = \mathbf{20}$ ; $U = 200$.
2) Avec $p_x = 10$ : $x = \dfrac{R}{20}$. La courbe d'Engel est une droite croissante passant par l'origine : $x$ est un bien normal (élasticité-revenu égale à 1).
3) Nouveau panier C : $x = 200 / 10 = 20$ ; $y = 20$ ; $U = 400$. Revenu de Slutsky : $R' = 5 \times 10 + 5 \times 20 = 150$. Panier B : $x = 150 / (2 \times 5) = 15$.
- Effet de substitution : $15 - 10 = \mathbf{+5}$ ;
- Effet de revenu : $20 - 15 = \mathbf{+5}$ ;
- Effet total : $\mathbf{+10}$.
4) Hicks : aux nouveaux prix, $\dfrac{y}{x} = \dfrac{5}{5} = 1$, donc $y = x$ ; utilité initiale $xy = 200 \Rightarrow x = \sqrt{200} \approx 14{,}14$.
- Effet de substitution $\approx 14{,}14 - 10 = \mathbf{+4{,}14}$ ;
- Effet de revenu $\approx 20 - 14{,}14 = \mathbf{+5{,}86}$. Coût du panier de Hicks : $5 \times 14{,}14 \times 2 \approx 141{,}4$, inférieur au revenu de Slutsky (150) : Hicks compense juste ce qu'il faut pour garder la même utilité.
5) $X = 1\,000 \times \dfrac{200}{2p_x} = \dfrac{100\,000}{p_x}$. Élasticité : $\dfrac{dX}{dp_x} \times \dfrac{p_x}{X} = -\dfrac{100\,000}{p_x^2} \times \dfrac{p_x^2}{100\,000} = \mathbf{-1}$ en tout point : la dépense totale du marché en bien $x$ reste égale à 100 000.
Exercice 2 — Demande de marché coudée
Deux catégories de clients achètent un produit : les étudiants, $q_1 = 40 - 4p$ (pour $p \leq 10$), et les salariés, $q_2 = 60 - 3p$ (pour $p \leq 20$). Écrivez la demande de marché selon le prix et calculez-la pour $p = 8$ et $p = 12$.
Voir le corrigé
Pour $p \leq 10$ : $Q = 100 - 7p$. Pour $10 < p \leq 20$ : seuls les salariés achètent, $Q = 60 - 3p$.
$p = 8$ : $Q = 100 - 56 = \mathbf{44}$. $p = 12$ : $Q = 60 - 36 = \mathbf{24}$.
Exercice 3 — Bien inférieur
Lors d'une baisse du prix d'un bien, on mesure : effet de substitution $+6$ unités, effet total $+4$ unités. Calculez l'effet de revenu et qualifiez le bien. Qu'aurait-on conclu avec un effet total de $-2$ ?
Voir le corrigé
Effet de revenu $= 4 - 6 = \mathbf{-2}$ : la hausse du pouvoir d'achat réduit la consommation, le bien est inférieur (mais pas de Giffen, puisque la quantité augmente quand le prix baisse).
Avec un effet total de $-2$ : effet de revenu $= -8$, plus fort que l'effet de substitution ; la quantité baisse quand le prix baisse : bien de Giffen.
L'essentiel — Demande et effets de prix
- La fonction de demande vient du choix optimal écrit avec des prix et un revenu littéraux ; pour $U = xy$ : $x^* = R / (2p_x)$.
- Courbe de consommation-prix → courbe de demande ; courbe de consommation-revenu → courbe d'Engel.
- Bien normal : Engel croissante (luxe si $e_R > 1$) ; bien inférieur : Engel décroissante.
- Effet total d'un prix = effet de substitution (toujours de sens contraire au prix) + effet de revenu (dépend de la nature du bien).
- Slutsky : revenu compensé $R' = p_x^{nouveau} x_A + p_y y_A$ (pouvoir d'achat constant).
- Hicks : panier intermédiaire à utilité constante, aux nouveaux prix.
- Bien de Giffen : bien inférieur dont l'effet de revenu l'emporte, demande croissante avec le prix (cas rare).
- Demande de marché = somme horizontale des quantités individuelles ; $n$ consommateurs identiques : $n \times q(p)$.