Les élasticités
Objectifs du chapitre — À la fin de ce chapitre, vous saurez :
- calculer une élasticité-prix de la demande en un point et sur un intervalle ;
- classer une demande en élastique, inélastique ou unitaire et expliquer pourquoi ;
- relier l'élasticité-prix à la recette totale de l'entreprise ;
- interpréter l'élasticité-revenu et l'élasticité-prix croisée ;
- calculer l'élasticité-prix de l'offre.
3.1 Pourquoi mesurer la sensibilité ?
Savoir que la demande baisse quand le prix monte ne suffit pas à un manager : il veut savoir de combien. Si un opérateur de transport augmente le prix du billet de 10 %, perdra-t-il 2 % ou 20 % de ses voyageurs ? Sa recette va-t-elle monter ou baisser ? La pente de la courbe ne répond pas bien à la question, car elle dépend des unités (tonnes ou kilos, dirhams ou centimes). L'économiste utilise un rapport de variations relatives, sans unité : l'élasticité.
3.2 L'élasticité-prix de la demande
Définition — Élasticité-prix de la demande. Variation relative de la quantité demandée provoquée par une variation relative de 1 % du prix du bien.
$$e_{p} = \frac{\Delta Q / Q}{\Delta p / p}$$
Pour une fonction de demande dérivable, on calcule l'élasticité ponctuelle :
$$e_p = \frac{dQ}{dp} \times \frac{p}{Q}$$
Avec la demande de thé du chapitre 2, $Q_d = 200 - 4p$, on a $\dfrac{dQ}{dp} = -4$. Au prix d'équilibre $p = 40$ ($Q = 40$) : $e_p = -4 \times \dfrac{40}{40} = -4$. Une hausse de 1 % du prix y réduit la quantité demandée de 4 %.
Entre deux points éloignés, on calcule une élasticité d'arc, en rapportant les variations aux moyennes pour obtenir le même résultat quel que soit le sens du calcul :
$$e_{arc} = \frac{\Delta Q / \bar Q}{\Delta p / \bar p} \qquad \bar Q = \frac{Q_1 + Q_2}{2} \;,\; \bar p = \frac{p_1 + p_2}{2}$$
L'élasticité-prix de la demande est négative (loi de la demande). On raisonne souvent sur sa valeur absolue.
3.3 Classer une demande
| Valeur absolue | Demande dite | Signification |
|---|---|---|
| $\lvert e_p \rvert > 1$ | Élastique | La quantité réagit plus que proportionnellement au prix |
| $\lvert e_p \rvert = 1$ | Unitaire | Variations relatives égales |
| $\lvert e_p \rvert < 1$ | Inélastique (rigide) | La quantité réagit peu au prix |
| $e_p = 0$ | Parfaitement inélastique | Quantité fixe quel que soit le prix (médicament vital) |
| $\lvert e_p \rvert \to \infty$ | Parfaitement élastique | Le moindre écart de prix fait perdre tous les acheteurs |
Ce qui rend une demande élastique :
- l'existence de substituts proches : la demande d'une marque d'eau minérale est plus élastique que la demande d'eau en général ;
- une part importante du budget : on regarde davantage le prix d'un réfrigérateur que celui d'une boîte d'allumettes ;
- le caractère non indispensable du bien : loisirs et sorties sont plus élastiques que le pain ou le carburant pour un chauffeur de taxi ;
- l'horizon : à long terme, les consommateurs trouvent des alternatives (covoiturage, tramway), la demande devient plus élastique.
Attention : pour une demande linéaire, l'élasticité change le long de la courbe. Avec $Q_d = 200 - 4p$ : à $p = 40$, $e_p = -4$ ; à $p = 25$ ($Q = 100$), $e_p = -4 \times 25 / 100 = -1$ ; à $p = 10$ ($Q = 160$), $e_p = -0{,}25$. La demande est élastique dans sa partie haute et inélastique dans sa partie basse.
3.4 Élasticité et recette totale
La recette totale de l'entreprise (ou la dépense totale des acheteurs) vaut $RT = p \times Q$. Sa réaction à une hausse de prix dépend de l'élasticité :
$$\frac{dRT}{dp} = Q + p\,\frac{dQ}{dp} = Q\,(1 + e_p)$$
| Demande | Hausse du prix | Baisse du prix |
|---|---|---|
| Élastique ($\lvert e_p \rvert > 1$) | Recette ↓ | Recette ↑ |
| Unitaire | Recette inchangée (maximale) | Recette inchangée |
| Inélastique ($\lvert e_p \rvert < 1$) | Recette ↑ | Recette ↓ |
Pour la demande de thé, la recette $RT = p(200 - 4p)$ est maximale quand $\dfrac{dRT}{dp} = 200 - 8p = 0$, soit $p = 25$ : exactement là où l'élasticité vaut −1. Conséquence pratique : une entreprise qui fait face à une demande inélastique peut augmenter ses recettes en montant ses prix ; c'est aussi pourquoi l'État taxe volontiers les biens à demande inélastique (tabac, carburants) : la taxe y rapporte beaucoup et réduit peu les quantités.
3.5 L'élasticité-revenu
$$e_R = \frac{\Delta Q / Q}{\Delta R / R}$$
| Valeur | Type de bien | Exemples |
|---|---|---|
| $e_R < 0$ | Inférieur : on en achète moins quand le revenu augmente | Transport en autocar remplacé par le train ou la voiture, produits premier prix |
| $0 < e_R < 1$ | Normal de nécessité : la consommation augmente moins vite que le revenu | Alimentation de base, eau, électricité |
| $e_R > 1$ | Normal de luxe (supérieur) : la consommation augmente plus vite que le revenu | Voyages, restaurants, voitures haut de gamme |
La loi d'Engel observe que la part de l'alimentation dans le budget baisse quand le revenu augmente : les enquêtes du HCP sur la consommation des ménages le confirment entre ménages modestes et aisés.
3.6 L'élasticité-prix croisée
$$e_{xy} = \frac{\Delta Q_x / Q_x}{\Delta p_y / p_y}$$
- $e_{xy} > 0$ : biens substituables (une hausse du prix du café augmente la demande de thé) ;
- $e_{xy} < 0$ : biens complémentaires (une hausse du prix des cartouches réduit la demande d'imprimantes) ;
- $e_{xy} = 0$ : biens indépendants.
Le Conseil de la concurrence utilise ce type de mesure pour délimiter un marché : deux produits fortement substituables appartiennent au même marché.
3.7 L'élasticité-prix de l'offre
$$e_o = \frac{dQ_o}{dp} \times \frac{p}{Q_o} \;\geq 0$$
L'offre est d'autant plus élastique que la production peut s'ajuster vite : capacités inemployées, stocks, délais de fabrication courts. Elle est faible à court terme pour les produits agricoles (on ne double pas une récolte en un mois). Avec $Q_o = -40 + 2p$ à $p = 40$ : $e_o = 2 \times 40 / 40 = 2$.
3.8 Méthode : calculer et interpréter une élasticité
- Choisir la formule : ponctuelle si une fonction est donnée, d'arc (avec moyennes) si deux points sont donnés.
- Calculer la dérivée (ou les variations), puis multiplier par $p / Q$ au point demandé.
- Conclure par une phrase chiffrée : « une hausse de 1 % du prix réduit la quantité de … % ».
- Classer (élastique, unitaire, inélastique) et en tirer l'effet sur la recette totale.
Les pièges à éviter
- Confondre pente et élasticité : une demande linéaire a une pente constante mais une élasticité variable.
- Oublier le signe : une élasticité-prix de la demande positive signale une erreur de calcul (sauf bien de Giffen).
- Calculer une élasticité d'arc sans les moyennes : le résultat change selon le sens de la variation.
- Dire qu'une hausse de prix augmente toujours la recette : seulement si la demande est inélastique.
- Inverser substituts (élasticité croisée positive) et compléments (négative).
Exercice 1 — Le cinéma de quartier
Un cinéma de quartier de Casablanca estime ainsi la demande pour sa séance de l'après-midi (Q en places, p en DH) :
$$Q_d = 600 - 20p$$
- Calculez l'élasticité-prix de la demande pour $p = 10$ et pour $p = 20$. Interprétez.
- Quel prix maximise la recette de la séance ? Quelle est alors l'élasticité ?
- Le cinéma passe de 10 à 12 DH. Calculez l'élasticité d'arc.
- Une étude montre que, lorsque le revenu des habitants du quartier augmente de 10 %, la fréquentation des sorties au cinéma augmente de 18 % et l'achat de pain de 2 % de moins. Calculez les élasticités-revenu et qualifiez les deux biens.
Voir le corrigé
1) $\dfrac{dQ}{dp} = -20$.
- À $p = 10$ : $Q = 400$ ; $e_p = -20 \times \dfrac{10}{400} = \mathbf{-0{,}5}$. Demande inélastique : une hausse de 1 % du prix réduit la fréquentation de 0,5 %.
- À $p = 20$ : $Q = 200$ ; $e_p = -20 \times \dfrac{20}{200} = \mathbf{-2}$. Demande élastique : une hausse de 1 % du prix fait perdre 2 % des spectateurs.
2) $RT = p(600 - 20p) = 600p - 20p^2$ ; $\dfrac{dRT}{dp} = 600 - 40p = 0 \Rightarrow p = \mathbf{15}$ DH ; $Q = 300$ ; $RT = \mathbf{4\,500}$ DH. Élasticité : $-20 \times 15 / 300 = \mathbf{-1}$ (unitaire), comme prévu par le cours.
3) À 10 DH : $Q_1 = 400$ ; à 12 DH : $Q_2 = 360$. $\bar Q = 380$ ; $\bar p = 11$.
$$e_{arc} = \frac{-40 / 380}{2 / 11} = \frac{-0{,}1053}{0{,}1818} \approx \mathbf{-0{,}58}$$
La demande reste inélastique sur cet intervalle : la recette passe de $4\,000$ à $4\,320$ DH.
4) Cinéma : $e_R = 18\,\% / 10\,\% = \mathbf{1{,}8}$ : bien normal de luxe. Pain : $e_R = -2\,\% / 10\,\% = \mathbf{-0{,}2}$ : bien inférieur (les ménages plus aisés le remplacent par d'autres produits).
Exercice 2 — Élasticité et politique de prix
Un transporteur interurbain vend 50 000 billets par mois à 120 DH. Une étude estime l'élasticité-prix de sa demande à −0,6. Il envisage une hausse de 10 %. Estimez la nouvelle quantité et la variation de la recette. Que se passerait-il avec une élasticité de −1,5 ?
Voir le corrigé
Avec $e = -0{,}6$ : quantité $-6\,\%$, soit $47\,000$ billets à $132$ DH ; recette $6\,204\,000$ DH contre $6\,000\,000$ : +204 000 DH. La demande est inélastique, la hausse est rentable.
Avec $e = -1{,}5$ : quantité $-15\,\%$, soit $42\,500$ billets ; recette $42\,500 \times 132 = 5\,610\,000$ DH : −390 000 DH. Demande élastique : la hausse fait perdre de la recette.
(Calcul approché : l'élasticité est supposée constante sur l'intervalle.)
Exercice 3 — Élasticité croisée
Quand le prix du café augmente de 8 %, la demande de thé augmente de 2 % ; quand le prix des capsules de café augmente de 10 %, la demande de machines à capsules baisse de 5 %. Calculez et interprétez les élasticités croisées.
Voir le corrigé
Thé / café : $e = 2 / 8 = \mathbf{+0{,}25}$ : biens substituables, faiblement.
Machines / capsules : $e = -5 / 10 = \mathbf{-0{,}5}$ : biens complémentaires.
L'essentiel — Les élasticités
- Élasticité = variation relative de la quantité / variation relative de la cause ; sans unité.
- Ponctuelle : $e_p = \dfrac{dQ}{dp} \times \dfrac{p}{Q}$ ; d'arc : variations rapportées aux moyennes.
- $\lvert e_p \rvert > 1$ élastique ; $= 1$ unitaire ; $< 1$ inélastique.
- Demande élastique si substituts proches, part importante du budget, bien non indispensable, long terme.
- Demande linéaire : pente constante mais élasticité variable (élastique en haut, inélastique en bas).
- $\dfrac{dRT}{dp} = Q(1 + e_p)$ : demande inélastique → hausse du prix = hausse de la recette ; recette maximale quand $e_p = -1$.
- Élasticité-revenu : $< 0$ bien inférieur ; entre 0 et 1 nécessité ; $> 1$ luxe.
- Élasticité croisée : $> 0$ substituts ; $< 0$ compléments ; $0$ indépendants.
- Élasticité de l'offre $\geq 0$, plus forte à long terme.